1、12.3.1 直线与平面垂直的判定【选题明细表】 知识点、方法 题号线面垂直的定义及判定定理的理解 1,2,3,5,6线面垂直的判定及证明 4,8直线与平面所成的角 7,9综合问题 10,11基础巩固1.设 l,m 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是( A )(A)若 l,lm,则 m (B)若 l,m,则 lm(C)若 lm,m,则 l (D)若 l,m,则 lm解析:易知 A 正确.B.l 与 m 可能异面,也可能平行.C.当 l 与 内两条相交直线垂直时,才能判定 l,D.l 与 m 可能平行、异面或相交.2.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC,BD
2、的关系是( C )(A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交 (D)不垂直也不相交解析:取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,则 BDAO,BDCO,所以 BD平面 AOC,BDAC,又 BD,AC 异面,故选 C.3.(2018云南玉溪中学高一测试)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直,则直线 l 和平面 的位置关系是( D )(A)垂直 (B)平行(C)l 在 内 (D)无法确定解析:当 l 与平面 内的无数条直线都垂直,若这无数条直线互相平行,则 l 可能在 内,也可能与平面 平行,相交,故选 D.4.(2018陕西西安高一期末)已知 P 为ABC 所在平面外一点,P
3、APB,PBPC,PCPA,PH平面 ABC,垂足 H,则 H 为ABC 的( B )(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心解析:连接 AH 并延长,交 BC 于 D,连接 BH 并延长,交 AC 于 E;因为 PAPB,PAPC,故 PA平面 PBC,故 PABC;因为 PH平面 ABC,故 PHBC,故 BC平面 PAH,故 AHBC;同理 BHAC;故 H 是ABC 的垂心.5.下列说法中错误的是( D )如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必2相交;如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内;如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内
4、;如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线.(A) (B) (C) (D)解析:由线面垂直的判定定理可得错误,正确.故选 D.6.(2018南昌调研)若 , 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号) 若直线 m,则在平面 内,一定不存在与直线 m 平行的直线;若直线 m,则在平面 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直;若直线 m,则在平面 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线;若直线 m,则在平面 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.解析:对于,若直线 m,如果 , 互相垂直,则在平面 内,存在与直线 m 平行的直线,故错误;对于,若直线 m
5、,则直线 m 垂直于平面 内的所有直线,则在平面 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直,故正确;对于,若直线 m,则在平面 内,一定存在与直线 m 垂直的直线,故错误,正确.答案:7.如图所示,ACB=90,平面 ABC 外有一点 P,PC=4 cm,PF,PE 垂直于 BC,AC 于点 F,E,且PF=PE=2 cm,那么 PC 与平面 ABC 所成角的大小为 . 解析:过 P 作 PO 垂直于平面 ABC 于 O,连接 CO,则 CO 为ACB 的平分线.连接 OF,可证明CFO 为直角三角形,CO=2 ,RtPCO 中,cosPCO= ,PCO=45.答案:458.如图,已知ABC 中
6、,ACB=90,SA平面 ABC,ADSC 于 D,求证:AD平面 SBC.证明:因为ACB=90,所以 BCAC.又 SA平面 ABC,所以 SABC.又 ACSA=A,所以 BC平面 SAC.因为 AD平面 SAC,所以 BCAD.又 SCAD,SCBC=C,3所以 AD平面 SBC.能力提升9.(2018宁夏银川高一期末)在正三棱柱 ABC-A1B1C1中(底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),已知 AB=1,D 在棱 BB1上,且 BD=1,则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:如图,分别取 C1A1,CA 的中点 E,F,
7、连接 B1E 与 BF,则 B1E平面 CAA1C1,过 D 作 DHB 1E,则DH平面 CAA1C1,连接 AH,则DAH 为 AD 与平面 AA1C1所成的角,由已知易得 DH=B1E= ,DA=,所以 sinDAH=2= .10.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD底面 ABCD,给出下列结论:ACSB;AB平面 SCD;SA 与平面 ABD 所成的角等于 SC 与平面 ABD 所成的角;ACSO.正确结论的序号是 . 解析:连接 SO,如图所示,因为四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,所以 ACBD.因为 SD底面 ABCD,所以 SDAC,因为 SDBD=D,所以 A
8、C平面 SBD,因为 SB平面 SBD,所以 ACSB,则正确;因为 ABCD,AB平面 SCD,CD平面 SCD,所以 AB平面 SCD,则正确;因为 SD底面 ABCD,所以SAD 和SCD 分别是 SA 与平面 ABD 所成的角、SC 与平面 ABD 所成的角,4因为 AD=CD,SD=SD,所以SAD=SCD,则正确;因为 AC平面 SBD,SO平面 SBD,所以 ACSO,则正确.答案:教师备用:侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC-ABC满足BAC=90,AB=AC= AA=2,点 M,N 分别为 AB,BC的中点.12(1) 求证:MN平面 AACC;(2) 求证:AN平面 BCN;(
9、3) 求三棱锥 C-MNB 的体积.(1)证明:如图,连接 AB,AC,因为四边形 ABBA为矩形,M 为 AB 的中点,所以 AB与 AB 交于点 M,且 M 为 AB的中点,又点 N 为 BC的中点,所以 MNAC,又 MN平面 AACC,且 AC 平面 AACC,所以 MN平面 AACC.(2)证明:因为 AB=AC=2,点 N 为 BC的中点,所以 ANBC.又 BB平面 ABC,所以 ANBB,所以 AN平面 BCN.(3)解:由图可知 = ,因为BAC=90,所以 BC= =2 ,2+2SBCN = 2 4=4 .12 2 2由(2)及BAC=90可得 AN= ,2因为 M 为 A
10、B 的中点,所以 M 到平面 BCN 的距离为 ,所以 = = 4 = .13 2 435探究创新11.如图(1),在 RtABC 中,C=90,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点.将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置,使 A1FCD,如图(2).(1)求证:DE平面 A1CB;(2)求证:A 1FBE;(3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C平面 DEQ?说明理由.(1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DEBC.又因为 DE平面 A1CB,BC平面 A1CB,所以 DE平面 A1CB.(2)证明:由已知得 ACBC 且 D
11、EBC,所以 DEAC.所以 DEA 1D,DECD.所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC,所以 DEA 1F.又因为 A1FCD,所以 A1F平面 BCDE.所以 A1FBE.(3)解:线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C平面 DEQ.理由如下:如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQBC.又因为 DEBC,所以 DEPQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP.由(2)知,DE平面 A1DC,所以 DEA 1C.又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点,所以 A1CDP.所以 A1C平面 DEP.从而 A1C平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C平面 DEQ.
