1、- 1 -山西省汾阳中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理一、单选题（每题 5 分）1直线 的倾斜角是（ ）A B C D 2已知 m,n 是不同的直线, 是不同的平面,有下列命题:若 ,则 ;若 ,则 ;若 ,则 且 .上述说法正确的个数是A.0 B.1 C.2 D.33经过点 M（2，2）且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）A x+y=4 B x+y=2 或 x=y C x=2 或 y=2 D x+y=4 或 x=y4圆心在 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）yA 22xB 221yC 23xD 221y5已知直线 经过 两点，则直线 的斜率的取值范围是
2、（ ）l2,ABmRlA B C D 1,1,1- 2 -6一圆锥底面半径为 2，母线长为 6，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切，则这个球的半径为（ ）A B C D21227一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A B 2930C D 2168 如图在一个 的二面角的棱上有两个点 ，线段 、 分别在这个二面角的两个60AB、 CD面内，并且都垂直于棱 ，且 ，则 的长为( )AB,2A B C D 25319直线 l 与两直线 y=1 和 x-y-7=0 分别交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点为 M(1,-1),则直线l 的斜率为A.
3、B. C.- D.-10直线 y=x+b 与曲线 x= 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是- 3 -A.|b|= B.-1b1 或 b=-C.-1 b1 D.以上结论均不对11如图,点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C,D 的动点,将 ADE 沿 AE 翻折成 SAE,使得平面 SAE平面 ABCE,给出下列三个说法:存在点 E 使得直线 SA平面 SBC;平面 SBC 内存在直线与 SA 平行;平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行.其中正确说法的个数是A.0 B.1 C.2 D.312 如果圆 上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 a 的取值范围228xay2
4、是（ ）A 3,1,B ,C 1,D 3,二、填空题（每空 5 分）13圆 与圆 的位置关系是 .2690xy280xy- 4 -14若直线 ： 被圆 C： 截得的弦最短，则 k= .l1ykx230xy15正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 2，则侧棱与底面所成角的大小为 .16 为正三角形， 是 所在平面外一点， 且ABCPABPABC，则二面角 的大小_； :2:3PSC三、解答题（17 题 10 分，其他各 12 分）17已知圆 同时满足下列三个条件：与 轴相切；半径为 ；圆心在直线 上.求圆 的方程.18如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC
5、 的中点.(1)求证:MN平面 PAD;(2)在 PB 上确定一个点 Q,使平面 MNQ平面 PAD.19 如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 是边长为 a的正方形， E、 F分别为 PC、BD的中点，侧面 底面 ，且 ADP2。（）求证： /EF平面 ；- 5 -（）求证：平面 PAB平面 CD；（）求三棱锥 - 的体积。20在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 c 上（1）求圆 c 的方程；（2）若圆 c 与直线 x-y+a=0 交于 A，B 两点，且 ，求 a 的值21如图，在三棱锥 PC中，PAB 和CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，若2ABC，D
6、是 PC 的中点- 6 -（1）证明： ABPC；（2）求 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值22 已知圆 ，直线 .225()xy： 10lmxy：（1）求证：对 ，直线 与圆 总有两个不同交点；mRlC（2）若圆 与直线 相交于 两点，求弦 的中点 的轨迹方程。ClAB， AM- 7 -参考答案1D【解析】由直线方程 可得直线斜率 ，设直线的倾斜角为 ，则 ，又 ，所以 故选 2 A【解析】略3D【解析】【分析】直线经过原点时满足条件，可得方程 y= x；直线不经过原点时满足条件，可设方程 x+y=a，把点 M（2，2）代入可得 a【详解】直线不经过原点时满足条件，可设方程 x+y=a，
7、把点 M（2，2）代入可得：2+2=a，即 a=4方程为 x+y=4综上可得直线方程为：x=y 或 x+y=4故选：D【点睛】本题考查了直线的方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4A【解析】圆心在 轴上，排除 项，且过点 ，排除 ， 项，仅剩 项符合题yC1,2BA意，故选 A5D【解析】直线 经过 两点，则直线的斜率为： l2,1,BmR.故选 D.221m6A【解析】试题分析：设 ， ，根据 ,所以rOCDrA24AOBCD，解得： ，故选 D.624rr2r- 8 -7. A【解析】试题分析：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱
8、锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即，所以该三棱锥的外接球的表面积为： 29R 294S考点：三视图与几何体的外接球8 A【解析】 = + + ，CDAB = + + +2 +2 +2 ,22CABD , ， =0, =0，CABDA =| | |cos120= 12=1.12 =1+1+421=4，2- 9 -| |=2，CD故选：A.9.D【解析】设 A(x1,1),B(x2,y2).由题意得 =-1, y2=-3.将 y2=-3 代入 x-y-7=0,得x2=4, B(4,-3).直线 l 的斜率 k= =- .【备注】无10 .B【解析】作出曲线 x=
9、 和直线 y=x+b,利用图形直观考查它们的关系,寻找解决问题的办法.将 x= 化为 x2+y2=1(x0).当直线 y=x+b 与曲线 x2+y2=1(x0)相切时,满足 =1,解得 |b|= ,b= .观察图 2-3,可得当 b=- 或 -1b1 时,直线 y=x+b 与曲线 x= 有且仅有一个公共点【备注】“数形互补,取长补短”.根据题设条件和探求目标进行联想,构造出一个适当的数学关系或图形,将原来难于解决的问题转化成易于解决的问题.11B- 10 -【解析】由题意得 SA SE,若存在点 E 使得直线 SA平面 SBC,则 SA SB,SA SC,则SC,SB,SE 三线共面,则 E
10、与点 C 重合,与题设矛盾,故错误;因为 SA 与平面 SBC 相交,所以在平面 SBC 内不存在直线与 SA 平行,故错误;显然在平面 ABCE 内存在直线与 AE 平行,由线面平行的判定定理得平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行,故正确.选 B.12 D【解析】试题分析: 由于圆心 到坐标原点的距离为 ，圆的半径 ；(,)a2a2r设圆上的点到坐标原点的距离为 ，因为 上总存在两个点到原点的距d28xy离为 ， ， 或 ， ，即2drr2drr，解得： 或 ，故选 D13a1a313相交【解析】试题分析：圆 可化为 ，所以圆心 ，半2690xy22(3)(1)xy1(3,)O径
11、；圆 可化为 ，所以圆心 ，半径 。1r829(0,)r因为 ， ，所以两圆相交.21234Or， 1Or考点：圆的一般方程和标准方程；圆与圆的位置关系.14【解析】试题分析：由题意圆 C： 得圆心为 直线 ： 230xy1,0Cl过定点 ，且点 在圆内，当 连线与直线 ： 垂直时，1ykx0,A0,1,Al1ykx直线 ： 被圆 C 截得的弦最短，即l 1kk考点：直线与圆的位置关系15 .45【解析】试题分析：设侧棱与底面所成的角为 ,则 .2cos,45考点：正四棱锥的性质，斜线与平面所成的角.- 11 -点评：根据正四棱锥的定义，顶点在底面的射影是底面正方形的中心，因而线面角就很容易找
12、到.16 0【 解 析 】 取 AB 的 中 点 M， 连 接 CM， PM， 由 题 意 知 三 棱 锥 P-ABC 为 正 三 棱 锥 ， 设P 在 底 面 的 射 影 为 O， 则 就 是 二 面 角 的平面角，【点睛】本题给出直线经过定点，求满足特殊条件的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、基本不等式求最值等知识，其中设出直线方程转化为 是解题的24ab关键设 CM =3，则 OM=1，PM=2，所以 .1cos,602PMC17 或 .【解析】试题分析：由于圆心在直线 上，故可设圆心坐标为 .根据题意有 ，解得，故圆心坐标为 或 ，所以所求圆的方程为 或.试题解析：圆 同时满
13、足下列三个条件：与 轴相切；半径为 ；圆心在直线 上，可设圆的圆心为 ，则 ，故要求的圆的方程为 或 .点睛：本题主要考查利用待定系数法求圆的方程.由于半径是题目所给的已知条件，所以只要确定圆心的坐标就可以得到圆的方程.根据题目的条件，圆和 轴相切，这样的话圆心的横- 12 -坐标的绝对值就等于圆的半径.结合半径等于 就能求出圆心的坐标.要注意由于是含有绝对值的运算，结果有两种情况.18.(1)如图,取 PD 的中点 H, 连接 AH、NH.由 N 是 PC 的中点,H 是 PD 的中点,知 NHDC,NH= DC.由 M 是 AB 的中点,知 AMDC,AM= DC.NHAM,NH=AM,所
14、以 AMNH 为平行四边形.MNAH.由 MN平面 PAD,AH平面 PAD,知 MN平面 PAD.(2)若平面 MNQ平面 PAD,则应有 MQPA,M 是 AB 中点,Q 是 PB 的中点.即当 Q 为 PB 的中点时,平面 MNQ平面 PAD.【解析】证明线面平行的方法有:(1)定义(常用反证法);(2)利用判定定理;(3)利用面面平行的性质定理.19解：（）证明：连结 AC，则 F是 的中点， E为 PC的中点故在 CPA中， EF/， .2 分且 平面 D， 平面 P，/平面 .4 分（）证明：因为平面 A平面 BCD，平面 PA平面 ADBC，又 DC，所以， 平面 ， 6 分又
15、PA2，所以 P是等腰直角三角形，且 2D，即 DA .7 分又 PC， 平面 PC， 8 分- 13 -又 PA平面 B，所以平面 平面 PCD 9 分（）取 的中点 M，连结 ， PDA， AM又平面 A平面 B，平面 平面 BC，P平面 CD， 11 分12231313aPSVBBPC 20（1） （2）【解析】【分析】（1）设圆心为 ，求出曲线与坐标轴的交点坐标，可求半径及圆心，即可得到圆 的方程；（2）利用设而不求思想设出圆 C 与直线 x-y+a=0 的交点 A，B 坐标，通过 OAOB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于 a 的方程，通过解方程确定出 a 的值【详解】（1）
16、曲线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为故可设 的圆心为 ，则有 ，解得 则圆的半径为 ，所以圆 的方程为 （2）设 ， ，其坐标满足方程组消去，得方程 由已知可得，判别式 ，且 ， 由于 ，可得 - 14 -又 ， 所以 由 得 ，满足 ，故 【点睛】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型21（1）取 AB 中点 E，连接 PE,EC,由于 为等腰直角三角形，则 ,PABCCEAB, 则 平面 ，所以 （2）PEABC.142sinDHA
17、【解析】试题分析：（1）首先作出辅助线，即取 AB 中点 E，连接 PE,EC,然后根据 为,PBC等腰直角三角形可知 , , 由直线与平面垂直的判定定理知 平面 ，进而可得CEABPAE出所证的结果；（2）首先作出辅助线取 CE 中点 O,再取 OC 中点 F，连接 PO,DF,AF，根据几何体可计算出的长,度，进而判断出 于是可得 即为所求角，再根据直线与平面的位置关系分别,POCEDA求出： ，- 15 -， ，进而求出所求角的正弦值即可DHA试题解析：（1）取 AB 中点 E，连接 PE,EC,由于 为等腰直角三角形，则,PABC, , 则 平面 ，所以 CEBPAB（2）取 CE 中
18、点 O,再取 OC 中点 F，连接 PO,DF,AF，由于 为等腰直角三角形，,又 ，又 ， 为正三角形， 则2,ACE2PCE,CEPO平面 ABC，PO所以 为所求角于是可得： ，,/DF,AB面DF64又在 中可求 86HPC,41.12sinADH考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面所成的角的求法；22（1）见解析；（2）x 2（y3） 214【解析】试题分析：- 16 -试题解析：（1）解法一：直线 mxy10 恒过定点（0,1），且点（0,1）在圆C：x 2（y2） 25 的内部，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交点解法二：联立方程22510xym，消去 y 并整
19、理，得.21)4(x 因为 ，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交点22(610) 解法三：圆心 C（0,2）到直线 的距离 d 201m 21 5，1mxy 所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交点（2）设 ，联立直线与圆的方程得 ，12()()()AxyBMxy， ， ， ， ， 210)4(xm 由根与系数的关系，得 x12 1m，由点 M（x，y）在直线 mxy10 上，当 x0 时，得 m1yx，代入 x 21m，得x（1） 21 x，化简得 ，即 x2（y3） 214.21()y 当 x0，y1 时，满足上式，故 M 的轨迹方程为 x2（y3） 214.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式.
