1、1江西省重点中学盟校 2019 届高三数学第一次联考试题 理第 I 卷（选择题：共 60 分）1、选择题：（每小题 5 分，共 60 分每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意)1已知集合 ， ，则 ( )1,234A1|0,4xBZABIA B C D, ,231,2352已知复数 ，则 ( )3izzA B2 C1 D123已知定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则Rfx0logfxx( )7fA B C D12124设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( )nanS36a10S5aA B C D895已知条件 ，条件 直线 与直线 平行，则 是 的:1p:qxy2xypq( )A
2、充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件6程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果 1320S，则判断框中应填入( )12,kSSk1k输出 结束否是否开始2A B C D 12k1k10k9k7已知 ，且 ，则向量 在 方向上的投影为( ),abababA 2 B 2 C1 D 28把函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 倍，再向左平()sin()6fxx2移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递减区间为( )3()ggxA B C D ,24,3,1235,49已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是( )
3、A B C D2325310以双曲线 上一点 为圆心 2:1(0,)xyabM作圆，该圆与 轴相切于 的一个焦点 ，与 轴交于Fy两点，若 ，则双曲线 的离心率是( ),PQ23cCA B C D352211今有 个人组成的旅游团,包括 4 个大人，2 个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观6光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘 3 人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种A B C D204889612若曲线 和 上分别存在点 ,使(02)xfae32(0)gxxAB得 是以原点 为直角顶点的直角三角形, 交 轴于点 ，且 ，则OAByC1ur正视图
4、左视图俯视图 31 1 23实数 的取值范围是( )aA B C D21,0()6(e1,6()2e1,e2,1()第 II 卷（非选择题：共 90 分）2、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分。请将正确答案直接填在答题卡的相应位置)13若 ，则 的展开式中常数项为 0sinaxd9()ax14在 中， 分别是内角 的对边，若 ， ， ，则ABC,bc,ABC2abc1os4A的面积等于 15已知关于实数 的不等式组 构成的平面区域为 ，若 ，,xy219084xy,xy使得 恒成立，则实数 的最小值是 2214m16已知四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ，底面S
5、ABCDOSDABC是等腰梯形， 且满足 ， ，则球 的表面ABC/ 22ABO积是 三解答题：(本大题共 6 小题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 （本小题满分 12 分）已知数列 为正项等比数列，满足 ，且 构成等差数列，数列 满na34a546,3anb足 .221loglnb()求数列 ， 的通项公式；nab()若数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，求数列 的前 项nnSnc14nSnc4和 nT18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，且 ，平面PABCDAB1ADP平面 ， ，点 为线段 的中点，点 是线PCD120EPCF段 上的一
6、个动点AB（）求证：平面 平面 ；EFB（）设二面角 的平面角为 ，试判断在线段 上是否存DAB在这样的点 ，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请Ftan23F说明理由.19 （本小题满分 12 分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取 名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：20（记成绩不低于 分者为“成绩优秀” ）120分数 8,9,1,10,120,130,140,15甲班频数 14542乙班频数 0 66FPDA BCE5（）由以上统计
7、数据填写下面的 列联表，并判断是否有 以上的把握认为295%“成绩优秀与教学方式有关”？甲班 乙班 总计成绩优秀成绩不优秀总计（）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取 人进行考核，记“成绩不优秀”3的乙班人数为 ，求 的分布列和期望X参考公式： ，其中 22()()(nadbcKdnabcd临界值表 20()Pk0.10.50.10.12.763.8416.35.8220.（本小题满分12分） 已知椭圆 的离心率为 ，焦点分别为 ，点 是椭圆2:1(0)xyCab212,FP上的点， 面积的最大值是 12PF2（）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 上的点， 是坐标
8、原点，若lC,MNDCO判定四边形 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不,OMNDO是，请说明理由21 （本小题满分 12 分）已知函数 ， ()1ln)fxaxR（）若 在 上存在极大值点，求实数 的取值范围；0,a6（）求证： ，其中 21ln(1)i,2nN请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲x线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为C2cos4in1l
9、(cosin)3（）写出曲线 和直线 的直角坐标方程；1l（）设直线 过点 与曲线 交于不同两点 ， 的中点为 ， 与2l(,0)PC,ABM1l的交点为 ，求 2lN|M23 （本题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲若关于 的不等式 在实数范围内有解x210xt（）求实数 的取值范围；t（）若实数 的最大值为 ，且正实数 满足 ，求证：a,mnp23npa.123mpn7江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考理科数学参考答案1、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D B C D A B B A C D二、填空题： 13 14. 15.
10、 1667214375三、解答题：17.解：()设等比数列 的公比为 )0(q，由题意，得na解得 或 （舍）2 分25646aq23又 所以 4 分311n6 分221loglnnnba() 7 分21()()nbSn ，9 分214ncn 12 分135212n nT 18.解：（） 四边形 是正方形， .ABCDBCD平面 平面 ， 平面 .PCDP 平面 ， . EE ，点 为线段 的中点， .APE又 ， 平面 .PBBC又 平面 ，平面 平面 .5 分DEFDE（）由（）知 平面 ， ， 平面 .P/ADPC在平面 内过 作 交 于点 ，PCGG ，故 ， ， 两两垂直，以 为原点
11、，AAC以 ， ， 所在直线分别为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 .D,xyz Dxyzzx FPDA BCEyG8因为 ， ， .1ADP120CD3P 平面 ， 则 ， ，,10,2又 为 的中点， ，7 分EPC130,4E假设在线段 上存在这样的点 ，使得 ,设 ，ABFtan231,0()Fm， ，130,4DE1,0Dm设平面 的法向量为 ， 则F1(,)nxyz10,nDEF ，令 ，则 ，0134xyz3,3zxm则 9 分1(,1)nm平面 ， 平面 的一个法向量 , ,则ADPCD2(10)ntan233cos1 .12231,mn，解得 ， 12 分0m3AFB19.解
12、：（1）补充的 列联表如下表：2甲班 乙班 总计成绩优秀 91625成绩不优秀 141总计 202040根据 列联表中的数据，得 的观测值为 ，2K4(916)5k5.73.84所以有 以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.5 分95%9（2） 的可能取值为 ， ， ， ，X0123，6 分315(0)CP649，7 分21435()X0，8 分12435()CP6，9 分()X4315所以 的分布列为10 分12 分34640123955EX20.解：(1)由 解得 得椭圆 的方程为 .22cab,2abcC214xy4 分（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ，此时四边形l
13、 MN1x的面积为 5 分OMDN6当直线 的斜率存在时，设直线 方程是 ，联立椭圆方程l lykm214ykxm22()440kx， 228()0k21212,kmxkX0123P39496545107 分12122()1mykxk8 分24MN点 到直线 的距离是 9 分O21dk由 得,ND224,Dmxy因为点 在曲线 上，所以有 整理C22()()114kk得 10 分21km由题意四边形 为平行四边形，所以四边形 的面积为OMDNOMDN22222 2441 11ODN mkmkSdk11 分由 得 , 故四边形 的面积是定值，其定值21km6OMDNSODN为 12 分621.解
14、：（1）由于 ，12()(ln)fxax则当 时， ，0a0lf即当 时， ， 单调递增；12(,e)ax()fx()f当 时， ， 单调递减；a0故 在 处取得极大值，()fx12ea则 ，解得： ； 3 分120a当 时， 恒成立， 无极值，不合题意舍去；4 分()0fx()fx当 时， ，0a12lna11即当 时， ， 单调递减； 12(0,e)ax()0fx()f当 时， ， 单调递增；ax故 在 处取得极小值，不合题意舍去；()fx12ea因此当 时， 在 上存在极大值点； 6 分()fx0,（2）法一：令 ， ，2a1(ln)2x由（1）得： 在 处取得极大值 1，且该极值是唯一
15、的，()fx1则 ，即 ，当且仅当 时取“=” ，8 分ln2l()x1x故当 时，i，10 分14ln()22(1)1iiii因此 2122lnl4()2()4(1)()niiiinn12 分法二：下面用数学归纳法证明： ，对 恒成立21ln(1)i,2nN（1）当 时，左边 ，右边 ，2nl2e21()()左边 右边，结论成立；（2）假设当 时，结论成立，即 ，nk21ln(1)ki当 时，左边11 21lnl()()ln(1)kii k，2()(2)ln1k而 ，ln(1)(1)k42l(2ln(1)kkkk12令 ， ，12a1()ln)2fxx由（1）得： 在 处取得极大值 1，且该
16、极值是唯一的，f则 ，即 ，当且仅当 时取“=” ， 10(ln)12xl2()x1x分则 对 恒成立，即ln(1)0kkkN成立2 2(21)ln()(1)k故当 时，结论成立，1nk因此，综合（1） （2）得 ，对 恒成立1221l()ni,2Nn分22.（）曲线 的直角坐标方程为：2:cos4inC；24xy即22(1)()9xy的直角坐标方程为： .4 分1:cosin3l30xy（）直线 的参数方程 （ 为参数） ，2l1cosinxtyt将其代入曲线 的普通方程并整理得 ，C24(sin)10tt设 两点的参数分别为 ，则,AB12,t7 分124(cosin)t因为 为 的中点，故点 的参数为 ，8 分MABM12(cosin)t设 点的参数分别为 ，把 代入 整理N3tcsinxty30xy13得 9 分34cosint所以 .10 分123 4|cosin|8cosintPMNt23.解：（1）因为 所以210xt21xt又因为 3 分()3x所以 5 分3t（2）由（1）可知， ,则3a方法一：214()(2)2mpnmpnpn14)44( )332310 分3mpn方法二：利用柯西不等式1214()(2)32mpnmpnpn2( )33 10 分123mpn
