1、1直角三角形的边角关系章末小结与提升直角三角形的边角关系锐角三角函数定义 sinA= A的对边斜边 =accosA= A的邻边斜边 =bctanA= A的对边 A的邻边 =ab锐角三角函数间关系 sinA=cosB,tanAtanB=1sin2A+cos2A=1,tanA=sinAcosA特殊角的三角函数值 sin30= 12 ,sin45= 22,sin60= 32cos30= 32,cos45= 22,cos60=12tan30= 33,tan 45 =1,tan60= 3解直角三角形解直角三角形 定义:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程常用关系式 三边之间的关系 a2+b2
2、=c2两锐角间的关系 A+ B=90边角之间的关系(锐角三角函数) 应用举例基本概念 仰角、俯角坡度、坡角 方位角 应用直角三角形解决实际问题的步骤 审题建模解题答题 类型 1 锐角三角函数典例 1 如图,方格中的每个小正方形的边长均为 1,已知 ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上,则 sin B的值为 ()2A. B.33 233C. D.253 55【解析】如图,连接 CD,由勾股定理得 CD= ,BC= ,BD=2 ,则2 10 2CD2+BD2=BC2, CDB=90, sinB= .CDBC= 210= 55【答案】 D【针对训练】1.如图,由 6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩
3、形网络,小矩形的顶点称为这个矩形网络的格点,已知小矩形较短边长为 1,点 A,B,C,D都在格点上,则 sin BAD的值为 (A)A. B. C. D.255 12 2552.如图,Rt ABC中, BAC=90,AD BC于点 D,设 ABC= ,则下列结论错误的是 (D)A.BC= B.CD=ADtanACsinC.BD=ABcos D.AC=ADcos3.(舟山中考)如图,把 n个边长为 1的正方形拼接成一排,求得 tan BA1C=1,tan BA2C= ,tan BA3C= ,计算 tan BA4C= ,按此规律,写出 tan BAnC= 13 17 113 1n2-n+1.(用含
4、 n的代数式表示) 3类型 2 特殊角的三角函数值典例 2 已知 , 均为锐角,且满足 =0,则 += |sin -12|+ (tan -1)2. 【解析】 =0, sin= ,tan= 1,= 30,= 45,|sin -12|+ (tan -1)2 12+= 30+45=75.【答案】 75【针对训练】1.在 ABC中,三边之比为 BCACAB= 1 2,则 sin A+tanA等于 (A)3A. B. C. D.3+236 12+ 3 332 3+122.在 ABC中, A, B为锐角,且有 |tan B- |+(2sin A- )2=0,则 ABC的形状是 等3 3边三角形 . 3.计
5、算: .2tan45-sin23023tan60 - sin260-2sin60+1解:原式 =21-(12)2233- (32-1)2=2-146 -(1- 32)= -1+724 32= .32-1724类型 3 解直角三角形1.在 ABC中,已知 C=90,BC=4,sin A= ,那么 AC边的长是 (B)23A.6 B.2 5C.3 D.25 132.如图,在 ABC中, ACB=90,sin A= ,BC=8,D是 AB的中点,过点 B作直线 CD的垂线,垂45足为 E.(1)求线段 CD的长;(2)求 cos ABE的值 .4解:(1)在 ABC中, ACB=90, sin A=
6、 ,BCAB=45又 BC= 8,AB= 10,D 是 AB的中点, CD= AB=5.12(2)在 Rt ABC中, AB= 10,BC=8,AC= =6,AB2-BC2D 是 AB的中点,BD= 5,S BDC= S ABC,即 CDBE= ACBC,BE= ,12 12 1212 245在 Rt BDE中,cos DBE= .BEBD=24253.如图所示,把一张长方形卡片 ABCD放在每格宽度为 12 mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知 = 36,求长方形卡片的周长 .(结果精确到 1 mm,参考数据:sin 360 .60,cos 360 .80,tan 360 .75)
7、解:作 BE l于点 E,DF l于点 F.+ DAF=180- BAD=90, ADF+ DAF=90, ADF= 36.根据题意得 BE=24 mm,DF=48 mm.在 Rt ABE中,sin = ,BEABAB= 40 mm .BEsin36在 Rt ADF中,cos ADF= ,DFADAD= 60 mm .DFcos36 长方形卡片的周长为 2(40+60)=200 mm.类型 4 解直角三角形的应用典例 3 (烟台中考)某中学广场上有旗杆如图 1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度 .如图 2,某一时刻,旗杆 AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,
8、测得落在平台上的影长 BC为 4米,落在斜坡上的影长 CD为 3米, AB BC,同一时刻,光线与水平面的夹角为 72,1米的竖立标杆 PQ在斜坡上的影长 QR为 2米,求旗杆的高度 .(结果精确到 0.1米,参考数据:sin 720 .95,cos 720 .31,tan 723 .08)5【解析】如图,作 CM AB交 AD于点 M,MN AB交 AB于点 N.由题意得 ,即 ,解得 CM= ,CMCD=PQQR CM3=12 32在 Rt AMN中, ANM=90,MN=BC=4, AMN=72, tan72= ,AN 12 .3,ANMNMN BC,AB CM, 四边形 MNBC是平行
9、四边形,BN=CM= ,AB=AN+BN= 13.8米 .32【针对训练】1.如图,大海中某岛 C的周围 25 km范围内有暗礁 .一艘海轮沿正东方向航行,在 A处望见 C在北偏东 60处,前进 20 km后到达点 B,测得 C在北偏东 45处 .如果该海轮继续沿正东方向航行,有无触礁危险?请说明理由 .(参考数据: 1 .41, 1 .73)2 3解:没有触礁危险 .理由:过点 C作 CD AB,交 AB的延长线于点 D.由题意可知 ACD=60, BCD=45,设 CD=x.在 Rt ACD中, tan ACD= ,AD= x.ADCD 3在 Rt BCD中, tan BCD= ,BD=x
10、.BDCDAD-BD=AB , x-x=20,3x= 27 .4 km.203-1 27.425, 该海轮继续沿正东方向航行,没有触礁危险 .62.(安徽中考)为了测量竖直旗杆 AB的高度,某综合实践小组在地面 D处竖直放置标杆 CD,并在地面上水平放置一个平面镜 E,使得点 B,E,D在同一水平线上,如图所示,该小组在标杆的 F处测得旗杆顶 A的仰角为 39.3,平面镜 E的俯角为 45,FD=1.8米,问旗杆 AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan 39 .30 .82,tan 84.310 .02)解:方法一:由题意知 AEB= FED=45, AEF=90.在 Rt A
11、EF中,tan AFE= ,AEFE =tan 84.310 .02,AEFE在 ABE和 FDE中, ABE= FDE=90, AEB= FED. ABE FDE, ,则 =10.02,ABFD=AEFE ABFDAB= 10.02FD=18.03618(米) .答:旗杆 AB的高度约为 18米 .方法二:作 FG AB于点 G,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8,由题意知 ABE和 FDE均为等腰直角三角形,AB=BE ,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB+ 1.8.在 Rt AFG中,tan AFG= ,即 =tan 39.3,AGFG AGFG 0 .82,AB-
12、1.8AB+1.8解得 AB=18.218 米 .答:旗杆 AB的高度约为 18米 .3.如图,直线 l与 t轴垂直,垂足为 D,它与从原点出发的三条射线分别交于点 A,B,C.射线OA,OB,OC分别表示正常行走的人,站在自动扶梯上不走的人,在自动扶梯上同时正常行走的人所移动的路程 s(m)与时间 t(min)的函数关系,在这些关系中,正常行走的人的速度相同,自动扶梯的速度也相同 .7(1)猜想线段 AD,BD,CD之间满足的数量关系,并说明理由;(2)已知 COD=60, BOD=45,正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的多少倍?解:(1) CD-BD=AD.理由:在时间相同的情况下, A
13、D=tv 人 ,BD=tv 自动扶梯 ,CD=tv 人 +自动扶梯 .CD-BD=tv 人 +自动扶梯 -tv 自动扶梯 =t(v 人 +自动扶梯 -v 自动扶梯 )=tv 人 =AD.(2)在 Rt COD中,tan COD= ,CD= OD.CDOD 3在 Rt BOD中,tan BOD= ,BD=OD ,BDODAD=CD-BD= ( -1)OD,3 -1,v人v自动扶梯 =ADODBDOD=(3-1)ODOD ODBD= 3即正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的( -1)倍 .34.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过,沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一 .数学课外实践活动中,小林在南滨河路上的 A,B两点处,利用测角仪分别对北岸的一个观景亭D进行了测量 .如图,测得 DAC=45, DBC=65.若 AB=132米,求观景亭 D到南滨河路 AC的距离约为多少米?(结果精确到 1米,参考数据:sin 650 .91,cos 650 .42,tan 652 .14)解:过点 D作 DE AC,垂足为 E,设 BE=x.在 Rt DEB中,tan DBE= ,DEBE DBC=65,DE=x tan 65.又 DAC=45,AE=DE , 132+x=xtan 65,解得 x115 .8,DE 248 米 .答:观景亭 D到南滨河路 AC的距离约为 248米 .
