1、1考查角度 1 空间几何体的三视图、表面积与体积分类透析一 三视图与直观图的识别与还原例 1 (1)图 是一个正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视图如图 所示,则可以作为其正视图的是( ).(2)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( ).A.1 B. C. D.22 3解析 (1)由题意,结合该几何体的直观图和俯视图知,其正视图的长应为底面正方形的对角线长,高应为正方体的棱长,故排除 B,D,在三视图中看不见的棱用虚线表示,故排除 A,选 C.(2)由题中三视图知,此四棱锥的直观图如图所示,其中侧棱 SA底面 ABC
2、D,且底面是边长为 1 的正方形, SA=1,所以四棱锥最长棱的棱长为 SC= ,故选 C.3答案 (1)C (2)C2方法技巧 (1)解决空间几何体的三视图问题,能否回归到正方体(或长方体),是求解问题的关键,要在正方体(或长方体)中寻找已知三视图所对应的空间几何体;(2)对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置 .分类透析二 根据三视图求解几何体的表面积与体积例 2 (1)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( ).A.90 cm2B.129 cm2 C.132
3、 cm2 D.138 cm2(2)已知某几何体的三视图如下图所示,其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为( ).A.24- B.24- C.24- D.24-32 3 2解析 (1)由三视图画出几何体的直观图,如图所示,则此几何体的表面积 S=S1-S 正方形+S2+2S3+S 斜面 ,其中 S1是长方体的表面积, S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积, S3是三棱柱的一个底面的面积,则 S=(46+36+34)2-33+34+2 43+53=138(cm2).故12选 D.3(2)由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱 .长方体的长,宽,高分别为3,2,4.则长方体
4、的体积为 324=24.半圆柱的高为 3,半圆柱的体积为 3= ,所以12 32几何体的体积为 24- .32答案 (1)D (2)A方法技巧 由几何体的三视图求几何体的表面积和体积,通常情况下先将三视图转化为其几何体的直观图,然后将三视图中的数据代入公式进行计算 .分类透析三 柱体、锥体、台体的表面积与体积例 3 (1)正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为 ,D 为 BC 中点,则三棱锥 A-3B1DC1的体积为( ).A.3 B. C.1 D.32 32(2)九章算术商功章有题:一圆台形谷仓,谷仓口直径为六尺,谷仓底直径为一丈八尺,谷仓高一丈八尺,若谷仓屯米高九尺,则谷
5、仓屯米约为( ).(斛为容积单位,1 斛1 .62 立方尺,1 丈 =10 尺,3)A.650 斛 B.950 斛 C.1950 斛 D.2850 斛解析 (1)由题意可知 AD BC,由面面垂直的性质定理可得 AD平面 DB1C1,又 AD=2sin 60= ,所以 = AD = =1.故选 C.3 VA-B1DC113 S B1DC113 3 (122 3)(2)圆台的轴截面如图所示, G,H,F 分别为 CB,DA,BA 的中点, E 为 GH 的中点,由题意得,GB=3 尺, HA=9 尺, GH=18 尺, EH=9 尺,所以 EF= (HA+GB)=6 尺,所以谷仓屯米的体12积为
6、 V= 9 (36+69+81)=513513 3=1539(立方尺) .因为 15391.62=950,所13以谷仓屯米约为 950 斛 .故选 B.答案 (1)C (2)B4方法技巧 (1)求解空间几何体的体积的关键是确定几何体的形状以及线面的位置关系和尺寸,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 .分类透析四 球的接切问题例 4 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( ).A. B. C. D.26 36 2
7、3 22解析 如图所示,根据球的性质,知 OO1平面 ABC,则 OO1 O1C.在直角 OO1C 中, OC=1,O1C= ,33所以 OO1= = = .OC2-O1C2 1-(33)2 63因此三棱锥 S-ABC 的体积V=2VO-ABC=2 = ,故选 A.13 34 63 26答案 A方法技巧 求解球的表面积和体积关键需要求出半径;与组合体有关的解答关键是要明确组合体是“切”还是“接”,然后明确多面体的某一几何量与球的半径之间的关系,再运用相关的知识求解,特别要注意利用球的截面性质 .1.(2018 年全国 卷,文 9 改编)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图
8、是半圆 .现有一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A 点,则蚂蚁所经过路程的最小值为 . 5解析 如图所示,侧面展开图为一个扇形与一个三角形,从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A 点,蚂蚁所经过路程的最小值为 |AA1|= =22+22-222cos150= + .8+4 3 2 6答案 +2 62.(2018 年全国 卷,文 3 改编)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图,其表面积为( ).A.8+12 B.8+1
9、6C.9+12 D.9+16解析 由三视图知该榫是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体,其表面积S=2 22+2 22+124=8+16,故选 B.答案 B63.(2017 年全国 卷,理 7 改编)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中,面积最大的面的面积为( ).A.2 B.6 C.6 D.123 2解析 由三视图可知几何体为三棱锥与三棱柱的组合体 .作出直观图如图所示:由俯视图可知 DE DF,S 梯形 ACFD=S 梯形 ABED= (2+4)2=6,S 矩形 BCFE=2 2=4 ,1
10、2 2 2S ABC= (2 )2=2 ,S DEF= 22=2,故选 B.34 2 3 12答案 B4.(2017 年全国 卷,文 6 改编)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).A.90 B.6+C.42 D.4+解析 由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体,且三棱柱与半圆柱的高都是 2,三棱柱的一侧面为圆柱的轴截面,三棱柱的底面为等腰直角三角形,且腰长为 2,半圆柱的底面半径为 1, 几何体的体积 V= 222+ 122=4+ .12 12答案 D1.(2018 佛山二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ).7A
11、.8- B.8- C.24- D.24+43 23解析 由已知三视图,得该几何体是一个正方体切去半径为 2 的 个球,18所以表面积为 226- 22+ 4 22=24- .34 18故选 C.答案 C2.(2018 届陕西省渭南市模拟)如图,一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的体积是( ).A. B. C. D.1 12 13 23解析 根据题意得到原图是三棱锥,底面为等腰直角三角形,高为 1,故得到体积为 211= ,故选 B.13 12 13答案 B3.(2018 黄山一模)九章算术卷 5商功记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺 .问积几何?答曰:二千一百一十二尺 .术曰
12、:周自相乘,以高乘之,十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一” .就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为 V= (底面圆的周长的平方 高),则由此可推得圆周率 的取值为( ).112A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.28解析 设圆柱体的底面半径为 r,高为 h,由圆柱的体积公式得体积为 V= r2h.由题意知 V= (2 r)2h.所以 r2h= (2 r)2h,解得 =3.故选 A.112 112答案 A4.(2018 重庆模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ).A.54 B.60 C.66 D.72解析 由三视图知,该几何体
13、是由直三棱柱削去一个同底的三棱锥所得(如图) .三棱柱的高为 5,削去的三棱锥的高为 3,三棱锥与三棱柱的底面都是边长为 3 和 4 的直角三角形 .AB 平面 BEFC,AB BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5, 该几何体的表面积 S= 34+35+ + + 35=60.12 (5+2)52 (2+5)42 12故选 B.答案 B5.(2018 届齐齐哈尔市第八中学二模)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).A. (1+2)839B. (1+)83C. (2+3)43D. (2+)43解析 该几何体是由两个小三棱锥和一个
14、圆锥组成,所以体积为2 222+ 4 4= (1+2),故选 A.13 12 13 83答案 A6.(2018 届甘肃省兰炼一中第二次模拟)在四面体 ABCD 中,若 AB=CD= ,AC=BD=2,AD=BC=3,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为( ).5A.2 B.4 C.6 D.8 解析 如图所示,该四面体为长方体的四个顶点,设长、宽、高分别为 a,b,c,则三式相加得 a2+b2+c2=6,因为易知该四面体的外接球直径为长方体的体对角线a2+b2=5,a2+c2=4,b2+c2=3,长,所以(2 R)2=6.故外接球的表面积为 4 R2=6 .答案 C7.(2018 届河南省安阳
15、市模拟考试)如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( ).A.4+2 B.4+ C.4+ D.4+32 2解析 由三视图知该组合体是由长方体与半个圆柱组合而成,体积为V=114+ 121=4+ ,故选 D.12 2答案 D108.(2018 南平一模)已知某简单几何体的三视图如图所示,若正(主)视图的面积为 1,则该几何体最长的棱的长度为( ).A. B. C.2 D.5 3 2 6解析 如图,该几何体为三棱锥 A-BCD,BC=2,CD=2,因为正(主)视图的面积为 1,故正(主)视图的高为 1,由此可计算 AB=AC= ,BD=2 为最长棱长,故选 C.6 2答案 C9.(20
16、18 陕西一模)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” .已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为( ).A.2 B.4+2 C.4+4 D.4+62 2 2解析 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,底面是一个直角三角形,两条直角边是 ,斜边是 2,且侧棱与底面垂直,侧棱长是 2, 几何体的侧面积2S=22+22 =4+4 ,故选 C.2 2答案 C1110.(2018 合肥模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( ).A.13B.16C.25D.27解析 该几何体是底面为正方形的长方体,底面对角线长
17、为 4,高为 3, 长方体底面边长为 2 .2设长方体外接球的半径为 r,则 2r= =5,r= , 长方体外接(2 2)2+(2 2)2+3252球的表面积 S=4 r2=25 .故选 C.答案 C11.(2018 届镇江市第一次模拟)已知正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 ,则正四棱锥的6体积为 . 解析 正四棱锥的底面边长为 2,底面面对角线的一半为 ,所以棱锥的高为 h=2=2,V= Sh= 222= .6-213 13 83答案8312.(2018 届江苏省常州市第一次模拟)已知圆锥的高为 6,体积为 8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体积是 7,则该圆台的高为 . 解析
18、设该圆台的高为 h,由题意,得用平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的小圆锥体积是 1,则 = = ,解得 h=3,即该圆台的高为 3.6-h6 31812答案 313.(2018 届四川省成都市龙泉中学高三 12 月月考)一个棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为边长为 1 的正三角形,则四棱锥侧面中最大侧面的面积是 . 12解析 由四棱锥的三视图可知,该四棱锥底面 ABCD 为边长为 1 的正方形, PAD 是边长为 1 的等边三角形, PO 垂直于 AD 于点 O,其中 O 为 AD 的中点,所以四棱锥侧面中最大侧面是 PBC,PB=PC= ,BC=1,面积是 1 = .212 2-14 74答案
19、7414.(2018 届合肥市第一次教学质量检测)如图,已知平面四边形 ABCD 满足AB=AD=2, A=60, C=90,将 ABD 沿对角线 BD 翻折,使平面 ABD平面 CBD,则四面体ABCD 外接球的体积为 . 解析 由题意可知 ABD 是等边三角形,作 AE BD,垂足为 E,利用面面垂直的性质可知 AE平面 BCD,则外接球的球心在直线 AE 上,故 ABD 的重心 F 为外接球球心,设外接球半径为 R,则 =2R,R= ,2sin60 23外接球的体积 V= R3= = .43 43 (23)332327答案 3232715.(2018 湖南联考)在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直, ABC, ACD, ABD 的面积分别为 , , ,则三棱锥 A-BCD 的外接球的体积为 . 22 32 62解析 如图,以 AB,AC,AD 为棱把该三棱锥补成长方体,则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球,13 三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长 .由题意得 解得ABAC= 2,ACAD= 3,ABAD= 6, AB= 2,AC=1,AD= 3, 长方体的体对角线长为 = ,AB2+AC2+AD2 6 三棱锥外接球的半径为 .62 三棱锥外接球的体积为 V= = .43 (62)3 6答案 6
