1、1大题精做 15 函数与导数：极值点不可求与构造2019厦门三中已知函数 ln1fxax， R（1）讨论 fx的极值；（2）若 exa对任意 0,x恒成立，求实数 a的取值范围【答案】 （1）当 0时， f无极值；当 0a时， fx有极大值 ln1a，无极小值；（2） a【解析】 （1）依题意 1fxx，当 0a时 ， 0f， f在 ,上单调递增，无极值；当 时， 1axf，当 1xa时， 0， f在 ,1a上单调递增；当 时， fx， fx在 ,上单调递减，所以 1ln1yfa极 大 值 ，无极小值综上可知，当 0a时， fx无极值；当 0a时， fx有极大值 ln1a，无极小值（2）原不等
2、式可化为 ln1ln1eexx，记 ln10Fxa，只需 max0F，可得 1exFxa 当 0a时， ， 1ex，所以 ， 在 0,上单调递增，所以当 0x时，x，不合题意，舍去当 0a时， 21exaFx，（i）当 时，因为 0，所以 21ex，所以 21e0xaFx，所以 Fx在 0,上单调递减，故当 0时， 0，符合题意（ii）当 1a时，记 21exgxa，所以 3e0gx， 在 0,上单调递减2又 01ga，11e0aga，所以存在唯一 0,x，使得 0gx当 0时， 0gx，从而 21eaFx，即 Fx在 0,上单调递增，所以当 0时， 0x，不符合要求，舍去综上可得， 1a12
3、019黄山一模已知函数 221lnexfxax， （ e为自然对数的底数） （1）当 ea时，求曲线 y在点 ,f处的切线方程；（2）证明：当 时，不等式 3221lnexaxx成立322019榆林一模已知函数 2fx（1）设 lngxfx，求 g的最大值及相应的 x值；（2）对任意正数 恒有 1lnfxm，求 的取值范围32019张家口期末已知函数 2ln0fxaxa（1）若 0x，使得 23fxa恒成立，求 的取值范围（2）设 1,Py， 2,Qy为函数 fx图象上不同的两点， PQ的中点为 0,Mxy，4求证： 120fxffx1 【答案】 （1） 0y；（2）见解析5【解析】 （1）由
4、题意知，当 ea时， 221lnexfx，解得 e0f，又 2lnexfx ， 0k，即曲线 yf在点 e,f处的切线方程为 0y（2）证明：当 a时，得 22eax，要证明不等式 321lnxx成立，即证 3221elnexxx成立，即证 2lee成立，即证 221ex成立，令 21gx， ln0h，易知， 1egx，由 21lnh，知 x在 0,e上单调递增， e,上单调递减， e1hx，所以 gx成立，即原不等式成立2 【答案】 （1）当 x时， gx取得最大值 10g；（2） 1m【解析】 （1） 2f， fx， 2 32lnln1lngxfxxx，则221616xx， g的定 义域为
5、 0,，20，当 01x时， gx；当 1x时， gx；当 1x时， 0gx，因此 g在 ,上是增函数，在 ,上是减函数，故当 1x时， x取得最大值 10g（2）由（1）可知，22211ffxxx，不等式 1lnfxfxm可化为 lnmxx因为 0，所以 2（当且仅当 1取等号） ，设 1xs，则把式可 化为 2lnssm，即 2l1s（对 2s恒成立） ，令 h，此函数在 ,上是增函数，所以 h的最小值为 0h，于是 ln0m，即 13 【答案】 （1） ,3a；（2）见解析6【解析】 （1） 23fxa恒成立，即 230fxa恒成立，令 gxf， 1xagx，由于 012a，则 在 0,1单调递减，在 ,单调递增，故 234gxa，解得 1,3a（2）证明：因为 0,Mxy为 PQ的中点，则 120x，故 0 120122fxaa，2 12 1121112 22 lnlnlnxxaxaffxxax 1212lnax，故要证 120fffxx，即证122lx，由于 0a，即证122l不妨假设 12x，只需证明 122lnx，即1212lnx设 12tx，构造函数 l1tht， 2 01th，则 10ht，则有1212lnx，从而 120fxffx7
