1、1考查角度 1 立体几何中的平行与垂直的证明分类透析一 证明平行关系例 1 如图,在菱形 ABCD中, BAD= ,ED平面 ABCD,EF DB,M是线段 AE的中点,3DE=EF= AD=2.12(1)证明: DM平面 CEF.(2)求多面体 ABCDEF的表面积 .分析 (1)连接 AC,设 AC,BD的交点为 O,连接 MO,可证平面 MOD平面 CEF,从而 DM平面 CEF;(2)先判断各个面的形状,找出垂直关系,求出各边的长度,再计算表面积 .解析 (1)连接 AC,设 AC与 BD的交点为 O,连接 MO.DO EF,DO平面 CEF,DO 平面 CEF.M 是线段 AE的中点
2、, O为 AC的中点,MO 是 ACE的中位线, MO EC.又 MO平面 CEF,MO 平面 CEF.又 MO DO=O, 平面 MDO平面 CEF.又 DM平面 MDO,DM 平面 CEF.(2)连接 FO,由菱形 ABCD可得 AC BD.ED 平面 ABCD,AC平面 ABCD,ED AC.又 BD ED=D,AC 平面 EDBF.又 OF平面 EDBF,AC OF.EF DO,且 EF=DO,ED DO,ED=DO, 四边形 EDOF为正方形, ED=DO=OF=FE=2.2在 Rt ADE和 Rt CDE中,AD=CD= 4,DE=2,AE=EC= 2 ,S ADE=S CDE=4
3、.5在 Rt AOF和 Rt COF中,AO=CO= 2 ,OF=2,AF=CF=4,3 AEF和 CEF是直角三角形,S AEF=S CEF=4. 四边形 ABCD为菱形,AB=BC=CD=DA= 4,SABCD=8 .3又 AF=CF=AB=CB=4,FB=2 ,2S AFB=S CFB=2 .7 多面体 ABCDEF的表面积为 42+42+2 2+8 =16+4 +8 .7 3 7 3方法技巧 证明线面平行的常用方法: 利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式
4、证明两条直线平行 . 利用面面平行的性质,即两个平面平行,在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 .分类透析二 证明垂直关系例 2 如图,已知四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD为边长等于 2的正三角形,底面 ABCD为菱形, BAD=60.(1)证明: PB BC.(2)若平面 PAD底面 ABCD,E为线段 PD上的点,且 PE=2ED,求三棱锥 P-ABE的体积 .分析 (1)设 AD的中点为 O,通过证线面垂直得到线线垂直;(2)进行等价转化,寻找三棱锥 P-ABE的体积与三棱锥 B-PAD的体积间的关系,然后求出三棱锥 B-PAD的体积,最后得到三棱锥 P-ABE的体积 .3解
5、析 (1)如图,设 AD的中点为 O,连接 PO,BO.PA=PD ,PO AD. 四边形 ABCD为菱形, BAD=60,OB AD,OP OB=O,AD 平面 POB.又 AD BC,BC 平面 POB.PB 平面 POB,PB BC.(2)连接 BD,由题知 VP-ABE=VB-PAE= VB-PAD.23 平面 PAD底面 ABCD,OP ,OA,OB两两垂直且 OP=OB= .3则 VB-PAD= 2 =1,13 12 3 3故 VP-ABE= VB-PAD= .23 23方法技巧 有关空间中垂直关系的证明:主要用到线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化,再结合题意进行推理或证明
6、完成,有些题目需要添加一些辅助线 .分类透析三 平行关系和垂直关系的综合应用例 3 如图,在三棱锥 P-ABC中, AB平面 PAC, APC=90,E是 AB的中点, M是 CE的中点,点 N在 PB上,且 4PN=PB.证明:(1)平面 PCE平面 PAB;(2)MN平面 PAC.分析 先证明直线 PC平面 PAB,再证平面 PCE平面 PAB;(2)设 AE的中点为 Q,连接MQ,NQ,证明平面 MNQ平面 PAC,从而 MN平面 PAC.解析 (1)AB 平面 PAC,PC平面 PAC,AB PC. APC=90,AP PC.又 AP平面 PAB,AB平面 PAB,AP AB=A,PC
7、 平面 PAB.PC 平面 PCE,4 平面 PCE平面 PAB.(2)取 AE的中点 Q,连接 NQ,MQ.M 是 CE的中点, MQ AC.PB= 4PN,AB=4AQ,QN AP.又 AP AC=A,AP平面 APC,AC平面 APC,QN QM=Q,QN平面 MNQ,QM平面 MNQ, 平面 MNQ平面 PAC.MN 平面 MNQ,MN 平面 PAC.例 4 如图, ABC内接于圆 O,AB是圆 O的直径,四边形 DCBE为平行四边形, DC平面ABC,AB=2,BE= .3(1)证明:平面 ACD平面 ADE.(2)记 AC=x,V(x)表示三棱锥 A-CBE的体积,求 V(x)的最
8、大值 .分析 (1)要证平面 ACD平面 ADE,只需证明 DE平面 ADC,由已知可证明DC BC,BC AC,从而得证;(2)先利用体积公式求出 V(x)关于 x的解析式,再利用不等式求出最值 .解析 (1) 四边形 DCBE为平行四边形,CD BE,BC DE.DC 平面 ABC,BC平面 ABC,DC BC.AB 是圆 O的直径,BC AC.又 DC AC=C,BC 平面 ADC.DE BC,5DE 平面 ADC.又 DE 平面 ADE, 平面 ACD平面 ADE.(2)在 Rt ABC中, BC= = (0x2),AB2-AC2 4-x2S ABC= ACBC= x ,又 BE= ,
9、12 12 4-x2 3V (x)=VE-ABC= S ABCBE= x (0x2).13 36 4-x2若 V(x)取得最大值,则 x = 取得最大值 .4-x2 x2(4-x2)x 2(4-x2) =4,(x2+4-x22 )2当且仅当 x2=4-x2,即 x= 时,“ =”成立,故 V(x)的最大值为 .233方法技巧 立体几何中最值问题的求解策略主要有:(1)转化为函数的最值问题 .解有些立体几何的最值问题可先引入线参数或角参数,再建立关于这些变量的函数关系,转化为函数的最值问题来解决 .(2)利用重要不等式求最值 .1.(2018年全国 卷,文 19改编)如图,在三棱锥 P-ABC中
10、, AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O2为 AC的中点 .(1)证明: PO平面 ABC.(2)若点 M在棱 BC上,且 MC=2MB,求 VC-POMV P-ABMO.解析 (1)因为 AP=CP=AC=4,O为 AC的中点,所以 OP AC,且 OP=2 .36如图,连接 OB,因为 AB=BC= AC,所以 ABC为等腰直角三角形,且 OB AC,OB= AC=2.22 12由 OP2+OB2=PB2知, OP OB.由 OP OB,OP AC,OB AC=O知, PO平面 ABC.(2)作 CH OM,垂足为 H.又由(1)可得 OP CH,所以 CH平面 POM.故 C
11、H的长为点 C到平面 POM的距离 .由题设可知 OC= AC=2,CM= BC= , ACB=45,12 23 423所以 OM= ,CH= = .253 OCMCsinACBOM 455所以 VC-POM= S COMPO13= PO= PO,13 12 253 455 49VP-ABMO= PO= PO,13 (122 22 2-12253 455) 89所以 VC-POMV P-ABMO=1 2.2.(2018年全国 卷,文 19改编)如图,矩形 ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直, M是CD上异于 C,D的点 .CD(1)证明: CM平面 AMD.(2)设 P是 AM的中点,求证
12、: MC平面 PDB.解析 (1) 平面 ABCD半圆面 CMD,AD 半圆面 CMD,AD 平面 MCD.CM 在平面 MCD内, AD CM.又 M是半圆弧 上异于 C,D的点, CM MD.CD又 AD MD=D,CM 平面 AMD.7(2)连接 AC与 BD交于点 O,连接 PO.在矩形 ABCD中, O是 AC的中点, P是 AM的中点,OP MC.OP 平面 PDB,MC平面 PDB,MC 平面 PDB.3.(2017年全国 卷,文 18改编)如图,在四棱锥 P-ABCD中, AB CD,且 BAP= CDP=90.(1)证明:平面 PCD平面 PAD.(2)若 PA=PD=AB=
13、DC, APD=90,且四棱锥 P-ABCD的体积为 ,求 AB的长度 .83解析 (1)由已知 BAP= CDP=90,得 AB AP,CD PD.由于 AB CD,故 AP CD.因为 AP PD=P,所以 CD平面 PAD.又 CD平面 PCD,所以平面 PCD平面 PAD.(2)在平面 PAD内作 PE AD,垂足为 E.由(1)知, AB平面 PAD,故 AB PE,AB AD=A,可得 PE平面 ABCD.设 AB=x,则由已知可得 AD= x,PE= x.222故四棱锥 P-ABCD的体积 VP-ABCD= ABADPE= x3.13 13由题设得 x3= ,故 x=2.13 8
14、3从而 AB=2.1.(2018年湖北省八校高三第二次联考测试)如图,在三棱锥 P-ABC中,PA AB,PA=AB=BC=4, ABC=90,PC=4 ,D为线段 AC的中点, E是线段 PC上一动点 .38(1)当 DE AC时,求证: PA平面 EDB.(2)当 BDE的面积最小时,求三棱锥 E-BCD的体积 .解析 (1)在 Rt ABC中, AC=4 .2在 PAC中,由 PA2+AC2=PC2知, PA AC,DE AC,PA DE.又 PA平面 EDB,PA 平面 EDB.(2)在等腰直角 ABC中,由 D为 AC的中点知, DB AC.PA AC,PA AB,AB AC=A,P
15、A 平面 ABC.DB 平面 ABC,PA DB.又 DB AC,PA AC=A,DB 平面 PAC.DE 平面 PAC,DE DB, 即 EBD为直角三角形, 当 DE最小时, BDE的面积最小,过点 D作 PC的垂线,当 E为垂足时, DE最小,为 ,263此时, EC= = ,(2 2)2-(263)2433V E-BCD= S BDEEC= 2 = .13 13 12 2 263 433 1692.(2018年辽宁大连高三上学期期末)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, D,E分别是 AB,BB1的中点, AB=BC.证明:(1)BC1平面 A1CD.(2)平面 A1EC平面 A
16、CC1A1.解析 (1)如图,连接 AC1,交 A1C于点 O,连接 DO,则 O是 AC1的中点 .9因为 D是 AB的中点,所以 OD BC1.因为 OD平面 A1CD,BC1平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD.(2)取 AC的中点 F,连接 EO,OF,FB,因为 O是 AC1的中点,所以 OF AA1且 OF= AA1.12显然 BE AA1,且 BE= AA1,12所以 OF BE且 OF=BE.则四边形 BEOF是平行四边形,所以 EO BF.因为 AB=BC,所以 BF AC.又 BF CC1,AC CC1=C,所以直线 BF平面 ACC1A1.因为 EO BF,所以 E
17、O平面 ACC1A1.因为 EO平面 A1EC,所以平面 A1EC平面 ACC1A1.3.(四川省德阳市 2018届高三二诊考试)如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为菱形, DAB=60,PD平面 ABCD,PD=AD=2,点 E、 F分别为 AB、 PD的中点 .(1)求证:直线 AF平面 PEC;(2)求点 A到平面 PEC的距离 .解析 (1)取 PC的中点 Q,连接 EQ,FQ,由题意知, FQ DC且 FQ= CD,AE CD且 AE= CD,12 12故 AE FQ且 AE=FQ,所以四边形 AEQF为平行四边形 .所以 AF EQ.10又 EQ平面 PEC,AF平面
18、PEC,所以 AF平面 PEC.(2)连接 AC,设点 A到平面 PEC的距离为 d.由题意知在 EBC中,EC= EB2+BC2-2EBBCcosEBC= = ,1+4+21212 7在 PDE中, PE= = ,在 PDC中, PC= =2 ,PD2+DE2 7 PD2+CD2 2故 EQ PC,EQ=AF= ,S PEC= 2 = ,S AEC= 1 = ,512 2 5 10 12 3 32所以由 VA-PEC=VP-AEC,得 d= 2,解得 d= .13 10 13 32 30104.(山东省枣庄市 2018届高三第二次模拟考试)在四棱锥 S-ABCD中,底面 ABCD为矩形,平面
19、SAB平面 ABCD,平面 SAD平面 ABCD,且 SA=2AD=3AB.(1)证明: SA平面 ABCD;(2)若 E为 SC的中点,三棱锥 E-BCD的体积为 ,求四棱锥 S-ABCD外接球的表面积 .89解析 (1)由底面 ABCD为矩形,得 BC AB,又平面 SAB平面 ABCD,平面 SAB平面 ABCD=AB,BC平面 ABCD,所以 BC平面 SAB,所以 BC SA.同理可得 CD SA.又 BC CD=C,BC平面 ABCD,CD平面 ABCD,所以 SA平面 ABCD.(2)设 SA=6a,则 AB=2a,AD=3a.VE-BCD= S BCDh= = (3a)=3a3.13 13 (12BCCD) (12SA)13 (122a3a)又 VE-BCD= ,所以 3a3= ,解得 a= .89 89 23四棱锥 S-ABCD的外接球是以 AB,AD,AS为棱的长方体的外接球,设其半径为 R,11则 2R= =7a= ,即 R= ,AB2+AD2+AS2143 73所以四棱锥 S-ABCD外接球的表面积为 4 R2= .1969
