1、1吉林省长春市实验中学 2019届高三数学上学期期末考试试题 文一、选择题:本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ， ，则 （ ）|3MxR|1xNeMNA B C D0, 0,0,1)2已知 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于 （ ）i()2aiaA B C D1123方程 的根的个数是 （ ）12logxA B C D01234等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）nanS193812aA B C D24685已知向量 ， ，若 ，则 （ ）(1,)m(2,)()()mnA B C D43216将函数 图像上
2、所有点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，)6cos(2)(xf 2得到函数 的图像，则函数 的图像的一个对称中心是（ ）gy)(xgyA B C D)0,12()0,3( )0,15)0,3(7若如图的程序框图输出的 是 ，则应为 （ ）S126A ? 5nB ? C ? 7D ?8n28已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为 的等腰直角三角形，该几何体2的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）正视图 侧视图俯视图A B C D4329设 为抛物线 ： 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，FC24yx,(0)kyxPFx则 （ ）kA B C D12132210设函数 ，若
3、 ，则实数 的取值范围是（ ）ln(),0)xf()fmfmA B (1,0,(,1(0,)C D)11若函数 的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则(yfx称 具有 性质，下列函数中有 性质的是 （ ）)TTA B C Dsinyxlnyxxye3yx12已知函数 ，则函数 满足 （ ）()cos)i4f()fA最小正周期为 B图像关于点 对称 2T 2(,)84C在区间 上为减函数 D图像关于直线 对称(0,)8 x3二、填空题:本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.13已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是 ,xy034xy2zyx_14设 是等差数列 的前
4、项和，若 ， ，则公差 nSna510S5d15在 中，若 ， ， ，则 ABC1t3CB_A16已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当 时， ，()fxR42x()4xf则 172_3、解答题:共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.（12 分）已知正项等比数列 ，其前 n项和为 满足： ， ，nanS325a42a（1）求 ；n（2）令 ，数列 的前 n项和为 ，求 .31|log5|nbbnT18. （12 分）某中学对高三年级的学生进行体质测试
5、，已知高三、一班共有学生 30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位： ）：cm男 女 7165 7 8 9 99 8171 8 4 5 2 93 5 6180 2 7 5 41 2 4190 14185202122男生成绩不低于 的定义为“合格” ，成绩低于 的定义为“不合格” ；女生185cm185cm成绩不低于 的定义为“合格” ，成绩低于 的定义为“不合格”.77(1) 求女生立定跳远成绩的中位数；(2) 若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取 6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；(3) 若从(2)问所抽取的 6人中任选 2人，求这 2人中恰有 1人成绩“合格”的概率.19
6、. （12 分）已知椭圆 C： 的右焦点 F2和上顶点 B在直线 上，21(0)xyab30xy过椭圆右焦点的直线交椭圆于 两点,MN（1）求椭圆 C的标准方程；（2）求 面积的最大值.ON20.（12 分）四棱锥 中， 平面 ，底面 为ABCDPABCD直角梯形， ， ， ， M为 PA/ 2上一点，且 ，M31（1）证明： PC/平面 MBD；（2）若 ，四棱锥 的体积为 ，PADABCDP94求直线 AB与平面 MBD所成角的正弦值.21.（12 分）5已知函数 的图象与直线 相切，bxxf1ln)( 2y（1）求 b的值；（2）当 时， 恒成立，求实数 a的取值范围.ex， af)(2
7、) 选考题：共 10分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.22. 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ） ； 以 原 点xOy1C21xtyO极 点 ， 以 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 . 2 213sin 求曲 线 的 普 通 方 程 与 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 ；12 试 判 断 曲 线 与 是 否 存 在 两 个 交 点 ， 若 存 在 求 出 两 交 点 间 的 距 离 ； 若 不 存 在
8、 ，C2说 明 理 由 .23. 选修 45：不等式选讲（10 分）设函数 ， . ()|21|fxxaR 当 时，求不等式 的解集； 3a()7f 对任意 恒有 ，求实数 的取值范围. xR3x6C A C AB DBBDB AD答案： 1答案： d答案： 20AB17.解：（1）设公比为 q（ q0）由已知可得： 解得 q=3， q=-1（舍）3121aa 3，解得 ， 325S又 1n 6()|nnb7所以当 时， ； 5219nTn9当 时， n2510()02n n1综上可知 219(5)0nnT1218.解：(1) 女生立定跳远成绩的中位数 cm5.6283(2) 男生中成绩“合格
9、”和“不合格”人数比为 ，用分层抽样的方法抽取 6个人，4:7则抽取成绩“合格”人数为 4人； 6（3）由(2)设成绩“合格”的 4人为 A， B， C， D，成绩“不合格”的 2人为 ,从中选ba出 2人有（ A,B） ， （ A,C） ， （ A,D） ， （ A, ） ， （ A, ） ， （ B,C） ， （ B,D） ， （ B, ） ， （ B, ） ，ab（ C,D） ， （ C, ） ， （ C, ） ， （ D, ） ， （ D, ） ， （ ） ，共 15种，ab 9其中恰有 1人成绩“合格”的有（ A, ） ， （ A, ） ， （ B, ） ， （ B, ） ， （ C
10、, ） ， （ C, ） ，abab（ D, ） ， （ D, ） ，共 8种，故所求事件概率为 .1581219.解：（1） 椭圆 C： 的右焦点 F2和上顶点 B在直线2(0)xyab上， 椭圆的右焦点为 F2（1，0），上顶点为 B ，30xy(0,3)2故 c=1， b= ， a2=b2+c2=4，所求椭圆标准方程为 214xy4（2）设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），直线 的方程为MNm 联立 得： ，243m2(4)690y612126,3yy82 22123(4)1| 9()6()mmy 10= ， ，令 ，函数22119()6m2121,)t在 上为增函数，故当
11、 即 时， ，此时三角形yt,t0m12min|3y的面积取得最小值为 .OMN32120.（1）证明：连结 AC交 BD于 N点，连结 MN，则 BNCAD8又 ， ， ，BCAD2N2PAM31CN/， BDPMN平 面，平 面 BD平 面5(2) 解：不妨设 ，因为 PA=AD=3，四棱锥 的体积为 ，所以AaA94，解得 ；139()24a18设点 到平面 的距离为 ，利用体积桥， ,在 中，ABDhAMBDABDV三 棱 锥 三 棱 锥 M,利用余弦定理可求得 ,所以5,10,3M2cos10，所以三角形 的面积 ,72sinBB72S代入 中得： ，解得 ，AMDADV三 棱 锥
12、三 棱 锥 133h67h1又因为 ,所以直线 AB与平面 MBD所成角的正弦值为 . B 671221.解：（1） 01ln)( 2xxf， 在 上为增函数，且 0(，x)， 0)1(f 切点的坐标为 ，将 代入 得 1+b=2， b=1)2(， 1(， (f4（2）由 ， axxaxf ln得 xln26令 )12()1(12)(l)( 32 xgg，0)00 gxx 时 ， 当时 ，当 8，e，又 1为 增 函 数时 ，为 减 函 数 ， 当时 ，当 )(2)(2 xgexxgx，显然eeeg11)1( 2， )(gaxa恒 成 立 ， 只 须 12922.解：(1) 对于曲线 有 ，对于曲线 有 .1Cxy2C214xy5(2) 显然曲线 ： 为直线，则其参数方程可写为 （ 为 参 数 ）1 21ty与 曲线 ： 联立，可知 ，所以 与 存在两个交点，2C24xy01C2由 ， ，得 . 125t128t 22118|()45dttt1023. 解：(1) 当 时， ，3a74,13()5,24,xfx所以 的解集为 或 . ()7fx|0x 5(2) ，|21|2|12|1|faxaa由 恒成立，有 ，解得()3fx|3所以 的取值范围是 . a2,10
