1、1考点规范练 56 离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.已知离散型随机变量 X的分布列为X12 3P35310110则 X的数学期望 E(X)=( )A B.2 C D.3.32 .52答案 A解析 E(X)=1 +2 +3 故选 A.35 310110=32.2.若随机变量 X的分布列如下表,且 E(X)=2,则 D(2X-3)= ( )X02aP16p13A.2 B.3 C.4 D.5答案 C解析 由题意可得 +p+ =1,解得 p= ,因为 E(X)=2,所以 0 +2 +a =2,解得 a=3.所以 D(X)16 13 12 16 12 13=(0-2)2 +(2-2)2 +(3-
2、2)2 =1.所以 D(2X-3)=4D(X)=4.故选 C.16 12 133.若 B (n,p),且 E( )=6,D( )=3,则 P(= 1)的值为( )A.32-2 B.32-10C.2-4 D.2-8答案 B解析 E( )=np=6,D( )=np(1-p)=3p= ,n=12,P(= 1)=12 C112(12)12= 3210.4.随机变量 X的分布列为X1 2 4P0.40.30.3则 E(5X+4)=( )2A.11 B.15 C.35 D.39答案 B解析 E(X)=10.4+20.3+40.3=2.2.所以 E(5X+4)=5E(X)+4=15.故选 B.5.(2017
3、浙江绍兴期中)已知随机变量 的分布列为下表所示,若 E( )= ,则 D( )=( )14 -101P 13abA B C.1 D.56 .4148 .23答案 B解析 由 E( )=-1 +0a+1b= ,整理得 b= ,13 14 712由 +a+b=1,得 a=1- ,所以 D( )=13 13-712=112(-1-14)213+(0-14)2112+(1-14)2712=4148.6.设一随机试验的结果只有 A和 ,且 P(A)=p,令随机变量 X= 则 X的方差 D(X)等于 .A 1,A出现,0,A不出现, 答案 p(1-p)解析 X服从两点分布,故 D(X)=p(1-p).7.
4、随机变量 的分布列如下: -101P abc其中 a,b,c成等差数列,若 E( )= ,则 D( )的值是 . 13答案59解析 由题意得 b= ,a+c= ,又 E( )=-a+c= ,所以 a= ,c=a+b+c=12b=a+c 13 23 13 a+c=23-a+c=1316 12.故 D( )=E( 2)-E( )2=16+12-19=59.38.盒中有大小相同的 5个白球和 3个黑球,从中随机摸出 3个小球,记摸到黑球的个数为 X,则P(X=2)= ,E(X)= . 答案1556 98解析 P(X=2)= ,P(X=0)= ,C15C23C38 =1556 C35C38=1056P
5、(X=1)= ,P(X=3)= ,C25C13C38 =3056 C33C38=156所以 的分布列为 0 1 2 3P 105630561556156E(X)=130+215+3156 =6356=98.能力提升组9.已知 X的分布列为X-101P121316且 Y=aX+3,E(Y)= ,则 a的值为( )73A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 E(X)=-1 +0 +1 =- ,E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=- a+3= ,所以 a=2.故选 B.12 13 16 13 13 7310.若 p为非负实数,随机变量 的分布列为 012P12-pp12则 E( )的最大值
6、为( )A.1 B C D.2.32 .52答案 B4解析 由 得 0 p ,E( )=p+10 p 12,0 12-p 12, 12 32.11.某抽签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取 3支,设 X为这 3支签的号码中最大的一个,则 X的数学期望为( )A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6答案 B解析 由题意可知, X可以取 3,4,5,6,P(X=3)= ,P(X=4)= ,1C36=120 C23C36=320P(X=5)= ,P(X=6)=C24C36=310 C25C36=12.由数学期望的定义可求得 E(X)=3 +4 +5 +6 =5.25.120
7、3203101212.设 0p2,E( 1)E( 2)C.p1p2,E( 1)E( 2) D.p10,所以 p1p2.n6(m+n)14.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X的均值 E(X)= . 答案65解析 由题意知, X可能的取值为 0,1,2,3.若 X=0,观察知题图中位于大正方体内部的 27个小正方体无涂漆面,则 P(X=0)= ;27125若 X=1,观察知题图中位于各面中部的 9个小正方体涂 1面漆,则 P(X=1)= ;69125=54125若 X=2,观察知题图中位于各棱中部的
8、 3个小正方体涂 2面漆,则 P(X=2)= ;123125=36125若 X=3,观察知题图中位于大正方体顶点处的 8个小正方体涂 3面漆,则 P(X=3)=8125.6故 E(X)=0 +1 +2 +32712554125361258125=65.15.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏,根据他的游玩经验,每次开启一个新的游戏,这三个关卡他能够通过的概率分别为 (这个游戏的游戏规则是:如果玩者没有通过上一个关卡,他照样可以玩12,13,14下一个关卡,但玩该游戏的得分会有影响) .则此人在开启一个这种新的游戏时,他能够通过两个关卡的概率为 ,设 X表示他能够通过此游戏的关卡的个数,则随机变量
9、X的数学期望为 .答案14 1312解析 随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3.又 P(X=2)= ,(1-12)1314+12(1-13)14+1213(1-14)=14P(X=0)= ,(1-12)(1-13)(1-14)=14P(X=1)=,12(1-13)(1-14)+(1-12)13(1-14)+(1-12)(1-13)14=1124P(X=3)= 所以随机变量 X的分布列为121314=124.X01 23P14112414124随机变量 X的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +314 112414 124=1312.16.一个口袋里装有大小相同的 6个小球,其中红色、黄
10、色、绿色的球各 2个,现从中任意取出 3个小球,其中恰有 2个小球同颜色的概率是 .若取到红球得 1分,取到黄球得 2分,取到绿球得 3分,记变量 为取出的三个小球得分之和,则 的期望为 . 答案 635解析 根据题意,知任取 3个小球共有 =20(种)取法,而其中恰有 2个小球同颜色的有 3 =12(种)C36 C22C14取法,故所求概率为 P=1220=35.由题意得,随机变量 的可能取值为 4,5,6,7,8,P(= 4)= ,P(= 5)= ,P(= 6)C22C1220=110 2C22C1220=15= ,P(= 7)= ,P(= 8)= ,C12C12C1220=25 2C22
11、C1220=15 C22C1220=1107因此 E( )=4 +5 +6 +7 +8 =6.11015 25 15 11017.为迎接 2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动 .该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过 1小时免费,超过 1小时的部分每小时收费标准为 40元(不足 1小时的部分按 1小时计算) .有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过 1小时离开的概率分别为 ;1小14,16时以上且不超过 2小时离开的概率分别为 ;两人滑雪时间都不会超过 3小时 .12,23(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变
12、量 ,求 的分布列与数学期望 E( ),方差 D( ).解 (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为 0,40,80元,两人都付 0元的概率为 P1= ,1416=124两人都付 40元的概率为 P2= ,1223=13两人都付 80元的概率为P3= ,(1-14-12)(1-16-23)=1416=124则两人所付费用相同的概率为 P=P1+P2+P3=124+13+124=512.(2)设甲、乙所付费用之和为 ,则 的可能取值为 0,40,80,120,160,则P(= 0)= ,1416=124P(= 40)= ,1423+1216=14P(= 80)= ,1416+1223+1416=
13、512P(= 120)= ,1216+1423=14P(= 160)=1416=124.所以 的分布列为 0 40 80 120160P 1241451214124E( )=0 +40 +80 +120 +160 =80,124 14 512 14 1248D( )=(0-80)2 +(40-80)2 +(80-80)2 +(120-80)2 +(160-80)2124 14 512 14 124=40003.18.某公司采用招考的方式引进人才,规定必须在 B,C,D三个测试点中任意选取两个进行测试,若在这两个测试点都测试合格,则可参加面试,否则不被录用,已知考生在每个测试点测试结果互不影响,
14、若考生小李和小王一起前来参加招考,小李在测试点 B,C,D测试合格的概率分别为 ,小王在上述23,13,12三个测试点测试合格的概率都是23.(1)小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由;(2)假设小李选择测试点 B,C进行测试,小王选择测试点 B,D进行测试,记 X为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和,求随机变量 X的分布列及数学期望 E(X).解 (1)设考生小李在 B,C,D各测试点测试合格记为事件 B,C,D,且各个事件相互独立,由题意 P(B)= ,P(C)= ,P(D)=23 13 12.若选择在 B,C测试点测试,则参加面试的概率为 P1=P(B
15、C)=P(B)P(C)= ;若选择在 B,D2313=29测试点测试,则参加面试的概率为 P2=P(BD)=P(B)P(D)= ;若选择在 C,D测试点测试,则参2312=13加面试的概率为 P3=P(CD)=P(C)P(D)= 因为 P2P1P3,所以小李选择在 B,D测试点测试参1312=16.加面试的可能性最大 .(2)记小李在 B,C测试点测试合格为事件 X1,X2,记小王在 B,D测试点测试合格为事件 Y1,Y2,则 P(X1)=P(Y1)=P(Y2)= ,P(X2)= ,且 X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,23 13所以 P(X=0)=P( )= ;X1X2Y1Y21323
16、(23)2=281P(X=1)=P(X1 X2 Y1 Y2)=3 ;X2Y1Y2+X Y1Y2+X1X2Y2+X1X2Y1 (23)2(13)3+(23)4=1381P(X=2)=P(X1X2 +X1 Y1 +X1 Y2+ X2 Y2+ X2Y1 Y1Y2)=3 +3Y1Y2 X2Y2 X2Y1 X1Y1 X1 Y2+X1X2 23(13)3;13(23)3=1027P(X=3)=P(X1X2Y1 +X1X2 Y2+X1 Y1Y2+ X2Y1Y2)=3 ;Y2 Y1 X2 X1 (23)2(13)3+(23)4=2881P(X=4)=P(X1X2Y1Y2)=13(23)2=881.所以 X的分布列为X0 1 2 3 49P281138110272881881E(X)=0 +1 +2 +3 +4281138110272881881=73.
