1、1五 解析几何(A)1.(2018黄陵高三期中)已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,点 Q 的坐标为(-2,3).(1)若 P(a,a+1)在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率;(2)求|MQ|的最大值和最小值;(3)设 M(m,n),求 的最大值和最小值.2.(2018武侯区校级模拟)已知椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,A 点坐标为(- ,0),P 为椭2圆 C 上不同于 A,B 的任意一点,且满足 kAPkBP=- .(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 F 为椭圆 C 的右焦点,直线 PF 与椭圆 C 的另一交点为 Q,PQ 的中点为 M
2、,若|OM|=|QM|,求直线 PF 的斜率 k.3.(2013广东卷)已知抛物线 C 顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 ,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点.(1)求抛物线 C 的方程;(2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;(3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|BF|的最小值.4.(2018红桥区一模)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,椭圆 C 与 y 轴交于 A,B2222两点,且|AB|=2.(1)求椭圆 C 的方程;(2)
3、设点 P 是椭圆 C 上的一个动点,且点 P 在 y 轴的右侧.直线 PA,PB 与直线 x=4 分别交于 M,N两点.若以 MN 为直径的圆与 x 轴交于两点 E,F,求点 P 横坐标的取值范围及|EF|的最大值.21.解:(1)由点 P(a,a+1)在圆 C 上,可得 a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以 a=4,即 P(4,5).所以|PQ|= =2 ,kPQ= = .(4+2)2+(53)2(2)由 x2+y2-4x-14y+45=0 可得(x-2) 2+(y-7)2=8,所以圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 .2可得|QC|= =4 ,(2+2)2+(7
4、3)2因此|MQ| max=|QC|+r=4 +2 =6 ,2 2|MQ|min=|QC|-r=4 -2 =2 .2 2(3)分析可知, 表示直线 MQ 的斜率.3+2设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0,则 =k.3+3由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 2 ,可得 2- k2+ ,|27+2+3|2+12 3 3所以 的最大值为 2+ ,最小值为 2- .3+2 3 32.解:(1)设 P(x,y)(x ),2所以 kAPkBP=- ,所以 =- ,12 12整理得 +y2=1(x ),2但 A,B 两点在椭圆上,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.(
5、2)由题可知,斜率一定存在且 k0,设过焦点 F 的直线方程为 x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),联立 则(m 2+2)y2+2my-1=0,22+2=1,=+1,3所以 所以0= 22+2,0= 2+2,所以|OM|= ,而|QM|= |PQ|12= 12 (1+)2 42(2+2)2+4(2+2)(2+2)2= 12 (2+1)(82+8)(2+2)2= ,22+12+2因为|OM|=|QM|,所以 = ,22+12+2所以 m2= ,所以 k2=2,所以 k= .12 2因此,直线 PF 的斜率为 .23.解:(1)因为抛物线 C 的焦点 F(0,c)(
6、c0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 ,322所以 = ,322得 c=1,所以 F(0,1),即抛物线 C 的方程为 x2=4y.(2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2),由 x2=4y 得 y= x,12所以切线 PA:y-y1= x1(x-x1),12有 y= x1x- +y1,12 1221而 =4y1,21即切线 PA:y= x1x-y1,124同理可得切线 PB:y= x2x-y2.12因为两切线均过定点 P(x0,y0),所以 y0= x1x0-y1,y0= x2x0-y2,12 12由此两式知点 A,B 均在直线 y0= xx0-y 上,12所以直线 AB 的方程
7、为 y0= xx0-y,12即 y= x0x-y0.12(3)设点 P 的坐标为(x,y),由 x-y-2=0,得 x=y+2,则|AF|BF|= 21+(11)2 22+(21)2= 41+(11)2 42+(21)2= =(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得 y2+(2y-x 2)y+y 2=0,有 y1+y2=x 2-2y,y 1y2=y 2,所以|AF|BF|=y 2+x 2-2y+1=y 2+(y+2) 2-2y+1=2(y+ )2+ ,12 92当 y=- ,x= 时,12 32即 P( ,- )时,|AF|BF|取得最小值 .32 12 924.解:(1)由题意可得,2b=2,即 b=1,e= = ,得 = , 212 34解得 a2=4,椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.(2)法一 设 P(x0,y0)(00,解得 x0( ,2.85则|x 1-x2|=2 ( 0,解得 x0( ,2.85该圆的直径为-1- +1 = 2- ,圆心到 x 轴的距离为-1+ +1 = ,12该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 =2 ( x02),(140) 2(400) 2 58085所以该圆被 x 轴截得的弦长最大值为 2.
