1、4.6 正弦定理和余弦定理,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则,-4-,知识梳理,双击自测,-5-,知识梳理,双击自测,2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:,-6-,知识梳理,双击自测,3.三角形中的常见结论 (1)A+B+C=. (2)在三角形中,ABabsin Asin B. (3)ABC的面积公式:,-7-,知识梳理,双击自测,1.在ABC中,已知a=5,b=2 ,C=30,则c= .,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b
2、)2+6,C= ,则ABC的面积是( ),答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,3.(教材改编)在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,4.(2017浙江湖州预测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,5.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若asin A=bsin B+(c-b)sin C,则角A的值为( ),答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.三角形的边和角共6个量
3、,已知三个量(其中至少有一边)就可利用正弦定理和余弦定理解三角形. 2.在三角形中,已知两边a,b和角B判断三角形解的个数,可以根据大角对大边原则判断满足条件的解的个数. 3.判断三角形形状的两种思路:一是化边为角;二是化角为边,并常用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换.当a2+b2c2时判断三角形的形状,由cos C= 0,得C为钝角,则三角形为钝角三角形.,-13-,考点一,考点二,考点三,利用正弦、余弦定理解三角形(考点难度) 【例1】 (1)(2017浙江金华模拟改编)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=3,A=60,则边c= .,答案,解析,-14-,考点
4、一,考点二,考点三,(2)(2018浙江全国统一招生考试模拟)在ABC中,A,B,C角所,c= ;|AD|= .,答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能够实现边角互化. 2.正弦定理、余弦定理本身是方程,解题中注意根据已知条件列出关于边角的方程,通过方程求解未知元素. 3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,-16-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)若满足c= ,acos C=
5、csin A的三角形ABC有两个,则边长BC的取值范围是( ),答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,判断三角形的形状(考点难度) 【例2】 (1)ABC中三个内角为A,B,C,若关于x的方程x2-xcos Acos B-cos2 =0有一根为1,则ABC一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,(2)(2018浙江镇海联盟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A.当k=5时,ABC是直角三角形 B.当k=3时,ABC是锐角三角形 C.当k=2时,
6、ABC是钝角三角形 D.当k=1时,ABC是钝角三角形,答案,解析,-20-,考点一,考点二,考点三,方法总结依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 cos A,则ABC为( ) A.钝角
7、三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,与三角形面积有关的综合问题(考点难度) 【例3】 (1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acos B=bcos A,4S=2a2-c2,其中S是ABC的面积,则C的大小为 .,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,(2)(2018浙江金华十校4月模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B .
8、求证:c=2b; 若ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.,证明:由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,有 sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B, 展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,由知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2, 又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A, 代入得b2sin A=4b2cos A,即tan A=4.,-25-,考点一,考点二,考点三,2.与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,-26-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)在AB
9、C中,角A,B,C分别对应边a,b,c,S为ABC的面积.已知a=4,b=5,C=2A,则c= ,S= .,答案,解析,-27-,考点一,考点二,考点三,(2)(2018浙江湖州模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,c=2b.,若a=2,求ABC的面积的最大值.,-28-,考点一,考点二,考点三,-29-,思想方法解三角形问题中的转化与化归 解三角形的综合问题中遇到求最值的问题,我们常常既可以边化角转化到三角恒等变换利用三角函数性质求最值,也可以角化边转化为不等式利用基本不等式求最值方法得出范围.,-30-,(1)求角C和边c的大小; (2)求ABC面积的最大值.,-31-,(2
10、)由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,答题指导本例通过正弦、余弦定理角化边,再利用基本不等式求最大值,本例也可以边化角结合三角恒等变化转化为三角函数求最值.,-32-,对点训练在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且满足b2+c2-a2=bc. (1)求角A的值; (2)若a= ,记ABC的周长为y,试求y的取值范围.,-33-,高分策略1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象. 2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. 3.求解三角形中最值和取值范围问题的基本思想是把求解目标转化为某个内角的三角函数,解题中需注意各种条件对角的取值范围的限制,如锐角、钝角、最小角等. 4.解题技巧:已知一边及一边的对角求面积最值时可以使用余弦定理与基本不等式得出.,
