1、1专题能力提升练 七 三角恒等变换与解三角形(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1. cos 15-4sin215cos 15= ( )3A. B. C.1 D.12【解析】选 D. cos 15-4sin215cos 15= cos 15-2sin 152sin 15cos 15= cos 15-2sin 15sin 30= cos 15-sin 15=2cos(15+30)= .2.(2018永州二模)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 + =2a,则ABC 是 ( )A.等边三角形 B.锐角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形【
2、解析】选 C.因为 + =2a,所以由正弦定理可得, + =2sin A2=2,所以 sin A=1,当 = 时,“=”成立,所以 A= ,b=c,2所以ABC 是等腰直角三角形.3.(2018全国卷)在ABC 中,cos = ,BC=1,AC=5,则 AB=( )A.4 B. C. D.2302【解析】选 A.cos C=2cos2 -1=2 -1=- ,(55)2 35在ABC 中,由余弦定理 AB2=CA2+CB2-2CACBcos C,得 AB2=25+1-215 =32,(-35)所以 AB=4 .4.若向量 a= ,向量 b=(1,sin 22.5),则 ab=( )A.2 B.-
3、2 C. D.-【解析】选 A.由题得 ab=tan 67.5+=tan 67.5+=tan 67.5-tan 22.5=tan 67.5-=2 =2=2.【加固训练】(2018会宁一中一模)已知 x 为锐角, = ,则 a 的取值范围为 ( )-A.-2,2 B.(1, )C.(1,2 D.(1,2)3【解析】选 C.由 = ,可得:-a= sin x+cos x=2sin ,(+6)又 x ,所以 x+ ,(0,2) 6(6,23)所以 a 的取值范围为(1,2.5.在锐角ABC 中,A=2B,则 的取值范围是 ( )A.(-1,3) B.(1,3) C.( , ) D.(1,2)【解析】
4、选 D. = = =3-4sin2B.3因为ABC 是锐角三角形,所以01)米,AC=t(t0)米,依题设 AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在ABC 中,由余弦定理得: AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t= (x1),即 t=x-1+ +2,0.75-1因为 x1,故 t=x-1+ +22+ ,当且仅当 x=1+ 时取等号,此时取最小值 2+ .0.75-1答案:2+三、解答题(每小题 10 分,共 40 分)9.(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求 cosA
5、DB.(2)若 DC=2 ,求 BC.【解析】(1)在ABD 中,由正弦定理得 = . 由题设知, = ,545 2所以 sinADB= .7由题意知,ADB0,故 cos B= ,14又 sin2B+cos2B=1,所以 sin B= .154(2)由(1)和 3sin2C=5sin2Bsin2A 得 16sin2C=25sin2A,由正弦定理得 16c2=25a2,因为 c=5,所以 a=4,BD= a=2,12在ABD 中,由余弦定理得:AD 2=c2+BD2-2cBDcos B=52+22-252 =24,14所以 AD=2 .所以ABD 的周长为 c+BD+AD=7+2 .(建议用时
6、:50 分钟)1.(2018石家庄一模)南宋数学家秦九韶早在数书九章中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S= ,cba),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜1422-(2+2-22 )2一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为 ( )A.82 平方里 B.83 平方里C.84 平方里 D.85 平方里【解析】选 C.由题意可得:a=13,b=14,c=15 代入:S=1422-(2+2-22 )212= =84,则该三角形田面积为 84
7、 平方里.2.已知ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2sin =1,且 a=2,则ABC的面积的最大值为 ( )A. B. C. D.2【解析】选 B.sin = , - = ,A= ,由于 a=2 为定值,12 66 23由余弦定理得 4=b2+c2-2bccos ,即 4=b2+c2+bc.根据基本不等式得234=b2+c2+bc2bc+bc=3bc,即 bc ,当且仅当 b=c 时,等号成立.43S = bcsin A = .12 12433.在ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,则边
8、b=_. 【解析】 由 sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,得 sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以 sin C=csin B,即 =sin B,由正弦定理 = ,故 b= =1. 答案:14.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设ABC 的面积为 S,若 3a2=2b2+c2,则的最大值为 _. 2+22【解析】因为 3a2=2b2+c2,所以 3a2=3b2-b2+3c2-2c2,13所以 b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以 = = tan A.2+22126由题得 a2= ,所以 cos A=22
9、+23 2+2-22= = = ,所以 tan A= = ,当且仅当 b= c 时取等号.12-1 92-1 142 2所以 的最大值为 .2+22答案:【加固训练】(2018衡水中学模拟)在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= ,(b2+c2-3)tan A= bc,2cos2 =( -1)cos C,则ABC 的面积等于_. +2【解析】条件(b 2+c2-3)tan A= bc即为(b 2+c2-a2)tan A= bc,由余弦定理得 2bccos Atan A= bc,所以得 sin A= ,又 A 为锐角,所以 A= .314又 2cos2 =1+co
10、s(A+B)+2=1-cos C=( -1)cos C,所以 cos C= ,得 C= ,故 B= .4在ABC 中,由正弦定理得 = ,所以 c= = = .32232 2故ABC 的面积S= acsin B= sin = .12 12 3+34答案:3+345.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(b-c) 2=a2- bc.32(1)求 sin A.(2)若 a=2,且 sin B,sin A,sin C 成等差数列,求ABC 的面积.【解析】(1)由(b-c) 2=a2- bc,32得 b2+c2-a2= bc,12即 = ,由余弦定理得 cos A= ,2+2-
11、22 14 14因为 0A,所以 sin A= .154(2)由 sin B,sin A,sin C 成等差数列,得 sin B+sin C=2sin A,15由正弦定理得 b+c=2a=4,所以 16=(b+c)2,所以 16=b2+c2+2bc.由(1)得 16=a2+ bc,所以 16=4+ bc,52 52解得 bc= ,所以 SABC = bcsin A= = .12 12 154 31556.(2018太原一模)ABC 的内角为 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 =+ .(1)求 sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)的最大值.(2)若 b= ,当ABC
12、 的面积最大时,求ABC 的周长.【解题指南】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角公式转化为二次函数求解.(2)根据余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由 = + 得:= ,+a=bcos C+csin B,即 sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以 cos B=sin B,B= ;4由 sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)= (sin A+cos A)+sin Acos A,令 t=sin A+cos A,原式= t2+ t- ,12 12当且仅当 A= 时,上式取最大值 ,最大值为 .4 5216(2)S= acsin B
13、= ac,b2=a2+c2-2accos B,12即 2=a2+c2- ac(2- )ac,ac2+ ,当且仅当 a=c= 等号成立;S max= ,2+12周长 L=a+b+c=2 + .7.(2018唐山二模) 如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=2 ,AC=2,ADC=CAB=90,设DAC=.(1)若 =60,求 BD 的长度;(2)若ADB=30,求 tan .【解题指南】(1)在ABD 中,利用余弦定理直接求出 BD.(2)在ABD 中,写出正弦定理再化简即得解.【解析】(1)由题意可知,AD=1.在ABD 中,DAB=150,AB=2 ,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(2 )2+12-22 1 =19,BD= .19(2)由题意可知,AD=2cos ,ABD=60-,在ABD 中,由正弦定理可知,= ,所以 =4 ,所以 tan = .2(60-) 3
