1、1单元质检卷八 立体几何( A)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.(2019 届广东湛江调研测试,10)设 m、 n 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A. =n ,m ,m m nB. , =m ,m nn C.m n,m ,n D.m ,n m n2.(2019 届山东青岛调研,11)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 为棱 BB1的中点,用过点 A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )3.(2019 甘肃师大附中期中,8)某几何体的三视图如下
2、图所示,数量单位为 cm,它的体积是( )A. cm3 B. cm32732 92C. cm3 D. cm3932 2724.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,平面 过直线 BD, 平面 AB1C, 平面 AB1C=m,平面 过直线A1C1, 平面 AB1C, 平面 ADD1A1=n,则 m,n 所成角的余弦值为 ( )A.0 B.12C. D.22 3225.(2019 届湖南桃江一中期中,5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A.25 B.26 C.32 D.366.已知某三棱锥的三视图如图所示,图中的 3 个直角三角形的直角边长度已经标出,则在该三棱锥中,
3、最短的棱和最长的棱所在直线所成角的余弦值为( )A. B.13 55C. D.12 23二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.(2019 广东深圳实验中学、珠海一中等六校联考,15)在三棱锥 D-ABC 中, DC底面ABC,AD=6,AB BC 且三棱锥 D-ABC 的每个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的表面积为 . 8.如图,在三棱锥 S-ABC 中, SA=SB=SC,且 ASB= BSC= CSA= ,M、 N 分别是 AB 和 SC 的中点 .则异 2面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值为 ,直线 SM 与平面 SAC 所成角的大小为 .三、解答
4、题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB平面 ABC, SAB 是等边三角形,已知 AC=2AB=4,BC=2.53(1)求证:平面 SAB平面 SAC;(2)求二面角 B-SC-A 的余弦值 .10.(15 分)(2019 湖南师范大学附中模拟,18)如图, =l ,二面角 -l- 的大小为 ,A ,B ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1,点 B 在直线 l 上的射影为 B1.已知 AB=2,AA1=1,BB1=.2(1)若 = 120,求直线 AB 与平面 所成角的正弦值;(2)若 = 90,求二面角 A1-AB-B1的余弦值
5、.11.(15 分)(2019 届江苏徐州期中)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB=1,AD=2, ABC= ,四边形 ACEF 3为矩形,平面 ACEF平面 ABCD,AF=1,点 M 在线段 EF 上运动,且 = .EM EF4(1)当 = 时,求异面直线 DE 与 BM 所成角的大小;12(2)设平面 MBC 与平面 ECD 所成二面角的大小为 0= =- ,SM BN SMBN-225 105所以异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值为 ,平面 SAC 一个法向量为 =(0,2,0),则由 cos= = 得 = ,即直线 SM 与平面 SAC 所成角大小为 .SMSB222
6、22 SMSB 4 49.(1)证明在 BCA 中, AB= 2,CA=4,BC=2 ,5AB 2+AC2=BC2,故 AB AC.又平面 SAB平面 ABC,平面 SAB平面 ABC=AB,AC 平面 SAB.又 AC平面 SAC,所以平面 SAB平面 SAC.(2)解如图建立空间直角坐标系, A(0,0,0),B(2,0,0),S(1,0, ),C(0,4,0),3=(1,-4, ), =(-2,4,0), =(0,4,0),CS 3 BC AC7设平面 SBC 的法向量 n=(x,y,z),由 则 n= .-2x+4y=0,x-4y+ 3z=0, (2,1,233)设平面 SCA 的法向
7、量 m=(a,b,c),由 4b=0,a-4b+ 3c=0,m= (- ,0,1), cos=- ,321919 二面角 B-SC-A 的余弦值为 .2191910.解 (1)如图,过点 A 作平面 的垂线交于点 G,连接 GB、 GA1,因为 AG ,所以 ABG 是 AB 与 所成的角 .在 Rt GA1A 中, GA1A=60,AA1=1,AG= .32在 Rt AGB 中, AB=2,AG= ,sin ABG= ,故 AB 与平面 所成的角的正弦值为 .32 34 34(2)如图,建立坐标系,则 A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B( ,1,0).2在 AB 上
8、取一点 F(x,y,z),则存在 tR,使得 =t ,即( x,y,z-1)=t( ,1,-1),AFAB 2 点 F 的坐标为( t,t,1-t).2要使 ,须 =0,A1F AB A1F AB即( t,t,1-t)( ,1,-1)=0,2t+t-(1-t)=0,解得 t= ,2 214 点 F 的坐标为 , , ,24 1434 = , , .A1F24 1434设 E 为 AB1的中点,则点 E 的坐标为 0, , .1212 = ,- , .EF24 14148又 = ,- , ( ,1,-1)= - - =0,EFAB24 1414 2 121414 ,EFAB A1FE 为所求二面
9、角的平面角 .又 cos A1FE= = = = = ,A1FEF|A1F|EF|(24,14,34)(24,-14,14)216+116+916216+116+11618-116+3163414 13 33 二面角 A1-AB-B1的余弦值为 .3211.解 (1)在 ABC 中, AB=1,BC=AD=2, ABC= ,则 AC= ,所以 AB2+AC2=BC2,即 BAC=90.因为四 3 3边形 ACEF 为矩形,所以 FA AC,因为平面 ACEF平面 ABCD,平面 ACEF平面 ABCD=AC,FA平面ACEF,所以 FA平面 ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,
10、0,0),B(1,0,0),C(0, ,0),D(-1, ,0),E(0, ,1),F(0,0,1),3 3 3当 = 时, = ,12 EM12EF所以 M 0, ,1 .32所以 = -1, ,1 , =(1,0,1),BM32 DE所以 =(1,0,1) -1, ,1 =0,所以 ,即异面直线 DE 与 BM 所成角的大小为 90.BMDE32 BMDE(2)平面 ECD 的一个法向量 n1=(0,1,0),设 M(x0,y0,z0),由 = (0,- ,0)=(0,- ,0)EM 3 3=(x0,y0- ,z0-1),得 即 M(0, (1- ),1),所以 =(-1, (1- ),1), =(-3x0=0,y0= 3(1- ),z0=1, 3 BM 3 BC1, ,0).3设平面 MBC 的法向量 n2=(x,y,z),因为n2 BC,n2 BM,9即 -x+ 3y=0,-x+ 3(1- )y+z=0,取 y=1,则 x= ,z= ,3 3所以平面 MBC 的一个法向量 n2=( ,1, ),3 3因为 0 , 2所以 cos = = .|n1n2|n1|n2| 14+3 2因为 0 1,所以 cos .77,12
