1、4.1 因式分解,第四章 因式分解,1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重点） 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点）,导入新课,复习引入,问题1：21能被哪些数整除？,1，3，7，21.,问题2：你是怎样想到的？,因为21=121=37.,思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？,可以.,讲授新课,问题：993-99能被100整除这个吗？,所以，993-99能被100整除.,想一想: 993-99还能被哪些整数整除?,探究引入,问题探究,如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？,a,b,c,m,
2、方法一：m(a+b+c),方法二：ma+mb+mc,m(a+b+c)=ma+mb+mc,整式乘法,?,完成下列题目： x(x-2)=_ (x+y)(x-y)=_ (x+1)2=_,x2-2x,x2-y2,x2+2x+1,根据左空，解决下列问题： x2-2x=( )( ) x2-y2=( )( ) x2+2x+1=( )2,x,x-2,x+y,x-y,x+1,做一做,联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.,问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？,问题1：观察
3、同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？,总结归纳,把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.,其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.,判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：,辩一辩,A. x(ab)=axbx B. x21+y2=(x1)(x+1)+y2C. y21=(y+1)(y1) D. ax+by+c=x(a+b)+cE. 2a3b=a22ab F. (x+3)(x3)=x29,提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式.,做一做,根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=_ (2)
4、ma+mb+mc=_ (3) m2-16=_ (4) x2-6x+9=_ (5) a3-a=_,计算下列各式: (1) 3x(x-1)= _, (2) m(a+b+c) = _ , (3)(m+4)(m-4)= _, (4)(x-3)2= , (5)a(a+1)(a-1)= _,3x2 - 3x,ma+mb+mc,m2 -16,x2-6x+9,a3-a,3x(x-1),m(a+b+c),(m+4)(m-4),(x-3)2,a(a+1)(a-1),想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?,由a(a+1)(a-1)得到
5、a3-a的变形是整式乘法, 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.,x2-1 (x+1)(x-1),因式分解,整式乘法,x2-1 = (x+1)(x-1),等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积,想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？,是互为相反的变形，即,例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为 a（x2）（x+3），求a，b的值.,解：x2+ax+b=a（x2）（x+3）=ax2+ax-6a.a=1，b=6a=6.,典例精析,方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可
6、.,下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（ ） Ax2y2 Bx2+y2 Cx2+y2 Dx2y2,B,练一练,当堂练习,2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有_ . 24x2y=4x6xy （x+5）（x5）=x225 x2+2x3=（x+3）（x1） 9x26x+1=3x（x2）+1 x2+1=x（x+ ） 3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）,1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 （ ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ )
7、,C,3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为 ,解析：由题意可得x2+4mx+5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n，5n=5，4m=n+5解得n=1，m= ，m+n=1+ = .,4. 20042+2004能被2005整除吗?,解: 20042+2004=2004(2004+1)=2004 2005 20042+2004能被2005整除,5. 若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(x1)， 求mn的值.,解：x4+mx3+nx16的最高次数是4，可设x4+mx3+nx16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+n
8、x-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.mn=520=100,6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.,解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，a=6，同理，乙看错了a，但b是正确的，分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，b=9，a+b=15,课堂小结,因式分解,定义：把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做因式分解，也可称为_.,其中，每个整式叫做这个多项式的_.,与多项式乘法运算的关系,的变形过程.,前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者是把几个整式的_化为一个_.,积,分解因式,因式,相反,多项式,乘积,乘积,
