1、- 1 -20182019 学年度第一学期高一年级期末考试数学试卷 A时间：120 分钟 总分：150 分一、选择题(本大题共 17 个小题，每小题 5 分，共 85 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 A x|x10， B y|y2 x，则 A B( )A x|x1 B x|x0C x|xbc B bacC cba D acb17对实数 a 和 b，定义运算“”： abError!，设函数 f(x)( x22)( x1)， xR.若函数 y f(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )A(1,1(2，) B(2，1(1,2C(，
2、2)(1,2 D2，1二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，将正确答案填在题中横线上)18若三点 A(1,2)， B(0， b)， C(6,0)共线，则 b 的值为_19已知函数 f(x1)3 x4，则 f(x)的解析式为_20. ， ，这个长方体对角线的长是_ 21已知圆心在 x 轴上，半径为 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x y0 相切，则圆 O 的2方程是_22如图，在长方形 ABCD 中， AB2， BC1， E 为 CD 的中点， F 为线段 EC(端点除外)上一动点，现将 AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 ABC，在平面 ABD 内过点
3、D 作 DK AB， K 为垂足，设 AK t，则 t 的取值范围是_三、解答题(本大题共 4 个小题，共 40 分)23(本小题满分 10 分) 18已知函数 f(x) .1 x21 x2(1)求 f(x)的定义域；(2)判断并证明 f(x)的奇偶性；(3)求证： f( ) f(x)1x- 4 -24(10 分)设直线 l 的方程为( a1) x y2 a0( aR)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围25. (10 分)求经过 A(0，1)和直线 x y1 相切，且圆心在直线 y2 x 上的圆的方程26(10 分) 如图
4、，四棱锥 P-ABCD 中，PA地面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点.（I）证明 MN平面 PAB;（II）求四面体 N-BCM 的体积.- 5 -A 卷答案20182019 学年度第一学期高一年级期末考试数学试卷时间：120 分钟 总分：150 分一、选择题(本大题共 17 个小题，每小题 5 分，共 85 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 A x|x10， B y|y2 x，则 A B( )A x|x1 B x|x0C x|x0 x|x1， B y|y2 xR， A B
5、x|x12直线 kx y13 k，当 k 变动时，所有直线都通过定点( )A(0,0) B(0,1) C(3,1) D(2,1)解析 由 kx y13 k，得 k(x3) y1，对于任何 kR 都成立，则Error!解得Error!答案 C3圆 x2 y24 x0 在点 P(1， )处的切线方程为 ( )3A x y20 B x y403 3C x y40 D x y203 3解析 设切线方程为 y k(x1)，由于圆心坐标为 C(2,0)，则 kCP ，从而3 3k ，故所求切线方程为 y (x1)，即 x y20.13 3 13 3答案 D4若 ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所
6、示，则 BC 边上的中线的长是( )A. B2 C. D32 3解析 A(0,0,1)， B(2,0,0)， C(0,2,0)， BC 中点坐标为(1,1,0)，由距离公式得 .故选 C.12 12 12 3答案 C5已知 f(x)Error!，若 f(x)3，则 x 的值是( )- 6 -A1 B1 或32C1， 或 D32 3 3答案 D解析 当 x1 时， x23， x1(不合题意)， x1；当1bc B bacC cba D acb答案 A解析 a6 0.5601， b0.5 60，0bc.17对实数 a 和 b，定义运算“”： abError!，设函数 f(x)( x22)( x1)
7、，xR.若函数 y f(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )A(1,1(2，) B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1答案 B解析 依题意可得 f(x)Error!作出其示意图如图所示- 10 -由数形结合知，实数 c 需有 1c2 或2 c1.二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，将正确答案填在题中横线上)18若三点 A(1,2)， B(0， b)， C(6,0)共线，则 b 的值为_解析 A， B， C 三点共线，kAB 2 b， kAC ， kAB kAC，2 b ， b .b 20 1 0 26 1 25 25 12
8、5答案 12519已知函数 f(x1)3 x4，则 f(x)的解析式为_答案 f(x)3 x1解析 设 x1 t， x t1， f(t)3( t1)43 t1， f(x)3 x1.20. ， ，这个长方体对角线的长是_ 答案21已知圆心在 x 轴上，半径为 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x y0 相切，则圆2O 的方程是_解析 设圆心为( a,0)(a0)，则 r ， a2，|a 0|12 12 2圆 O 的方程为( x2) 2 y22.- 11 -答案 ( x2) 2 y2222如图，在长方形 ABCD 中， AB2， BC1， E 为 CD 的中点， F 为线段 EC(端点除外)上
9、一动点，现将 AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 ABC，在平面 ABD 内过点 D 作DK AB， K 为垂足，设 AK t，则 t 的取值范围是_解析 过 K 作 KM AF 于 M 点，连接 DM.易得 DM AF，与折射前的图形对比，可知由折前的圆形中 D， M， K 三点共线，且 DK AF. DAK FDA 即 AKAD ADDF t1 1DF t 又 DF(1,2)1DF t .(12， 1)答案 (12， 1)三、解答题(本大题共 4 个小题，共 10 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)23(本小题满分 10 分) 18已知函数 f(x) .1 x21 x2(
10、1)求 f(x)的定义域；(2)判断并证明 f(x)的奇偶性；(3)求证： f( ) f(x)1x(1)解 由 1 x20 得 x1， f(x)的定义域为 x|x1， xR- 12 -(2)解 f(x)是偶函数，证明如下：设 x x|x1， xR，则 x x|x1， xR f( x) f(x)，1 x 21 x 2 1 x21 x2 f(x)是偶函数(3)证明 f( ) f(x)， f( ) f(x)成1x1 1x 21 1x 21 1x21 1x2 x2 1x2 1 1 x21 x2 1x立24(10 分)设直线 l 的方程为( a1) x y2 a0( aR)(1)若 l 在两坐标轴上的截
11、距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围解 (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为零，当然相等，则( a1)002 a0， a2，方程即 3x y0.若 a2，由于截距相等， a2，a 2a 1即 a11. a0，方程即 x y20. l 的方程为 3x y0 或 x y20.(2)将 l 的方程化为 y( a1) x a2， l 不经过第二象限，当且仅当Error! a1，综上可知， a 的取值范围是 a1.26. (10 分) 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA地面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线
12、段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点.（I）证明 MN平面 PAB;（II）求四面体 N-BCM 的体积.26 解：（）由已知得 ，取 的中点 ，连接 ，由 为 中23ADMBPTNA,PC- 13 -点知 ， . 3 分BCTN/21又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，于是ADTNAMNT.M/因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 6 分PPB/PAB（）因为 平面 ， 为 的中点，PABCDNP所以 到平面 的距离为 . 9 分NA21取 的中点 ，连结 .由 得 ，BCE3BCE.52A由 得 到 的距离为 ，故 .M BC5241BCMS所以四面体 的体积
13、. .12 分N33PAVBN25(10 分)求经过 A(0，1)和直线 x y1 相切，且圆心在直线 y2 x 上的圆的方程解 圆心在直线 y2 x 上设圆心 M 的坐标为( a，2 a)，则圆心到直线 x y1 的距离 d .|a 1|2又圆经过点 A(0，1)和直线 x y1 相切， d| MA|.即 ，|a 1|2 a2 2a 1 2解得 a1 或 .19当 a1 时，圆心为(1，2)，半径 r d .2圆的方程为( x1) 2( y2) 22.- 14 -当 a 时，圆心为 ，半径 r d .19 (19， 29) 529圆的方程为 2 2 .(x19) (y 29) 5081所以，所求圆的方程为：( x1) 2( y2) 22 或 2 2 .(x19) (y 29) 5081
