1、1专题能力提升练 二十 与椭圆、抛物线相关的定值、定点及存在性问题(45分钟 80 分)一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.(2018蚌埠一模)已知 F为双曲线 C: - =1(a0,b0)的左焦点,直线 l经过点 F,若2222点 A(a,0),B(0,b)关于直线 l对称,则双曲线 C的离心率为 ( )A. B.3+12 2+12C. +1 D. +13【解析】选 C.点 A(a,0),B(0,b)关于直线 l对称,可得直线 l为 AB的垂直平分线.AB的中点为 ,AB的斜率为- ,(2,2) 可得直线 l的方程为 y- = .(-2)令 y=0,可得 x= a- ,1222由题意可
2、得-c= a- ,12即有 a(a+2c)=b2=c2-a2,由 e= ,可得 e2-2e-2=0.解得 e=1+ (1- 舍去).2.(2018西宁一模)椭圆 + =1(ab0)的一个焦点为 F1,若椭圆上存在一个点 P,满足2222以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为 ( )2A. B. C. D.23 59【解析】选 D.设以椭圆的短轴为直径的圆与线段 PF1相切于点 M,连接 OM,PF2.因为 M,O分别为 PF1,F1F2的中点,所以|PF 2|=2|MO|=2b.又因为线段 PF1与圆 O相切于点 M,所以 OMPF 1,PF1PF 2,则|PF
3、 1|=2,|PF1|+|PF2|=2a,代入化简得:2-22ab=a2-c2+2b2=3b2,所以 b= a,c= a,则离心率为 e= = .23 3.已知焦点在 x轴上的双曲线 - =1的左右两个焦点分别为 F1和 F2,其右支上存22在一点 P满足 PF1PF 2,且PF 1F2的面积为 3,则该双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.3【解析】选 B.记|PF 1|=m,|PF2|=n,则 m-n=2a,m2+n2=|F1F2|2=4c2,= mn= m2+n2-(m-n)2=c2-a2=b2=a2-1=3,则 a2=4,从而 e= .12 144.(2018郑州一模)已知椭圆
4、 C: + =1(ab0)的左顶点和上顶点分别为 A,B,左、右焦2222点分别是 F1,F2,在线段 AB上有且只有一个点 P满足 PF1PF 2,则椭圆的离心率的平方为 ( )A. B.3- 52C. D.3-123【解析】选 B.因为在线段 AB上有且仅有一个点 P满足 PF1PF 2,所以以原点为圆心,以 c为半径的圆与 AB相切,则 POAB,所以 ab=c ,又 b2=a2-c2,代入化简可得 e4-3e2+1=0.则 e2= (另一个根已舍去 ).3- 525.已知点 A是抛物线 y= x2的对称轴与准线的交点 ,点 F为该抛物线的焦点,点 P在抛物线14上,且满足|PF|=m|
5、PA|,当 m取得最小值时,点 P恰好在以 A,F为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为 ( )A. B.5+12 2+12C. +1 D. +1【解析】选 C.抛物线的标准方程为 x2=4y,则抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=-1,过 P作准线的垂线,垂足为 N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|,因为|PF|=m|PA|,所以|PN|=m|PA|,则 =m,|设 PA的倾斜角为 ,则 sin =m,当 m取得最小值时,sin 最小,此时直线 PA与抛物线相切,设直线 PA的方程为 y=kx-1,代入 x2=4y,可得 x2=4(kx-1),即 x2-4kx+4=0,所以
6、=16k 2-16=0,所以 k=1,所以 P(2,1),所以双曲线的实轴长为|PA|-|PF|=2( -1),4所以双曲线的离心率为 = +1.22( 2-1)6.已知点 A在曲线 P:y=x2(x0)上,A 过原点 O,且与 y轴的另一个交点为 M,若线段 OM,A和曲线 P上分别存在点 B、点 C和点 D,使得四边形 ABCD(点 A,B,C,D顺时针排列)是正方形,则称点 A为曲线 P的“完美点”.那么下列结论中正确的是 ( )A.曲线 P上不存在”完美点”B.曲线 P上只存在一个“完美点”,其横坐标大于 1C.曲线 P上只存在一个“完美点”,其横坐标大于 且小于 112D.曲线 P上
7、存在两个“完美点”,其横坐标均大于12【解析】选 B.如图 1,如果点 A为“完美点”,则有|AB|=|AD|= |AC|= |OA|,以 A为圆心, |OA|为半径作圆(如图 2中虚线圆)交 y轴于 B,B(可重合),交抛物线于点 D,D,当且仅当 ABAD 时,在圆 A上总存在点 C,使得 AC为BAD 的角平分线,即BAC=DAC=45,利用余弦定理可求得此时|BC|=|CD|= |OA|,即四边形 ABCD是正方形,即点 A为“完美点”,如图,结合图象可知,点 B一定是上方的交点,否则在抛物线上不存在 D使得 ABAD,D 也一定是上方的点,否则,A,B,C,D 不是顺时针,再考虑当点
8、 A横坐标越来越大时,BAD 的变化情况:设 A(m,m2),当 m45,此时圆与 y轴相离,此时点 A不是“完美点”,故只需要考虑 m1,当 m增加时,BAD 越来越小,且趋近于 0,而当 m=1时,BAD90;故曲线 P上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于 1.5二、填空题(每小题 5分,共 10分)7.已知抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F,过点 F的直线与抛物线 C交于 M,N两点,且|MN|=8,则线段 MN的中点到抛物线 C的准线的距离为_. 【解析】分别过点 M,N作抛物线 C的准线的垂线,垂足分别为 P,Q,由抛物线的定义知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,则
9、|MP|+|NQ|=|MN|=8.线段 MN的中点到抛物线 C的准线的距离为梯形 MNQP的中位线的长度,即 (|MP|+|NQ|)=4.12答案:48.(2018大连一模)已知抛物线 C:y2=2x,过点(1,0)任作一条直线和抛物线 C交于 A,B两点,设点 G(2,0),连接 AG,BG并延长,分别和抛物线 C交于点 A和 B,则直线 AB过定点_. 【解析】方法一:如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),设直线 AB的方程为 x=ky+1,由 消 x可得 y2-2ky-2=0,2=2,=+1,所以 y1+y2=2k,y1y2=-2,则直线 AG的方程为 y= (x-2),6直线
10、BG的方程为 y= (x-2),将 y= (x-2),代入 y2=2x中,即 y1y2-2(x1-2)y-4y1=0,解得 yA =- ,xA = ,41821同理可得 yB =- ,xB = ,42822所以 kAB =- = ,12 212+1所以直线 AB的方程为 y+ = ,4112(-821)或 y+ = .4212(-822)由+可得 y+2= .12(-4(1+2)2-2122122 )即 y= (x-4).所以直线 AB过定点(4,0).方法二:不妨令直线 AB为 x=1,7由 解得 y= ,所以 A(1, ),B(1,- ),因为 G(2,0),所以直线 AG的方程为 y=-
11、 (x-2),直线 BG的方程为 y= (x-2).将 y=- (x-2)代入抛物线方程得 2(x-2)2=2x,解得 x=1或 x=4.故 A(4,-2 ),同理可得 B(4,2 ),所以直线 AB的方程为 x=4,所以直线 AB过定点(4,0).答案:(4,0)三、解答题(每小题 10分,共 40分)9.已知定圆 C:x2+(y-3)2=4,定直线 m:x+3y+6=0,过 A(-1,0)的一条动直线 l与直线 m相交于N,与圆 C相交于 P,Q两点,M 是 PQ中点. (1)当 l与 m垂直时,求证: l过圆心 C.(2)当|PQ|=2 时,求直线 l的方程.(3)设 t= ,试问 t是
12、否为定值,若为定值,请求出 t的值;若不为定值,请说明理由.【解析】(1)由已知 km=- ,故 kl=3,13所以直线 l的方程为 y=3(x+1),将圆心 C(0,3)代入方程 y=3(x+1)成立,故 l过圆心 C.(2)当直线 l与 x轴垂直时,易知 x=-1符合题意,当直线 l与 x轴不垂直时,设直线 l的方程为 y=k(x+1),因为|PQ|=2 ,所以|CM|=1,即 =1,解得 k= ,|-+3|2+1 438此时 y= (x+1),即 4x-3y+4=0,43故直线 l的方程为 x=-1或 4x-3y+4=0.(3)当 l与 x轴垂直时,易得 M(-1,3),N ,(-1,-
13、53)又 A(-1,0),则 =(0,3), = ,故 =-5,即 t=-5,当 l的斜率存在时,设直线 l的方程为 y=k(x+1),代入圆的方程得:(1+k 2)x2+(2k2-6k)x+k2-6k+5=0,则 x1+x2= ,xM= = ,yM=k(xM+1)= ,-22+61+2 1+22 -2+31+2 32+1+2即 M , = ,(-2+31+2,32+1+2) (3+11+2,32+1+2)又由 得 N , 则 = ,故 t= = +=-5,综上所述,t 的值为定值,且 t=-5.910.已知中心在坐标原点,焦点在 x轴上的椭圆过点 P(2, ),且它的离心率 e= .12(1
14、)求椭圆的标准方程.(2)与圆(x-1) 2+y2=1相切的直线 l:y=kx+t交椭圆于 M,N两点,若椭圆上一点 C满足 += ,求实数 的取值范围.【解析】(1)设椭圆的标准方程为 + =1(ab0),2222由已知42+32=1,=12,2=2-2,解得2=8,2=6,所以椭圆的标准方程为 + =1.2826(2)因为直线 l:y=kx+t与圆(x-1) 2+y2=1相切,所以 =1,2k= (t0),把 y=kx+t代入 + =1整理得(3+4k 2)|+|1+2 2826x2+8ktx+(4t2-24)=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则有 x1+x2=- ,y1+y2
15、=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t= ,63+4210因为 + = ,所以 =(x1+x2,y1+y2),所以 C ,又因为点 C在椭圆上,( -8(3+42), 6(3+42)所以 + =1 2= = ,62(3+42)22 223+422(12)2+12+1因为 t20,所以 + +11,所以 00,因为 =2 ,所以 y2=2y1, 由得 y1= , = ,21解得 m=-8+6 0得,4k2+3m2, 13设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= .-83+42 42-123+42 =( + )( + )= + + + =0,所以(x 1+2
16、)(x2+2)+y1y2=0,即(1+k 2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+4+m2=0,4k2-16km+7m2=0,所以 k= m或 k= m均适合.12 72当 k= m时,直线 l过点 A,舍去 ,12当 k= m时,直线 l:y=kx+ k过定点 .72 27(建议用时:50 分钟)1.已知 P为抛物线 y2=4x上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点 P到点 Q的距离与点 P到抛物线的准线距离之和的最小值是 ( )A.2 -1 B.2 -2C. -1 D. -217 17【解析】选 C.抛物线 y2=4x的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2
17、=1的圆心为 C(0,4),根据抛物线的定义可知点 P到准线的距离等于点 P到焦点的距离,进而推断出当 P,Q,F三点共线时点 P到点 Q的距离与点 P到抛物线的焦点距离之和的最小为|FC|-r= -1.172.已知点 F是曲线 C:y= x2的焦点 ,点 P为曲线 C上的动点,A 为曲线 C的准线与其对称轴14的交点,则 的取值范围是 ( )|14A. B.C. D.22,+)【解析】选 C.由已知 P ,A(0,-1),F(0,1),则(,24)= = =|2+(24-1)22+(24+1)2=1- 11+216+12+12 = ,当且仅当 x2=4时等号成立,又 1.故选 C.3.已知双
18、曲线 - =1(ba0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点2222P使 = ,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A.(1, +1) B.( ,+)15C.( , +1) D.( +1,+)【解析】选 C.由题意可设 P在右支非 x轴上,由正弦定理有 =|2|12,为方便运算,设|PF 1|=m,|PF2|=n,则 = ,又 m-n=2a, 解得 n= ,m=|1|21 22-,又 sinPF 1F20,则 P,F1,F2不共线,则 m+n2c,即 + 2c,整理得22-c2-a2-2aca,则 e ,故 e( ,1+ ),故选 C.4.(2018榆林一模
19、)已知 F1,F2是双曲线 - =1(a0,b0)的左右两个焦点,过点 F2与双2222曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M在以线段 F1F2为直径的圆外,则该双曲线离心率的取值范围是 ( )A.(1, ) B.( , )C.( ,2) D.(2,+)【解析】选 D.如图,由题意,直线 MF2的方程为 y=- (x-c),OM的方程为 y= x,联立两直线 方程,得 M ,因为点 M在以线段 F1F2为直径的圆外,所以 + c2,(2,2) (2)2(2)2b23a2,则 e= 2.165.(2018衡水一模)已知抛物线 C:y2=2px(p0)在第一象限内的点 P
20、(2,t)到焦点的距离为.52(1)若 M ,过点 M,P的直线 l1与抛物线相交于另一点 Q,求 的值.|(2)若直线 l2与抛物线 C相交于 A,B两点,与圆 M:(x-a)2+y2=1相交于 D,E两点,O 为坐标原点,OAOB,试问:是否存在实数 a,使得|DE|的长为定值?若存在,求出 a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为点 P(2,t),所以 2+ = ,解得 p=1,52故抛物线 C的方程为 y2=2x,当 x=2时,t=2,所以 l1的方程为 y= x+ ,联立可得 xQ= ,4525 18又因为|QF|=x Q+ ,|PF|=xP+ ,12 12所以 = = .|
21、 14(2)设直线 AB的方程为 x=ty+m,代入抛物线方程可得 y2-2ty-2m=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2t,y1y2=-2m,由 OAOB 得:(ty 1+m)(ty2+m)+y1y2=0,整理得(t 2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2=0,将代入解得 m=2,所以直线 l:x=ty+2,17因为圆心到直线 l的距离 d= ,所以|DE|=2 ,12-(-2)21+2显然当 a=2时,|DE|=2,|DE|的长为定值.6.(2018全国卷)已知斜率为 k的直线 l与椭圆 C: + =1交于 A,B两点.线段 AB的2423中点为 M(1,m
22、)(m0).(1)证明:k- ;12(2)设 F为 C的右焦点,P 为 C上一点,且 + + =0.证明: , , 成等差数列,并求该数列的公差.【解析】(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1.214213 224223两式相减,并由 =k得 + k=0.1-21-2 1+24 1+23由题设知 =1, =m,于是 k=- .1+22 1+22由题设得 0m ,故 k- .32 12(2)由题意得 F(1,0),设 P(x3,y3),则(x 3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得 x3=3-(x1+x2)=1,y3=
23、-(y1+y2)=-2m0.又点 P在 C上,所以 m= ,从而 P ,| |= .34 32于是| |=18= =2- .(1-1)2+3(1-214) 12同理| |=2- .22所以| |+| |=4- (x1+x2)=3.12故 2| |=| |+| |,即| |,| |,| |成等差数列.设该数列的公差为 d,则 2|d|=| |-| |= |x1-x2|= .12 12(1+2)2-412将 m= 代入得 k=-1.34所以 l的方程为 y=-x+ ,代入 C的方程,并整理得 7x2-14x+ =0.74 14故 x1+x2=2,x1x2= ,代入解得|d|= .所以该数列的公差为 或- .
