1、1高考解答题专项练解析几何1.如图,已知抛物线的方程为 x2=2py(p0),过点 A(0,-1)作直线 l 与抛物线相交于 P,Q 两点,点 B 的坐标为(0,1),连接 BP,BQ,设直线 QB,BP 与 x 轴分别相交于 M,N 两点 .(1)如果 p=2,且三角形 BPQ 的面积为 4,求直线 l 的方程;(2)如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 -3,求 MN 的长度 .解 (1)直线 l 的斜率必定存在,设为 k,则 l 的方程为 y=kx-1,因为 p=2,把 y=kx-1 代入 x2=4y 得 x2-4kx+4=0,则 = 16k2-160,所以 k21.设 P,Q 两
2、点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),则 x1,x2为方程 x2-4kx+4=0 的两个解,因此 x1+x2=4k,x1x2=4,所以 |PQ|= |x1-x2|=4 ,点1+k2 1+k2k2-1B(0,1)到直线 l 的距离 d= ,由三角形 BPQ 的面积为 4,得 4 =4,2k2+1 12 1+k2k2-12k2+1解得 k= ,满足 k21.2因此直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y+1=0.2 2(2)把直线 l 的方程代入 x2=2py 得 x2-2pkx+2p=0,设 P,Q 两点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),则 x1,x2为方程 x2-2
3、pkx+2p=0 的两个解,因此 x1x2=2p,kBP= ,同理y1-1x1 =x21-2p2px1 =x21-x1x22px1 =x1-x22pkBQ= ,因此 kBP+kBQ=0,因为 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 -3,所以 QB 的斜率为 - ,从而x2-x12p 3 BMN= BNM=60,即 MNB 为正三角形 .因为 BO 为正三角形 MNB 的高,且 |BO|=1,所以 |MN|=233.2.(2017 浙江高考样卷)如图,已知椭圆 +y2=1 的左、右顶点分别是 A,B,设点 P( ,t)(t0),连接x22 2PA 交椭圆于点 C,坐标原点是 O.(1)证明: O
4、P BC;(2)若四边形 OBPC 的面积是 ,求 t 的值 .325(1)证明 设直线 PA 的方程为 y= (x+ ),t22 22由 整理得(4 +t2)x2+2 t2x+2t2-8=0,解得 x1=- ,x2= ,则点 C 的x22+y2=1,y= t22(x+ 2), 2 2 42- 2t24+t2坐标是 ,故直线 BC 的斜率 kBC=- ,由于直线 OP 的斜率 kOP= ,故 kBCkOP=-1,则(42- 2t24+t2 ,4t4+t2) 2t t2OP BC;(2)解 由 S 四边形 OBPC= ,S 四边形 OBPC= ,得 ,325 2t3+22t4+t2 2t3+22
5、t4+t2 =325整理得( t-1)(5t2+2t+12)=0, 5t2+2t+120, t= 1.3.(2018 浙江 4 月摸底)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且该抛物线上有一点 P(4,m)到焦点的距离为 5.(1)求抛物线 C 的方程;(2)已知抛物线上一点 M(t,4),过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME,且 MD ME,判断直线 DE 是否过定点?并说明理由 .解 (1)由题意设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p0),其准线方程为 x=- ,p2 点 P(4,m)到焦点的距离等于点 P 到其准线的距离, 4+ =5.p= 2. 抛物线 C 的方程为
6、y2=4x.p2(2)由(1)可得点 M(4,4),可得直线 DE 的斜率不为 0,设直线 DE 的方程为 x=my+t,联立 得 y2-4my-4t=0,x=my+t,y2=4x, 则 = 16m2+16t0.(*)设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4t.=(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4) MDME=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16= -4 +16+y1y2-4(y1+y2)+16y214y224 (y214+y224)= -(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32(y1y2)216=t2-16
7、m2-12t+32-16m=0,即 t2-12t+32=16m2+16m,得( t-6)2=4(2m+1)2,t- 6=2(2m+1),即 t=4m+8 或 t=-4m+4,代入( *)式检验知 t=4m+8 满足 0, 直线 DE 的方程为 x=my+4m+8=m(y+4)+8.3 直线过定点(8, -4).4.已知椭圆 L: =1(ab0)的离心率为 ,过点 ,与 x 轴不重合的直线过定点 T(m,0)(m 为x2a2+y2b2 22 (1,22)大于 a 的常数),且与椭圆 L 交于两点 A,B(可以重合),点 C 为点 A 关于 x 轴的对称点 .(1)求椭圆 L 的方程;(2) 求证
8、:直线 BC 过定点 M,并求出定点 M 的坐标; 求 OBC 面积的最大值 .解 (1)由题意可得 e= =1,a2-b2=c2,ca= 22,1a2+ 12b2解得 a= ,b=1,即椭圆的方程为 +y2=1.2x22(2) 证明:由对称性可得直线 BC 过定点,定点在 x 轴上,设直线 l 的方程为 x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),代入椭圆方程 x2+2y2=2,可得(2 +t2)y2+2tmy+m2-2=0,即有 = 4t2m2-4(2+t2)(m2-2)0,即为 8(t2-m2+2)0,y1+y2=- ,y1y2= 设 BC:y+y1= (x-x
9、1),2tm2+t2 m2-22+t2. y2+y1x2-x1令 y=0,可得 x= +m= +m= ,则直线 BC 过定点 Mx1y2+x2y1y1+y2 =(ty1+m)y2+(ty2+m)y1y1+y2 =2ty1y2y1+y2 2t(m2-2)-2tm 2m(2m,0). 记 OBC 的面积为 S,则 S= |OM|y2+y1|= ,12 1m|2tm2+t2|= 2|t|+2|t|由 0 可得 |t| (m ),m2-2 2 若 ,即 m2,Smax= ;m2-2 22m2-2+ 2m2-2 若 0,解得 k0 或 0k1.又 PA,PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点(1, -
10、2),从而 k -3.所以直线 l 斜率的取值范围是( - ,-3)( -3,0)(0,1) .(2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知 x1+x2=- ,x1x2=2k-4k2 1k2.5直线 PA 的方程为 y-2= (x-1).y1-2x1-1令 x=0,得点 M 的纵坐标为 yM= +2= +2.-y1+2x1-1 -kx1+1x1-1同理得点 N 的纵坐标为 yN= +2.-kx2+1x2-1由 = = ,得 = 1-yM,= 1-yN.QM QO,QN QO所以 =2.所1 +1 = 11-yM+ 11-yN= x1-1(k-1)x1+ x2-1(k-1)x2= 1k-12x1x2-(x1+x2)x1x2 = 1k-12k2+2k-4k21k2以 为定值 .1 +1
