1、127.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第 1 课时 平行线分线段成比例知识要点基础练知识点 1 相似三角形的有关概念1.如图, ADE ABC,若 AD=2,AB=6,则 ADE 与 ABC 的相似比是 (B)A.1 2B.1 3C.2 3D.3 22.若 ABC ABC, ABC 与 ABC的相似比为 2,那么 ABC与 ABC 的相似比为 1 2 . 知识点 2 平行线分线段成比例3.如图,已知直线 l1,l2,l3分别交直线 l4于点 A,B,C,交直线 l5于点 D,E,F,且 l1 l2 l3.若 AB=4,AC=6,DF=9,则 DE= (B)A.5 B.6 C.7
2、D.824.如图, ABC 中, DE BC,ADAB= 1 3,AE=2 cm,则 AC 的长是 (C)A.2 cm B.4 cmC.6 cm D.8 cm知识点 3 判定三角形相似的预备定理5.如图, DC FE AB,图中相似三角形共有 (B)A.4 对 B.3 对 C.2 对 D.1 对【变式拓展】如图,直线 AB 与平行四边形 MNPQ 的四边所在直线分别交于 A,B,C,D,则图中的相似三角形有 (C)A.4 对 B.5 对 C.6 对 D.7 对6.如图,已知 AB BD,CD BD,垂足分别为 B,D,AD 与 BC 相交于点 E,EF BD,垂足为 F,试回答:图中 DEF
3、DAB , BEF BCD , ABE DCE . 综合能力提升练37.如图,已知直线 a b c,分别交直线 m,n 于点 A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则 BF 的长为 (B)A. B.92 152C.6 D.528.如图, AB CD,OH 分别与 AB,CD 交于点 F,H,OG 分别与 AB,CD 交于点 E,G.若 ,OF=12,OEEG=49则 OH 的长为(A)A.39 B.27C.12 D.269.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB=10,AD=6,E 是 AD 的中点,在 AB 上取一点 F,使 CBFCDE,则 BF 的长是 (D)A.5 B
4、.8.2C.6.4 D.1.810.如图,在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O,E 是 OD 的中点,连接 AE 并延长交 DC于点 F,则 DFFC= (C)4A.1 4 B.1 3C.1 2 D.1 111.如图,在 ABC 中, DE FG BC,ADDFFB= 2 3 4,若 EG=4,则 AC= 12 . 12.如图,在 ABC 中,点 D 为 AC 上一点,且 ,过点 D 作 DE BC 交 AB 于点 E,连接 CE,过CDAD=12点 D 作 DF CE 交 AB 于点 F.若 AB=27,则 EF= 6 . 13.如图,已知 AC BD,AD,BC 相交
5、于点 E,EF BD,求证: .1AC+1BD=1EF证明: AC BD,EF BD,AC EF BD, BEF BCA, AEF ADB, ,EFAC=BFAB,EFBD=AFAB =1,EFAC+EFBD=BFAB+AFAB=ABAB .1AC+1BD=1EF514.如图,已知在 ABC 中, DE BC,EF AB,AE=2CE,AB=6,BC=9.求:(1)BF 和 BD 的长度;(2)四边形 BDEF 的周长 .解:(1) AE= 2CE, .CEAE=12EF AB, .AEAC=BFBC=23BC= 9,BF= 6.DE BC, .BDAB=CEAC=13AB= 6,BD= 2.
6、(2)EF AB,DE BC, 四边形 BDEF 是平行四边形,BD=EF= 2,DE=BF=6, 四边形 BDEF 的周长为 2(2+6)=16.15.如图, O 是 ABC 内任意一点, DE AB,DF AC,EF BC,那么 ABC 与 DEF 相似吗?说明理由 .解: ABC DEF.理由: DE AB, ODE OAB, ODE= OAB, OED= OBA, .DEAB=ODOA=OEOB6同理可证: ODF= OAC, OFD= OCA, OEF= OBC, OFE= OCB, ,DFAC=ODOA=OFOC,EFBC=OEOB=OFOC EDF= BAC, DEF= ABC,
7、 DFE= ACB, ,DEAB=DFAC=EFBC ABC DEF.拓展探究突破练16.阅读与计算,请阅读以下材料,并完成相应的问题 .角平分线分线段成比例定理,如图 1,在 ABC 中, AD 平分 BAC,则 .下面是这个定理ABAC=BDCD的部分证明过程 .证明:如图 2,过点 C 作 CE DA,交 BA 的延长线于点 E.(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;(2)如图 3,在 Rt ABC 中, AB=3,BC=4, ABC=90,AD 平分 BAC,求 ABD 的周长 .解:(1)如图 2,过点 C 作 CE DA,交 BA 的延长线于点 E,CE AD, ,2
8、= ACE,1 = E, 1 =2, ACE= E,AE=AC , .BAEA=BDCD ABAC=BDCD(2)如图 3,AB= 3,BC=4, ABC=90,AC= 5,AD 平分 BAC, ,即 ,ABAC=BDCD 35=BDCDBD= BC= ,38 32AD= ,BD2+AB2= (32)2+32=352 ABD 的周长 = +3+ .32 352 =9+3527第 2 课时 相似三角形的判定定理 1,2知识要点基础练知识点 1 三边成比例的两个三角形相似1.有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为 4,6,8,乙三角形木框的三边长分别为 12,18,24,则甲、乙两个三
9、角形 (A)A.一定相似 B.一定不相似C.不一定相似 D.无法判断2.下列四个三角形中,与左图中的三角形相似的是 (B)3.如图, ABC 中, D,E 分别在边 AB,AC 上, AD=2BD,AE=2CE, ,求证: ABC 与 ADE 相似 .DEBC=23证明: AD= 2BD,AE=2CE, .ADAB=23,AEAC=23 , ,DEBC=23 ADAB=AEAC=DEBC8 ABC ADE.知识点 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似4.如图所示, ABC 中, AB=6,AC=8.将 ABC 沿图示中的虚线剪开裁剪办法已在图上标注,对于各图中剪下的两个阴影三角形而言,下列
10、说法正确的是 (B)A.图 1 中的阴影三角形与 ABC 相似B.图 2 中的阴影三角形与 ABC 相似C.都与 ABC 相似D.都与 ABC 不相似5.如图,下列选项中能证明 ACD 和 ABC 相似的是 (C)A. B.ACCD=ABBC CDAD=BCACC.AC2=ADAB D.CD2=ADBD6.如图,点 C 在 ADE 的边 DE 上,1 =2, .ABAC=ADAE求证:(1) ABC ADE;(2) B= D.证明:(1) 1 =2, BAC= DAE. , , ABC ADE.ABAC=ADAE ABAD=ACAE9(2) ABC ADE, B= D.综合能力提升练7.在三角
11、形纸片 ABC 中, AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法沿虚线剪下,能使阴影部分的三角形与 ABC 相似的是 (D)8.如图,在 ABC 与 ADE 中, BAC= D,要使 ABC 与 ADE 相似,还需满足下列条件中的(C)A. B.ACAD=ABAE ACAD=BCDEC. D.ACAD=ABDE ACAD=BCAE9.如图, APD=90,AP=PB=BC=CD,则下列结论成立的是 (C)A. PAB PCA B. PAB PDAC. ABC DBA D. ABC DCA10.一个钢筋三脚架三边长分别是 20 cm,50 cm,60 cm.现在再做一个与其相似的钢筋三脚架,而只有
12、长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则下列截法: 将 30 cm 截出 5 cm 和 25 cm; 将 50 cm 截出 10 cm和 25 cm; 将 50 cm 截出 12 cm 和 36 cm; 将 50 cm 截出 20 cm 和 30 cm.其中正确的有(B)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个1011.如图, OPQ 在边长为 1 个单位的方格纸中,它们的顶点在小正方形顶点位置,点 A,B,C,D,E也是小正方形的顶点,从点 A,B,C,D,E 中选取三个点所构成的三角形与 OPQ 相似,那么这个三
13、角形是 CDB . 12.如图,在钝角三角形 ABC 中, AB=5 cm,AC=10 cm,动点 D 从 A 点出发到 B 点止,动点 E 从 C点出发到 A 点止 .点 D 运动的速度为 1 cm/s,点 E 运动的速度为 2 cm/s,如果两点同时运动,那么当以点 A,D,E 为顶点的三角形与 ABC 相似时,运动的时间是 2.5 s 或 4 s . 13.如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为(0,3)和(9,0),若坐标轴上存在点 C,使 OBC 和 OAB 相似(不包括全等),则点 C 的坐标是 (0,27),(0,-27) . 14.已知四边形 ABCD 和四边形 A
14、BCD中的条件如图所示,试证明: BDC BDC.证明: =2, =2,ABAB=84 ADAD=63 ,ABAB= ADAD又 A= A, ABD ABD, =2.BDBD= ABAB11 =2, =2,BCBC=105 CDCD=42 , BDC BDC.BDBD= BCBC= CDCD15.如图:方格纸中的每个小正方形的边长均为 1, ABC 和 DEF 的顶点都在方格纸的格点上 .(1)判断 ABC 和 DEF 是否相似,并说明理由;(2)点 P1,P2,P3,D,F 是 DEF 边上的 5 个格点,请在这 5 个格点中选取 3 个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与 ABC 相似 .
15、(写出一个即可,说明理由)解:(1) ABC 和 DEF 相似 .理由: 根据图示可知 AB=2 ,AC= ,BC=5,ED=4 ,DF=2 ,EF=2 ,5 5 2 2 10 ,ACDF=ABED=BCEF= 104 ABC DEF.(2) ABC DP2P3.(答案不唯一,合理即可)连接 P2P3,由(1)知 ABC DEF, BAC= EDF,即 BAC= P2DP3.DP 3= ,DP2=2 , ,2 2DP3AC=DP2AB= 105 ABC DP2P3.拓展探究突破练1216.(福州中考)如图,在 ABC 中, AB=AC=1,BC= ,在 AC 边上截取 AD=BC,连接 BD.
16、5-12(1)通过计算,判断 AD2与 ACCD 的大小关系;(2)求 ABD 的度数 .解:(1) AD=BC ,BC= ,5-12AD= ,CD=1- ,5-12 5-12 =3- 52AD 2=ACCD.(2)AD=BC ,AD2=ACCD,BC 2=ACCD,即 .BCAC=CDBC又 C= C, BCD ACB, =1, DBC= A,ABAC=BDBCDB=CB=AD , A= ABD, C= BDC.设 A=x,则 ABD=x, DBC=x, C=2x.x+ 2x+2x=180,解得 x=36. ABD=36.第 3 课时 相似三角形的判定定理 3知识要点基础练知识点 1 两角分
17、别相等的两个三角形相似1.如图,点 D 在 BC 上, ABC 和 ADE 均为等边三角形, AC 与 DE 相交于点 F,则图中相似三角形有 (B)13A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对2.如图, D 是 AC 上一点, DE AB, B= DAE.求证: ABC DAE.证明: DE AB, CAB= EDA. B= DAE, ABC DAE.知识点 2 直角三角形相似的判定3.在 ABC 和 A1B1C1中, A= A1=90,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是 (D)A. B= B1 B.ABA1B1= ACA1C1C. D.ABA1B1= BCB1C1 ABB1C1=
18、 ACA1C14.如图, ACB= ADC=90,AC= ,AD=2.当 AB= 3 或 3 时, ABC 与 ACD 相似 . 6 25.在 Rt ABC 中, C=90,AB=5,BC=3;在 Rt ABC中, C=90,AB=15,BC=12.试判断这两个三角形是否相似,并说明理由 .解:相似 .理由: C=90,AB=5,BC=3,AC= 4, ,ACBC=412=13,ABAB=515=13 ,且 C= C=90,ACBC= ABAB14 ABC BAC.综合能力提升练6.如图,在 ABC 中, B=70,AB=4,BC=6,将 ABC 沿图示中的虚线 DE 剪开,剪下的三角形与原三
19、角形相似的有 (C)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个7.如图,已知1 =2,欲证 ADE ACB,可补充条件 (D)A. B= C B.DE=ABC. D= E D. D= C8.如图,若1 =2 =3,则图中相似的三角形有 (B)A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对9.在 ABC 与 ABC中,有下列条件:(1) ;(2) ;(3) A= A;(4)ABAB= BCBC BCBC= ACAC C= C.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断 ABC ABC的共有 (C)A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组10.如图, BAD= C,DE AB,下列判断中错
20、误的是 (C)15A. ABD CBAB. ADE ACDC. ABD DAED. ABD CDE11.如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以 C,D,E 为顶点的三角形与 ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是 (B)A.(6,0) B.(6,3)C.(6,5) D.(4,2)12.如图,在 Rt ABC 中, C=90,AB=25,AC=24,E 是 AC 上一点, AE=15,ED AB,垂足为 D,则 AD 的长为 14.4 . 13.边长为 2 的正方形 ABCD 中 E 是 AB 的中点,点 P 在射线 DC 上从点 D 出发以每秒
21、 1 个单位长度的速度运动,过点 P 作 PF DE,当运动时间为 1 或 秒时,以 P,F,E 为顶点的三角形52与 AED 相似 . 1614.如图,已知 D 为 ABC 内一点, E 为 ABC 外一点,且1 =2,3 =4 .求证: ACB= DEB.证明: 1 =2,3 =4, ABD CBE, .ABBC=BDBE 1 =2, 1 + DBC=2 + DBC, ABC= DBE, ABC DBE, ACB= DEB.15.如图,已知 AB DB 于点 B,CD DB 于点 D,AB=6,CD=4,BD=14,在 DB 上取一点 P,使以C,D,P 为顶点的三角形与以 P,B,A 为
22、顶点的三角形相似,求 DP 的长 .解: AB DB,CD DB, D= B=90.设 DP=x,当 DPAB=CDPB 时, PDC ABP, ,解得 DP=2 或 12;x6= 414-x当 DPPB=CDAB 时, PCD PAB, ,解得 DP=5.6.x14-x=46综上, DP=5.6 或 2 或 12.16.(衢州中考)如图, AB 为半圆 O 的直径, C 为 BA 延长线上一点, CD 切半圆 O 于点 D,连接 OD.作BE CD 于点 E,17交半圆 O 于点 F.已知 CE=12,BE=9.(1)求证: COD CBE;(2)求半圆 O 的半径 r 的长 .解:(1)
23、CD 切半圆 O 于点 D,CD OD, CDO=90.BE CD, E=90= CDO.又 C= C, COD CBE.(2)在 Rt BEC 中, CE=12,BE=9,BC= =15.CE2+BE2 COD CBE, ,ODBE=OCBC即 ,解得 r= .r9=15-r15 458拓展探究突破练17.正方形 ABCD 边长为 4,点 M,N 分别是 BC,CD 上的两个动点,当 M 点在 BC 上运动时,保持AM 和 MN 垂直,设 BM=x.(1)证明:Rt ABMRt MCN;(2)当点 M 运动到什么位置时 Rt ABMRt AMN,求 x 的值 .18解:(1)在正方形 ABCD 中, AB=BC=CD=4, B= C=90.AM MN, AMN=90. CMN+ AMB=90.在 Rt ABM 中, MAB+ AMB=90, CMN= MAB. Rt ABMRt MCN.(2) B= AMN=90, 要使 Rt ABMRt AMN,必须有 ,AMMN=ABBM由(1)知 ,BM=MC ,AMMN=ABMC 当点 M 运动到 BC 的中点时,Rt ABMRt AMN,此时 x=2.
