1、1宁夏六盘山高级中学 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择題：本大題共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念，两个集合的交集表示的是两者公共的元素，即表示 内大于 的整数，由此求得两个集合的交集，并得出正确选项.【详解】 表示两个集合的交集，即表示 内大于 的整数，故 ，故选C.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念以及交集的求解，考查区间的定义以及整数集符号 的识别，属于基础题.2.复数 在复平面内对应的点位于A. 第一象限
2、 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出 z 对应点的坐标，则答案可求【详解】复数 .对应的点为 ，位于第四象限.故选 D.z=(34i)i=43i (4,3)【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.在 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， ，则 （ ）ABC A,B,C a,b,c a=1 b= 3 A=6 B=A. B. C. 或 D. 或6 3 6 56 3 23【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，求得 的值，由此求得 的大小，从而得出正确选项.sinB B2【详解】由正弦定
3、理得 ，即 ，解得 ，故 或 ，所以选 D.asinA= bsinB 112= 3sinB sinB=32 B=3 23【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4.已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）a=( 3,0) b=(0,1) c=(k, 3) (a2b)c k=A. 2 B. C. D. 232 32【答案】B【解析】【分析】求出 ，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.a2b =( 3,2)【详解】由 ， ，a=( 3,0) b=(0,1)得 ，若 ，a2b =( 3,2) (a2b)c则 ，(a2b)c=0所以 .故选 B.3k+23=0,k
4、=2【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.x1y2x2y1=0 x1x2+y1y2=05.己知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则双曲线 的 C:x2a2y2b2=1(ab,b0) 2xy+1=0 C离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 5 3 2【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求得渐近线的斜率，在利用离心率公式求得双曲线的离心率.【详解】由于渐近线和直线 平行，故渐近线的斜率 ，所以双曲线的离心率2xy+1=0ba=2为 ，故选 B.e= 1+(ba)2= 1+4= 5【点睛】本小题
5、主要考查双曲线离心率的求法，考查两条直线平行的条件，考查化归与转化的数学思想方法以及运算求解能力，属于基础题.两条直线平行，那么它们的斜率相等，3截距不相等.双曲线的离心率公式除了 以外，还可以转化为 来求解出来.e=ca e= 1+(ba)26.设等比数列 前 项和为 ，若 , ，则 （ ）an n Sn S3=2S6=6 a10+a11+a12=A. 8 B. 16 C. 32 D. 79【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可知 成等比数列，通过这个数列的前 项求得公S3,S6S3,S9S6,S12S9 2比，进而求得 即 的值.S12S9 a10+a11+a12【详解】由于数列是
6、等比数列，故有 成等比数列，而 ，S3,S6S3,S9S6,S12S9 S3=2,S6S3=4故这个数列的公比为 ，首项为 ，所以 ，故选 B.2 2 a10+a11+a12=S12S9=223=16【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.若一个数列是等比数列，则也成等比数列.同样，如果一个数列是等差数列，则Sm,S2mSm,S3mS2m,也成等差数列.要熟练记忆一些有关等差数列和等比数列的性质，对Sm,S2mSm,S3mS2m,于解题有很大的帮助.7.函数 f(x)= 的大致图像为（ ）ln|x+1|x+1A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题主要利用排除法，当 时
7、，可得 ，故可排除 C，D，当 时，可排除选x + f(x)0 x 项 B，故可得答案.4【详解】当 时， ， ， ，故可排除 C，D 选项；x + |ln(x+1)|0 x+10 f(x)0当 时， ， ， ，故可排除 B 选项，x |ln(x+1)|0 x+1b0) P C PF相切于点 (其中为椭圆的半焦距)，且 ，则椭圆 的离心率为（ (xc3)2+y2=b29 Q PQ=2QF C）A. B. C. D. 53 52 13 12【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为 F1，确定 PF1PF，|PF 1|=b，|PF|=2ab，即可求得椭圆的离心率【详解】设椭圆的左焦点为 F1，连
8、接 F1，设圆心为 C，则7 (x-c3)2+y2=b29圆心坐标为 ，半径为 r=(c3,0) b3|F 1F|=3|FC| PQ=2QFPF 1QC，|PF 1|=b|PF|=2ab线段 PF 与圆 （其中 c2=a2b 2）相切于点 Q，(x-c3)2+y2=b29CQPFPF 1PFb 2+（2ab） 2=4c2b 2+（2ab） 2=4（a 2b 2） a=32b c= a2b2=52b c=ca=53故选：A【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式 ；a,c e=ca只需要根
9、据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 的齐次式，然后等a,b,c b2=c2a2 a,c式(不等式)两边分别除以或 转化为关于的方程(不等式) ，解方程(不等式)即可得(的取值a2范围).12.已知 ， ，若存在 ， ，使得 ，则称函数M=|f()=0 N=|g()=0 MN |0 h(x)时， ，函数 单调递减.所以 .而 ， ，所以x(2,3) h(x)1e，所以的取值范围为 .故选 B.1e0) P(x0,y0) x0+p2上的点 到焦点的距离为 .x2=2py(p0) P(x0,y0) y0+p216.三棱锥 中， 面 ，且 ，则该三棱锥的外接球的DABC DC ABC AB=B
10、C=CA=DC=2表面积是_.【答案】283【解析】【分析】作 的外接圆，过点 作圆的直径 ，连结 则 为三棱锥 的外接球的ABC C CM DMDM DABC直径，由此能求出三棱锥 的外接球表面积DABC【详解】 作 的外接圆，过点 作圆的直径 ，连ABC C CM结 ，则 为三棱锥 的外接球的直径，DM DM DABC三棱锥 平面 ，且 ， DABC中 ，DC ABC AB=BC=CA=DC=2 CM=2sin60=43， 平面 ， DC ABC DCCM，DM2=DC2+CM2=22+（43）2=283，三棱锥 的外接球表面积为： R=DM2=12283= 73， DABC S=4R2=
11、473=283故答案为： 283【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列 为等差数列，其中 ， an a2+a3=8 a5=3a2（1）求数列 的通项公式；an（2）记 ，设 的前 项和为 ，求最小的正整数 ，使得 成立bn=2anan+1 bn n Sn n Sn20192020【答案】 （1） ；（2 ） an=2n1 1010【解析】【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意可列方程组，即可求解（2）根据an d，
12、可裂项相消求和，解不等式即可求解.bn=2anan+1= 2(2n-1)(2n+1)= 12n-1- 12n+1【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ，an d依题意可得 ，解得 ， ，2a1+3d=8a1+4d=3a1+3d a1=1 d=2从而数列 的通项公式为 an an=1+2(n-1)=2n-1（2）由（1）知 ，所以 ，an=2n-1 bn=2anan+1= 2(2n-1)(2n+1)= 12n-1- 12n+1所以 Sn=(11-13)+(13-15)+( 12n-1- 12n+1)=1- 12n+1= 2n2n+1令 ，解得 ，2n2n+120192020 n20192故使得
13、成立的最小的正整数 的值为 Sn20192020 n 1010【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，裂项相消法，属于中档题.18.在三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ，且a.b.c2bca =cosCcosA（1）求角 A 的值；（2）若三角形面积为 ，且 ，求三角形 ABC 的周长.32 a= 5【答案】 （1） （2）A=3 5+ 11【解析】解:（1）因为 ，由正弦定理得2b-ca =cosCcosA (2b-c)cosA=acosC， (2sinB-sinC)cosA=sinAcosC12即 =sin(A+C) 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
14、因为 BAC，所以 sinB=sin(A+C)，所以 2sinBcosA=sinB因为 B(0，)，所以 sinB0，所以 ，因为 ，所以 cosA=12 0b0) F1,F2 |F1F2|=2 F1圆 交于 两点，延长 交椭圆 于点 ， 的周长为 8.C A,B BF2 C MABF214（1）求 的离心率及方程；C（2）试问：是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求 ；若不存在，请说明P(x0,0) PMPB x0理由.【答案】 （1） , ； （2）存在点 ，且 .12x24+y23=1 P x0=118【解析】【分析】（1）由已知条件得 ， ，即可计算出离心率和椭圆方程c=1 a=2（
15、2）假设存在点 ，分别求出直线 的斜率不存在、直线 的斜率存在的表达式，令其P BM BM相等，求出结果【详解】 （1）由题意可知， ，则 ，|F1F2|=2c=2 c=1又 的周长为 8，所以 ，即 ，ABF2 4a=8 a=2则 ， .e=ca=12 b2=a2-c2=3故 的方程为 .Cx24+y23=1（2）假设存在点 ，使得 为定值.P PMPB若直线 的斜率不存在，直线 的方程为 ， ， ，BM BM x=1 B(1,32) M(1,-32)则 .PMPB=(x0-1)2-94若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，BM BM y=k(x-1)设点 ， ，联立 ，得 ，B(x1,y1)
16、 M(x2,y2) x24+y23=1y=k(x-1) (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0根据韦达定理可得： ， ，x1+x2=8k24k2+3 x1x2=4k2-124k2+315由于 ， ，PM=(x2-x0,y2) PB=(x1-x0,y1)则 PMPB=x1x2-(x1+x2)x0+x20+y1y2=(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+x20=(4x20-8x0-5)k2+3x20-124k2+3因为 为定值，所以 ，PMPB4x20-8x0-54 =3x20-123解得 ，故存在点 ，且 .x0=118 P x0=118【点睛】本题考查了椭圆方程的求
17、法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握21.已知函数 ， .f(x)=xlnx g(x)=x1（1）求函数 的单调区间；G(x)=f(x)g(x)（2）当 时，若 恒成立，求实数的取值范围.x1 f(x4)4ag(x4)【答案】 （1）单调递增区间为 和 ，无单调递减区间；（2） .(0,1) (1,+) (,14【解析】【分析】（1）化简 ，求出 ，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数G(x)=xlnxx-1 G(x) G(x)0 x增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）设 ，G(x)
18、 G(x)0 x1 G(x)=x-1-lnx(x-1)2设 ，则 .h(x)=x-1-lnx h(x)=1-1x当 时， ， 是增函数， ，所以 .x1 h(x)=1-1x0 h(x) h(x)h(1)=0 G(x)=x-1-lnx(x-1)20故 在 上为增函数；G(x) (1,)当 时， ， 是减函数， ，所以 ，所0h(1)=0 G(x)=x-1-lnx(x-1)20以 在 上为增函数.G(x) (0,1)故 的单调递增区间为 和 ，无单调递减区间.G(x) (0,1) (1,+)16（2）设 ，则 .H(x)=14f(x4)-ag(x4) H(x)=x3(4lnx+1-4a)已知条件即
19、为当 时 .x1 H(x)0因为 为增函数，所以当 时， .y=4lnx+1-4a x1 4lnx+1-4a4ln1+1-4a=1-4a当 时， ，当且仅当 ，且 时等号成立.a14 H(x)0 a=14 x=1所以 在 上为增函数.H(x) 1,+)因此，当 时， .x1 H(x)H(1)=0所以 满足题意.a14当 时，由 ，得 ，解得 .a14 H(x)=x3(4lnx+1-4a)=0 lnx=a-14 x=ea-14因为 ，所 ，所以 .a14 a-140 ea-14e0=1当 时， ，因此 在 上为减函数.x(1,ea-14) H(x)0 H(x) (1,ea-14)所以当 时， ，
20、不合题意.x(1,ea-14) H(x)H(1)=0综上所述，实数的取值范围是 .(-,14【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、求最值以及不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立(af(x)即可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 af(x)max af(x) af(x)min y=f(x) y=g(x)上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.f(x)min0 f(x)max0请考生在第 22、23 题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.在平面直角坐标系 ，曲线 ，曲线 （为参
21、数） ，以坐标原xoy C1:x+y4=0 C2:x=cosy=1+sin点 为 极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 .O x（1）求曲线 ， 的极坐标方程；C1 C2（2）射线 分别交 ， 于 ， 两点，求 的最大值.l:=a(0,0a2) C1 C2 MN |ON|OM|【答案】 （1） ， ；（2）cos+sin4=0 =2sin2+14【解析】【分析】17（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值【详解】 （1）因为 ， ， ，所以 的极坐标方程为 ，cos+sin-4=0因为 的普
22、通方程为 ，即 ，对应极坐标方程为 （2）因为射线 ，则 ，l:=(0,02) M(1,),N(2,)则 ，所以1=4sin+cos,2=2sin |OM|ON|=21=12sin(sin+cos)24sin(2-4)+14又 ， ，2-4(-4,34)所以当 ，即 时， 取得最大值 2-4=2 =38 |OM|ON| 2+14【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用23.已知函数 ，其中 .f(x)=|x-2|+|x+a| aR（1）当 时，求不等式 的解集；a=1 f(x)6（2）若存在 ，使得 ，求实数的取值范
23、围.x0R f(x0)2018a【答案】 （1） 或 （2）x|x52 x72 ( 22017,+)【解析】【分析】(1) 利用零点区分区间，在每个区间内解不等式，等不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求函数 的最小值，因为存在 ，使得 ，所以 的最小值小于f(x) x0R f(x0)2018a f(x)，解得的取值范围2018a【详解】 （1）当 时， ，a=1f(x)=|x-2|+|x+1|=-2x+1,x-13,-1x22x-1,x2 所以 或 或 ，f(x)6x-1-2x+16 -1x236 x22x-16 解得 或 ，18因此不等式 的解集的 或（2） ，易知 ，由题意，知，解得 ，所以实数的取值范围是【点睛】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有：1.利用绝对值的几何意义；2.利用绝对值三角不等式，即 ；3.利用零点区分区间，求每个区间内最值再求函数最值
