1、1陕西省西安市长安区第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期寒假学情检测试题（理科实验班）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足（1i） z=1+i，则| z|=（ ）A1 B C D22cos10sin70cos80sin20=（ ）A B C D3函数 y=f（ x）为可导函数，“方程 =0 有解”是“可导函数 有极值”)(xf )(xfy的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（ ）A B C D
2、5.已知向量 ，且 ，则 （ ）(1,)3,2)am， =()ab+m（A）8 （B）6 （C）6 （D）86 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA平面ABC， PA=AB=2， AC=4，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A8 B12 C20 D247已知 x、 y 满足，则 4x y 的最小值为（ ）A4 B6 C12 D168. 曲线 上的点到直线 的最短距离是（ ）)12ln(y 082yA B C D0555329设 ，则 展开式的常
3、数项为（ ）0sindxa61xaA20 B20 C160 D24010、函数 1yx的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和)42(sinxy等于（ ）A2 B 4 C 6 D811设 A、 B、 P 是双曲线 （ a0， b0）上不同的三个点，且 A、 B 连线经过坐标原点，若直线 PA、 PB 的斜率之积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D12定义在 R 上的函数 f（ x）， 是其导函数，且满足 f（ x）)(f+ 2， f（1）=2+ ，则不等式 ex f（ x）4+2e x的解集为（ ）)(xf e4A（，1） B（1，+） C（，2） D（2，+）二、填空题（共 4 小
4、题，每小题 5 分，满分 20 分）13已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， f（ x）=2 x，则 f（log 4 ）的值为 14. _d2115过点 H（1，1）作抛物线 ： x2=4y 的两条切线 HA、 HB，切点分别为 A， B，则以线段 AB 为直径的圆方程为 16在 Rt ABC 中， A= ， AB=2， AC=2 ，线段 EF 在斜边 BC 上运动，且 EF=1，设 EAF= ，则 tan 的取值范围是 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （本小题满分 12 分）在 ABC中，已知 a、b、 c分别是三内角 A、 B、 C所对应的边长,且 2
5、2.bcab（）求角 的大小；3（）若 222sinisinABC，试判断ABC 的形状并求角 B的大小.18（12 分）在多面体 ABCDE 中，平面 ABC平面 BCE，四边形 ABED 为平行四边形，AB=AC=BC=2， CE=1， BE= ， O 为 AC 的中点（1）求证： BO AE；（2）求平面 ABC 与平面 ACD 所成锐二面角的大小19 （12 分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了
6、50 人，将调查情况进行整理后制成如表：年龄（岁） 15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4（）完成被调查人员的频率分布直方图；（）若从年龄在55，65） ，的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调查，记选中的 2 人中赞成“车辆限行”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望20已知椭圆 C： （ a b0） ，其焦距为 2，点 P（1， ）在椭圆 C 上12yax（）求椭圆 C 的标准方程；（）是否存在与椭圆 C 交于 A， B 两点的直线 l： y=mx+t（ mR） ，使得 =0 成立
7、？若存在，求出实数 t 的取值范围，若不存在，请说明理由421（12 分）已知函数 g（ x）=ln x， f（ x）= ag（ x）+ 2（ a+1），（ aR）1（1）求函数 f（ x）的单调区间；（2）将函数 f（ x）解析式中的 g（ x）改为 g（ x）的反函数得函数 h（ x），若 x0 时，h（ x）0求 a 的取值范围22选修题（10 分）在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（ + ）= ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）（1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（2）曲线 C 交 x 轴于 A、
8、B 两点，且点 A 的横坐标小于点 B 的横坐标， P 为直线 l 上的动点，求 PAB 周长的最小值5参考答案一、选择题1A【解析】由（1i） z=1+i，得 = ，则| z|=1故选：A2B【解析】cos10sin70cos80sin20=sin80cos20cos80sin20=sin（8020）=sin60= 故选：B3B【解析】“函数 y=f（ x）有极值”“方程 f（ x）=0 有解”，反之不成立“方程 f（ x）=0 有解”是“函数 y=f（ x）有极值”的必要不充分条件故选：B4A【解析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送
9、丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙 送丁甲、乙将贺年卡送给同一人的概率 p= 故选 A5C【解析】四边形 ABCD 为平行四边形，点 M、 N 满足 ， ，根据图形可得： = + = ，6= = ， = ， = （ ）= 2 ，2= 2 2，= 2 2 ，| |=6，| |=4， = 2 2=123=9故选：C6C【解析】三棱锥 O ABC 底面 ABC 的顶点在半径为 的球 O 表面上，且AB= ， AC= ， BC=2， OA=OB=OC=AB=AC= ， OC2+OB2=BC2， AB2+AC2=BC2， BAC=
10、BOC=90，取 BC 中点 D，连结 AD， OD，则 AD BC， OD BC，AD=OD= = =1， AD2+OD2=AO2， OD AD， BC AD=D， OD平面 ABC，三棱锥 O ABC 的体积为：VO ABC= = 故选：C7B8.B79D【解析】令 x=1 则有 1+a=2，得 a=1，故二项式为（ x+ ）（2 x ） 5故其常数项为2 2C53+23C52=40故选：D10.D11A【解析】根据双曲线的对称性可知 A， B 关于原点对称，设 A（ x1， y1）， B（ x1， y1）， P（ x， y），则 ， kPAkPB= = = ，该双曲线的离心率 e= =
11、故选：A12B【解析】令 g（ x）=e xf（ x）2e x4， g（ x）=e xf（ x）+e xf（ x）2e x=exf（ x）+ f（ x）2； f（ x）+ f（ x）2； g（ x）0； g（ x）在 R 上单调递增； ； x1 时， g（ x）0；原不等式的解集为（1，+）故选 B二、填空题13 3【解析】 f（ x）是 R 上的偶函数，8 f（ x）= f（ x），当 x0 时， f（ x）=2 x， f（log 4 ）= f（log 49）= f（log 23）=3，故答案为 314. 2ln15 【解析】设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），抛物线 x2=4
12、y， y= x，过点 A 的切线方程为 y y1= x1（ x x1），即 x1x2 y2 y1=0H（1，1）代入可得 x12 y1+2=0，同理 x22 y2+2=0， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）都满足方程 x2 y+2=0，即为直线 AB 的方程，与抛物线 ： x2=4y 联立，可得 x22 x4=0， AB 的中点坐标为（1， ），|AB|= =5以线段 AB 为直径的圆方程为 ，故答案为 16 ， 【解析】如图建立直角坐标系，设 BF=k， k0，3 B=60， F（2 ， ）， E（ ，）tan EAB= ，tan FAB= ，tan =tan（ EAB FAB）
13、= ；9 k0，3 ，tan 的取值范围是 故答案为 三、解答题17解：（）在ABC 中，由余弦定理得： 22cosabA22cosbcaA，2 分又 22.bcab 1os,2A5 分 0A 36 分（） 222sinisinBC，由正弦定理得2244abcR8 分即: abc 故ABC 是以角 C 为直角的直角三角形10 分又,36A12 分18证明：（1） AB=AC=BC=2，又 O 为 AC 中点， BO AC又 ， BC2+CE2=BE2， BC CE又平面 ABC平面 BCE，且平面 ABC平面BCE=BC， CE平面 ABC CE BO，又 CE AC=C， BO平面 ACE
14、AE平面 ACE， BO AE（2）以 C 为原点， CB 为 x 轴， CE 为 y 轴，建立空间直角坐标系 C xyz，则由（1）知， 是平面 ABC 的平面角，设平面 ACD 的法向量为 =（ x， y， z），10， ，取 x=1，得设平面 ABC 与平面 ACD 所成锐二面角为 ，则 ，平面 ABC 与平面 ACD 所成锐二面角的大小为 19解：（）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（）由表知年龄在55，65）内的有
15、 5 人，不赞成的有 2 人，因此 X=0，1，2则 P（ X=k）= ，可得 P（ X=0）= ， P（ X=1）= ， P（ X=0）= 可得 X 的分布列：X 0 1 2PE（ X）=0+ = 20解：（1）椭圆 C： + =1（ a b0）焦点在 x 轴上，且过点 ，设 PF1F2内切圆的半径为 r，点 P 的坐标为（ x0， y0），则 PF1F2重心 G 的坐标为 ，11 IG F1F2，| y0|=3r由 PF1F2面积可得 ） r= ，即 a=2c， ，则解得 ，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为（2）设 M（ x1， y1）， A（ x2， y2）， B（ x3， y3）则切线
16、MA， MB 的方程分别为， 点 M 在两条切线上， ， ，故直线 AB 的方程为 又点 M 为直线 x y=4 上， y1=x14即直线 AB 的方程可化为 ，整理得（3 x+4y） x1=16y+12，由 解得 ，因此，直线 AB 过定点 21解：（1） g（ x）=ln x， f（ x）= ag（ x）+ 2（ a+1）= alnx+ 2（ a+1），（ aR）； f（ x）定义域为（0，+），且 ；当1 a0 时， f（ x）0，即 f（ x）的单调减区间为（0，+）；12当 a0 时， f（ x）的单调增区间为 ，单调减区间为 ；当 a1 时， f（ x）的单调增区间为 ，单调减区间
17、为 ；（2）由题意得 ， x0 时， h（ x）0， h（1）0，则 a（e1）1，即 ；则由 ，得 ，即 ， x（0，+）；设 ，则 ；令 u（ x）=0，解得 x=1 或 x= （0，+）舍去；u（ x）0 时， x（0，1）； u（ x）0 时， x（1，+）； u（ x） min=u（1）= ， ，解得 a ；故 a 的取值范围是 ，+）四、选修题22解：（1）直线 l 的极坐标方程为 cos（ + ）= ，由直线 l 的极坐标方程，得 = ，即 cos sin =1，直线 l 的直角坐标方程为 x y=1，即 x y1=0，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），13由曲线 C 的参数方程得 C 的普通方程为：（ x5） 2+y2=1（2）由（1）知曲线 C 表示圆心（5，0），半径 r=1 的圆，令 y=0，得 x=4 或 x=6 A 点坐标为（4，0）， B 点坐标为（6，0）作 A 关于直线 l 的对称点 A1得 A1（1，3）由题设知当 P 为 A1B 与 l 的交点时， PAB 的周长最小， PAB 周长的最小值为：| AP|+|PB|+|AB|=|A1B|+|AB|=
