1、第1课时 等差数列、等比数列,热点考向一 等差(比)数列的基本运算 考向剖析:本考向考查题型为选择填空题或解答题,主要考查利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、等差(比)数列的性质进行五个基本量的“知三求二”运算.考查数学运算能力,为基础或中档题,分值为512分.,2019年的高考仍将以选择填空题或解答题形式考查,除常规的“知三求二”运算外,也不排除对数列应用问题的考查.,【典例1】(1)(2018成都二模)设等差数列an的前n项和为Sn.若S4=20,a5=10,则a16= ( ) A.-32 B.12 C.16 D.32,(2)(2018兰州一模)已知an是各项均为正数的等比 数列,
2、Sn为其前n项和,若a1=1,a3a5=64,则S6=( ) A.65 B.64 C.63 D.62,【解析】(1)选D.由已知得 解得 所以a16=a1+15d=2+152=32. (2)选C.因为a3a5= q6 = q6 = 64,解得q=2或q= -2(舍),所以S6= =63.,【名师点睛】等差(比)数列的基本运算 等差(比)数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项a1和公差d(公比q),在列方程组求解时,要注意整体计算,以减少计算量.,【考向精炼】 1.已知数列an满足an+1=2an(nN*),a1+a3=2,则a5+a7 = ( ) A.8 B.16 C.32 D.64,
3、解析】选C.因为数列an满足an+1=2an(nN*),所以此数列是等比数列,公比为2.则a5+a7=24(a1+a3)= 242=32.,2.已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S8=4S4,则a10= ( ) A. B. C.10 D.12 【解析】选B.由S8=4S4可知,8a1+28d=4 , 即8a1+28=16a1+24解得a1= , 所以a10=a1+9d=,【加练备选】 1.(2018菏泽一模)已知在等差数列an中,a1=1, a3= 2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+an,且Sk=66,则k的值为 ( ) A.9 B.11 C.10 D.12,
4、解析】选B.因为在等差数列中,第一项、第三项、第 五项分别为1,2a+1,3a+2,所以2(2a+1)=1+3a+2,解得 a=1,所以公差d= =a=1,所以Sk=k1+ 1=66,解得k=11或k=-12(舍).,2.(2018济南三诊)中国古代数学名著九章算术 中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之 粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半 牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有 牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟. 羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人,说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例 偿还,他们各应偿还多少?
5、已知牛、马、羊的主人应偿 还a升,b升,c升,1斗为10升;则下列判断正确的是( ),A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a= B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c= C.a,b,c依次成公比为 的等比数列,且a= D.a,b,c依次成公比为 的等比数列,且c=,【解析】选D.根据“我羊所吃的禾苗只有马的一 半”“我马所吃的禾苗只有牛的一半”可知“a,b,c 依次成公比为 的等比数列”. a+b+c=a+ a+ a=50,解得a= , 所以c= a= .,热点考向二 等差(比)数列性质的应用 考向剖析:本考向考题形式为选择填空题或解答题,主要渗透在等差、等比数列的运算、判断、推理
6、问题之中.考查灵活运用性质快速进行数学运算的能力.2019年的高考中等比数列的性质仍将会渗透在选择填空题或解答题中考查.,【典例2】(1)(2018聊城一模)设等差数列an的前n项和为Sn,若S13=104,a6=5,则数列an的公差为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,(2)(2018菏泽一模)等比数列an中,a2,a16是方程 x2+6x+2=0的两个实数根,则 的值为( ) A.2 B.- 或 C. D.-,【解析】(1)选B.由S13=13a7=104得,a7=8,所以d=a7- a6=8-5=3. (2)选B.因为a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,所以a2+a16 =-
7、6,a2a16=2, 所以a20,a160,即a10,q0, 所以,【名师点睛】等差、等比数列性质的应用策略 (1)项数是关键:解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系,寻找项与项之间、多项之间的关系,选择恰当的性质解题.,(2)整体代入:计算时要注意整体思想,如求Sn可以将与a1+an相等的式子整体代入,不一定非要求出具体的项. (3)构造不等式函数:可以构造不等式函数利用函数性质求范围或最值.,【考向精炼】 1.等比数列an中,a3=-2,a11=-8,则a7= ( ) A.-4 B.4 C.4 D.-5,【解析】选A.方法一:基本量法 由已知得 所以a7=a1q6= =-4.,方法二:等
8、比中项法=a3a11 =(-2)(-8)= 16,在等比数列中,奇数项同号,偶数项同号,已知a30,a110,所以a7=-4.,2.(2018沈阳三模)设等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=_. 【解析】在等比数列an中,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即3,15-3,S6-15成等比数列,解得S6=63. 答案:63,【易错提醒】在等比数列中,若公比q=-1,则以上性质不能随意应用.比如:等比数列1,-1,1,-1,此时S2,S4-S2,S6-S4的每一项都是0,不能构成等比数列.,3.已知递增的等差数列an的前三项和为-6,前三项积为10,则前10项和S1
9、0=_. 世纪金榜导学号,【解析】设前三项为a-d,a,a+d(d0), 则有 所以数列首项为a-d=-5,公差d=3, 故前10项和为S10=10a1+ d=-50+135=85. 答案:85,热点考向三 等差(比)数列的判断与证明 高频考向,类型一 等差数列的判断与证明 【典例3】已知数列an满足 =2n2+2n(n=2,3,4,)，a1=6. (1)求证 为等差数列,并求出an的通项公式. (2)数列 的前n项和为Sn,求证:Sn .,【大题小做】,【解析】(1)因为nan-(n+1)an-1=2n2+2n, 所以 =2. 所以数列 是以 =3为首项,2为公差的等差数列. 所以 即an=
10、2)因为 所以Sn=,【易错警示】 未能正确将已知等式变形,得不到数列an的通项公式; 证明不等式成立时,放缩技巧应用不恰当.,【探究追问】 若将已知等式改为“nan-(n+1)an-1=n2+n”且首项为“a1=2”,试解决问题(1).,【解析】因为nan-(n+1)an-1=n2+n, 所以 =1. 所以数列 是以 =1为首项,1为公差的等差数列. 所以,类型二 等比数列的判断与证明 【典例4】(2018聊城一模)已知数列an满足a1= -2,an+1=2an+4. (1)证明:an+4是等比数列. (2)求数列an的前n项和Sn.,【审题导引】 (1)要证明an+4是等比数列,只要将
11、已知等式an+1= 2an+4化为_即可. (2)要求数列an的前n项和,根据等差、等比数列的前 n项和公式进行_求和即可.,an+1+4=2(an+4),分组,【解析】(1)由an+1=2an+4得, an+1+4=2an+4+4=2(an+4), 若an+4=0,则an=-4,与a1=-2矛盾, 所以 =2,故an+4是首项为a1+4=2,公比为2的等比数列.,(2)由(1)可知an+4=22n-1=2n,所以an=2n-4, 由分组求和法可知,Sn= -4n=2n+1-4n-2.,【名师点睛】等比数列的等价条件 an是等比数列 (1)定义:nN*,an+1=qan,q为非零常数. (2)
12、等比中项:nN*, ,anan+10. (3)通项公式:nN*,an=cqn,c,q0为常数.,(4)前n项和公式:nN*,Sn=n(常数列)或者Sn= (qn-1),0,q0,1.,【考向精炼】 1.设数列an的首项a1=a ,且an+1= 记bn=a2n-1- ,n=1,2,3, (1)求a2,a3与b1,b2,b3(用a表示). (2)判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论.,【解析】(1) (2)bn是等比数列.证明如下: 因为bn+1=a2n+1-,且b1=a- 0, 所以bn是首项为a- ,公比为 的等比数列.,2.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,且满足an+1=Sn+
13、 2n+1(nN*). 世纪金榜导学号 (1)证明: 数列 为等差数列. (2)求S1+S2+Sn.,【解析】(1)由条件可知,Sn+1-Sn=Sn+2n+1,即Sn+1-2Sn =2n+1, 整理得 =1,所以数列 是以1为首项,1为公差 的等差数列.,(2)由(1)可知, =1+n-1=n,即Sn=n2n, 令Tn=S1+S2+Sn, Tn=12+2 22+n2n 2Tn=122+(n-1)2n+n2n+1 -,-Tn=2+22+2n-n2n+1, 整理得Tn=2+(n-1)2n+1.,【加练备选】 1.关于等差数列和等比数列,有如下四个说法: 若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(
14、a,b,c为常数),则数列an为等差数列; 若数列an的前n项和Sn=2n+1-2,则数列an为等差数列;,数列an是等差数列,Sn为前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等差数列; 数列an是等比数列, Sn为前n项和,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,仍为等比数列; 其中正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选A.若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),当c=0时,数列an为等差数列,否则不是等差数列;错误; 若数列an的前n项和Sn=2n+1-2,可求得an=2n,是等比数列,错误;,数列an是等差数列, Sn为前n
15、项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等差数列;正确; 若数列an公比q=-1,n为偶数,则Sn,S2n-Sn均为0,不为等比数列,故错误. 正确的说法有1个.,【名师点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质,如等差数列的通项公式为an与n的一次函数关系,常数数列为常数函数关系,前n 项和与n的关系为二次函数关系且常数项为零等;等差数列等长片段和仍成等差数列;等比数列等长片段和仍成等比数列等.,2.已知数列an满足a1=4,an=4- (n2),令bn= (1)求证:数列bn是等差数列. (2)求数列an的通项公式.,【解析】(1)由已知得:当n2时, 故bn是首项为 ,公差为 的等差
16、数列.,(2)由(1)可知,bn= 即 解得an=2+ .,3.在数列an中,已知a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an. (1)证明数列an+1-an是等比数列,并求数列an的通 项公式. (2)设bn=log2(an+1),bn的前n项和为Sn,求证,【解析】(1)由an+2=3an+1-2an得: an+2-an+1=2(an+1-an), 又因为a1=1,a2=3,即a2-a1=2, 所以数列an+1-an是首项为2,公比为2的等比数列. an+1-an=22n-1=2n,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+2+22+2n-1=2n-1. (2)bn=log2(an+1)=log22n=n,Sn=,所以,
