1、1专题能力提升练 十四 概率、随机变量及其分布列(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.(2018邯郸一模)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为 ( )A.0.56 B.0.336 C.0.32 D.0.224【解析】选 D.该选手只闯过前两关的概率为 0.80.7(1-0.6)=0.224.2.从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个数大于 30 的概率为( )A. B. C. D.16 13 35【
2、解析】选 D.由题意知,试验发生包含事件是从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字,构成一个两位数,共 =20 种结果 .满足条件的事件可以列举出 :31,32,2534,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共有 12 个,根据古典概型的概率公式,得到 P= = .1220353.袋中装有 2 个红球,3 个黄球,有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 球,则 3 次中恰有 2 次抽到黄球的概率是 ( )A. B. C. D.25 35【解析】选 D.袋中装有 2 个红球,3 个黄球,有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 球,每次取到黄球的概率 p1= ,35所以 3 次中
3、恰有 2 次抽到黄球的概率是:P= = .4.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和 ,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为23342( )A. B. C. D.34 23 57【解析】选 D.根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是 + = .23(1-34)34(1-23)5.如图,圆 O:x2+y2=16 内的正弦曲线 y=sin x,x-,与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分),随机向圆 O 内投一个点 P,记 A 表示事件“点 P 落在第一象限”,B 表示事件“点
4、 P 落在区域 M 内”,则概率 P(B|A)= ( )A. B. C. D.18 14 12 12【解析】选 C.圆 O 的面积为 16,阴影部分的面积为S=2 sin xdx=-2cos x =4,所以 P(AB)= = ,P(A)= ,18 14所以 P(B|A)= = .()() 126.某市 1 路公交车每日清晨 6:30 于始发站 A 站发出首班车,随后每隔 10 分钟发出下一班车.甲、乙二人某日清晨均需从 A 站搭乘该路公交车上班,甲在 6:356:55 内随机到达 A 站候车,乙在 6:507:05 内随机到达 A 站候车,则他俩能搭乘同一班公交车的概率是( )A. B. C.
5、 D.16 14 133【解析】选 A.建立如图所示的直角坐标系,x,y 分别表示甲、乙二人到达 A 站的时刻,则坐标系中每个点(x,y)可对应某日甲、乙二人到达车站的时刻的可能性.根据题意,甲、乙二人到达 A 站时间的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,而其中二人可搭乘同一班车对应的区域为黑色区域.根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为 = .16【加固训练】甲、乙二人约定 7:10 在某处会面,甲在 7:007:20 内某一时刻随机到达,乙在 7:057:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙 5 分钟的概率是 ( )A. B. C. D.18 14 38 58【解析】选 C.建
6、立直角坐标系如图,x,y 分别表示甲、乙二人到达的时刻,则坐标系中每个点(x,y)可对应甲、乙二人到达时刻的可能性.则甲至少等待乙5 分钟应满足的条件是 y-x5,其构成的区域为如图阴影部分,则所求的概率为 P= = .38二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)7.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2, 2),且 P(0X2)=0.3,则 P(X4)=_. 【解析】由题意结合正态分布的性质可知:P(2X4)=0.3,则 P(X4)= =0.2.4答案:0.28.已知点 P(3,0),在O:x 2+y2=1 上任取一点 Q,则|PQ| 的概率为_.13【解析】根据题意,可设点 Q 的坐标为
7、(cos ,sin ),(-,所以|PQ| 2=(cos -3) 2+sin2=1-6cos +9=13,解得 cos =- ,12所以 = ,结合图形利用几何概型的概率公式可得所求概率为 P= = .23 23答案:23【加固训练】(2017重庆一模)函数 f(x)=x2-2x-3,x-4,4,任取一点 x0-4,4,则 f(x0)0的概率为_. 【解析】由 x2-2x-30,解得:-1x3,所以使 f(x0)0 成立的概率 P= = .3-(-1)4-(-4)12答案:12三、解答题(每小题 10 分,共 40 分)9.随着全民健康运动的普及,每天一万步已经成为一种健康时尚,某学校为了教职
8、工能够健康工作,在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动,学校界定一人一天走路不足 4 千步为“健步常人”,不少于 16 千步为“健步超人”,其他人为“健步达人”,学校随机抽取抽查人 36 名教职工,其每天的走步情况统计如下:步数 0,4 000) 4 000,16 000) 16 000,+)人数 6 18 12现对抽查的 36 人采用分层抽样的方式选出 6 人,从选出的 6 人中随机抽取 2 人进行调查.(1)求这两人健步走状况一致的概率.5(2)求“健步超人”人数 X 的分布列与数学期望.【解析】(1)记“这 2 人健步走状况一致”为事件 A,则 P(A)= = .23+2226(2)X
9、 的可能取值为 0,1,2,所以 P(X=0)= = = ,2426 25P(X=1)= = ,P(X=2)= = .141226所以 X 的分布列为 X 0 1 2P25所以 E(X)=0 +1 +2 = .25 23【加固训练】在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品.从这 10 件产品中任取 3 件,求:(1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望.(2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.【解析】(1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 ,从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的结果数为 ,那么从 10 件
10、产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的概率为 P(X=k)= ,k=0,1,2,3.33-7310所以随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P2140 11206所以 X 的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 = .2140 1120(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A,“恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品”为事件 A2,“恰好取出 3 件一等品”为事件 A3,由于事件 A1,A2,A3彼此互斥,且 A=A1A 2A 3而 P(A1)= = ,P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,11
11、20所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = .112010.(2018遂宁一模) 1993 年,国际数学教育委员会(ICMI)专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会,会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表:(单位:人)几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50(1)能否据此判断在犯错误的概率
12、不超过 0.025 的前提下认为视觉和空间能力与性别有关?(2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟,女生乙每次解答一道几何题所用的时间在 68 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.(3)现从选择几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生中被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X).附表及公式7P(K2k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2= .(-)2(+
13、)(+)(+)(+)【解析】(1)由表中数据得 K2的观测值k= = 5.5565.024,50(2212-88)230203020所以根据统计在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题所用时间分别为 x,y 分钟,则基本事件满足的区域为57,68,如图所示,设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为 xy,所以由几何概型,得P(A)= = ,18即乙比甲先解答完的概率为 .18(3)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 =28 种,其中甲、28乙两人没有一个人被抽取到有 =15 种;恰有一人被抽到有
14、 =26 121612 种;两人都被抽到有 =1 种.所以 X 可能取值为 0,1,2,228P(X=0)= ,P(X=1)= = ,P(X=2)= ,1528 122837X 的分布列为X 0 1 2P1528 37所以 E(X)=0 +1 +2 = .152837 12【加固训练】(2018齐齐哈尔二模)近年来随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头.某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量 80 后、90 后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了 100
15、位员工得到数据如下表:愿意接受外派人数不愿意接受外派人数合计80 后 20 20 4090 后 40 20 60合计 60 40 100(1)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由.(2)该公司选派 12 人参观驻海外分支机构的交流体验活动,在参与调查的 80 后员工中用分层抽样方法抽出 6 名,组成 80 后组,在参与调查的 90 后员工中,也用分层抽样方法抽出 6 名,组成 90 后组.求这 12 人中,80 后组、90 后组愿意接受外派的人数各有多少?为方便交流,在 80 后组、90 后组中各选出 3 人进行交流,记
16、在 80 后组中选到愿意接受外派的人数为 x,在 90 后组中选到愿意接受外派的人数为 y,求 x2.706,所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”.(2)由分层抽样知 80 后组中,愿意接受外派人数为 3,在 90 后组中,愿意接受外派人数为 4.“x1;在-4,3上随机取一个数 m,能使函数 f(x)=x2+ mx+2 在 R 上有零点的概率为;37在某次飞行航程中遭遇恶劣气候,用分层抽样抽取的 20 名男乘客中有 5 名晕机,12 名女乘客中有 8 名晕机,在检验这些乘客晕机是否与性别有关时,采用独立性检验,在犯错误的概率不超过 0.025 的前提
17、下认为晕机与性别有关.P(K2k 0) 0.15 0.1 0.05 0.02515k0 2.072 2.706 3.841 5.024其中真命题的序号为 ( )A. B.C. D.【解析】选 B.对于,在一次调研测试中,数学成绩 服从正态分布 N(100, 2),所以数学成绩 关于 =100 对称,因为 P(80120)=P(1,故正确;对于,由( m)2-80,解得 m-2 或 m2,所以在-4,3上随机取一个数 m,能使函数 f(x)=x2+ mx+2 在 R 上有零点的概率为 ,故37正确;对于,在某次飞行航程中遭遇恶劣气候,用分层抽样抽取的 20 名男乘客中有 5 名晕机,12名女乘客
18、中有 8 名晕机,在检验这些乘客晕机是否与性别有关时,采用独立性检验,根据题意,填写列联表如下;晕机 不晕机 总计男乘客 5 15 20女乘客 8 4 12总计 13 19 32根据表中数据,计算 K2的观测值k= 5.398 15.024,对照临界值知,在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为晕机与性别有关,故正确.4.用 1,2,3,4,5 组成无重复数字的五位数,若用 a1,a2,a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位,则出现 a1a4a5特征的五位数的概率为_. 【解析】用 1,2,3,4,5 组成无重复数字的五位数,基本事件总数 n= ,用 a1,a2,5
19、5a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位,出现 a1a4a5特征的五位数,包含的基本事件有:12543,13542,23541,34521,24531,14532,共 6 个,所以出现16a1a4a5特征的五位数的概率为 P= = .655答案:5.某大型超市在 2018 年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有 3 个红球,3 个黄球和 1 个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同),从中随机一次性取 3 个小球,每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下:凡购物满 100(含 100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会;凡购物满 188(含 188)元者,
20、凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会;若取得的 3 个小球只有 1 种颜色,则该顾客中得一等奖,奖金是一个 10 元的红包;若取得的 3 个小球有 3 种颜色,则该顾客中得二等奖,奖金是一个 5 元的红包;若取得的 3 个小球只有 2 种颜色,则该顾客中得三等奖,奖金是一个 2 元的红包.抽奖活动的组织者记录了该超市前 20 位顾客的购物消费数据(单位:元),绘制得到如图所示的茎叶图.(1)求这 20 位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分).(2)记一次抽奖获得的红包奖金数(单位:元)为 X,求 X 的分布列及数学期望,并计算这 20位顾客(假定每位获得抽奖
21、机会的顾客都会去抽奖)在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.【解析】(1)获得抽奖机会的数据的中位数为 110,平均数为 (101+102+104+108+109+110+112+115+188+189+200)= 131.1 43811(2)X 的可能取值为 2,5,10,P(X=10)= = ,P(X=5)= = ,237131337P(X=2)= = ,2231437 2435则 X 的分布列为17X 2 5 10P2435故 E(X)=2 +5 +10 = .2435这 20 位顾客中,有 8 位顾客获得一次抽奖的机会,有 3 位顾客获得两次抽奖的机会,故共有14 次抽奖机会.所以这 2
22、0 位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为 14=45.2 元.【加固训练】1.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于 2017 年 5 月 14 日至 15 日在北京举行,这是2017 年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了 12 份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有 3 000 名学生,试估计该校测试成绩在 70 分以上的人数.(2)从所抽取的 70 分以上的学生中再随机选取 4 人.记 X 表示选取
23、4 人的成绩的平均数,求 P(X87);记 表示测试成绩在 80 分以上的人数,求 的分布列和数学期望.【解析】(1)众数为 76,中位数为 76.抽取的 12 人中,70 分以下的有 4 人,不低于 70 分的有8 人,故从该校学生中选 1 人,这个人测试成绩在 70 分以上的概率为 = ,故该校这次测23试成绩在 70 分以上的约有 3 000 =2 000(人).23(2)由题意知 70 分以上的有 72,76,76,76,82,88,93,94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于 87 分时,有两类.18一类是 82,88,93,94,共 1 种;另一类是 76,88,93,94,共
24、3 种.所以 P(X87)= = .448由题意可得, 的可能取值为 0,1,2,3,4P(=0)= = ,044448P(=1)= = = ,1434481670P(=2)= = = ,24244836701835P(=3)= = = ,3414481670P(=4)= = .440448 的分布列为 0 1 2 3 4P1835所以 E()=0 +1 +2 +3 +4 =2.18352.(2018青岛模拟)为了解某市高三数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.19(1)根据频率分布直方图,估计该市此次检测理科数学的
25、平均成绩 u0.(精确到个位)(2)研究发现,本次检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 N(u, 2)(u=u0, 约为 19.3),按以往的统计数据,理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占 40%.估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分?(精确到个位)从该市高三理科学生中随机抽取 4 人,记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y,求 Y 的分布列及数学期望 E(Y).(说明:P(Xx 1)=1- 表示 Xx1的概率.参考数据:(0.725 7)=0.6,(1- )(0.655 4)=0.4)【解析】(1)该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为u0=650
26、.05+750.08+850.12+950.15+1050.24+1150.18+1250.1+1350.05+1450.03=103.2103.(2)记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为 x1,根据题意,P(xx1)=1- =1- =0.4,(1-0 )即 =0.6.由 (0.725 7)=0.6 得,=0.725 7x1=117.0117,所以,本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数1-10319.3学成绩约为 117 分.20因为 YB ,(4,25)所以 P(Y=i)= ,i=0,1,2,3,4.所以 Y 的分布列为4(25)(35)4-Y 0 1 2 3 4P216625216625所以 E(Y)=4 = .2585
