1、2015届吉林省吉林市高三第一次摸底考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 计算： =（ ） A B C D 答案： B 试题分析： =-1+ i 考点：复数的运算 一个函数 f（ x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长 a， b， c都在 f（ x）的定义域内，就有 f（ a）， f（ b）， f（ c）也是某个三角形的三边长，则称 f（ x）为 “三角保型函数 ”，给出下列函数： f（ x） = ， ； f（ x） =2x； f（ x） = lgx，其中是 “三角保型函数 ”的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：任给三角形，设它的三边长分别为 a， b， c，则 a+b
2、c，不妨假设ac， bc，对于 ， f（ x） ，由 a+b c，可得 ，两边开方得 ，因此函数 f（ x） 是 “保三角形函数 ”对于 ， 3， 3， 5可作为一个三角形的三边长，但 ，不存在三角形以 为三边长，故 不是 “保三角形函数 ”对于 ， f（ x） =2x，由于 f（ a） +f（ b） =2（ a+b） 2c=f（ c），所以 f（ x） =2x是 “保三角形函数 ”对于 ， f（ x） =lgx， 1， 2， 2可以作为一个三角形的三边长， 但 lg1=0，不 能作三角形边长，故 f（ x） =lgx不是 “保三角形函数 ”故选： B 考点：函数的值 已知双曲线 的左顶点与抛
3、物线 的焦点的距离为 4，的焦距是且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（ -2， - 1），则双曲线的焦距是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（ -2，-1），即点（ -2， -1）在抛物线的准线上，又由抛物线 y2=2px的准线方程为 x=-，则 p=4，则抛物线的焦点为（ 2， 0）；则双曲线的左顶点为（ -2， 0），即a=2；点（ -2， -1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为 ，由双曲线的性质，可得 b=1；则 c= ，则焦距为 2c= ；故选 A 考点： 1双曲线的简单性质； 2直线与圆锥曲线的关系 如
4、图，平行四边形 ABCD 中， ，点 M 在 AB 边上，且 ，则 等于（ ） A B C D 1 答案： D 试题分析： ， 故选 D 考点： 1向量在几何中的应用； 2平面向量数量积的运算 已知等差数列 的公差为 2，若前 17 项和为 ，则 的值为（ ） A -10 B 8 C 4 D 12 答案： C 试题分析：解： 等差数列 an的前 17项和为 S17=34 a1+a17=4 a1+a17=2a9 a9=2，等差数列 an的前 17项和为 S17=34 a12=a9+（ 12-9） 2， a12=8，故答案：选 B 考点： 1等差数列的前 n项和； 2等差数列的通项公式 已知 ，则
5、 的值为（ ） A B C -1 D 1 答案： D 试题分析： 又 则的值为 1故选 D 考点： 1运用诱导公式化简求值； 2分段函数； 3函数的值 已知曲线 在点 P（ 1， 4）处的切线与直线 l平行且 距离为 ，则直线 l的方程为（） A 或 B C 或 D以上都不对 答案： C 试题分析：因为曲线 ，所以 ，所以在点 P（ 1， 4）处的切线的斜率为 -4，方程为 4x+y-8=0，与直线 l平行且距离为 的直线方程为 4x+y+c=0，则 ，所以 c=9或 -25，因此直线的方程为 4x+y+9=0或 4x+y-25=0，故选 C 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 将函数 的图
6、象向左平移 个单位，再向下平移 1个单位，得到函数 g（ x）的图象，则 g（ x）的式为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数，再向下平移 1个单位，得到函数的图象，则 g（ x）的式为 故选B 考点：函数 y=Asin（ x+）的图象变换 已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，视图可以是，则该几何体的俯视图可以是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意可知当俯视图是 C时，即每个视图是变边长为 1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是 1，注意到题目体积是 ，知其是立方体的一半，可知选 A 考点：简
7、单空间图形的三视 图 某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： C 试题分析：第一次运行 S= ， k=2；第二次运行 S= ， k=3；第三次运行S= ， k=4；第四次运行 S= ， k=5故选 C 考点：程序框图 已知条件 或 ，条件 q: ，且 q是 p的充分而不必要条件，则 a的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 p： x 1或 x -3，条件 q： x a，且 q是 p的充分不必要条件，得出： x a是 x 1或 x -3的子集，所以 a1故答案：为： A 考点：命题的真假判断与应用 若 ， ，则正确的是（ ）
8、 A B C D 答案： D 试题分析： = x|x 1， 考点：集合的交集、子集、补集运算 填空题 若动直线 x =a 与函数 和 的图像分别交于M ， N 两点，则 的最大值为 答案： 试题分析： ，所以则 时， 的最大值为： 故答案：为： 考点： 1二倍角的余弦； 2二倍角的正弦； 3三角函数的最值 已知各项都为正数的等比数列 ，公比 q=2，若存在两项 ，使得，则 的最小值为 答案： 试题分析： 各项均为正数的等比数列 的公比 q=2， ， ， 同理 ， ， ， m+n=6（ m N*， n N*）， （当且仅当 m=2， n=4时取 “=”） 考点： 1基本不等式； 2等比数列的性质
9、 已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，有下列四个命题： 若 ，则l m ； 若 ，则 l m； 若 l m，则 ； 若 l m，则 其中正确命题序号是 答案： 试题分析：直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，当 有 l m，故 正确；当 有 l m或 l与 m异面或相交，故 不正确；当 l m有 ，故 正确；当 l m有 或 ，故 不正确；综上可知 正确，故答案：为： 考点：平面的基本性质及推论 已知 x， y满足不等式组 ，则目标函数 的最大值为_ 答案： 试题分析：由约束条件 作可行域如图， 由 z=2x+y，得 y=-2x+z，由图可知，当直线 y=-2x+z过可行域内的点 B（ 2，
10、 2）时，直线在 y轴上的截距最大，即 z最大 z=22+2=6故答案：为： 6 考点：简单线性规划 解答题 已知数列 是公差大于零的等差数列，数 列 为等比数列，且（ 1）求数列 和 的通项公式 （ 2）设 ，求数列 前 n项和 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由已知得： ，由此能求出数列 和 的通项公式（ 2）利用裂项求和法能求出数列 前 n项和 试题：解：（ 1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 由已知得： ，解得： 因为 ，所以 ， 即 （ 2） 考点： 1数列的求和； 2等差数列的性质 已知 中， a， b， c 为角 A， B， C 所对的边， （ 1）求 cos
11、A的值； （ 2）若 的面积为 ，求 b ， c 的长 答案：（ 1） ；（ 2） 或 试题分析：（ 1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由 sinB不为 0求出 cosA的值即可；（ 2）由 cosA的值求出 sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与 sinA的值代入求出 bc=6，再利用余弦定理列出关系式，把 a， cosA的值代入，利用完全平方公式变形，把 bc的值代入求出 b+c=5，联立求出 b与 c的值即可 试题：解：（ 1）由正弦定理得： （ 2）由题意得： ，即： 由余弦定理得： 联立上述两式，解得： 或 考点：正弦定理
12、在某大学自主招生考试中，所有选报 II类志向的考生全部参加了数学与语文两个科目的考试，成绩分为 A， B， C， D， E五个等级，某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图，已知该考场中数学科目成绩为 B的考生有 10人 （ 1）求该考场考生中语文科目中成绩为 A的人数； （ 2）若等级 A， B， C， D， E分别对应 5分， 4分， 3分， 2分， 1分，求该考场考生数学科目平均分； （ 3）已知本考场考生中，恰有 2人的两科成绩均为 A，在至少一科成绩为 A的考生中，随机抽取 2人进行访谈，求这 2人的两科成绩均为 A的概率 答案：（ 1） 3；（ 2） 2 9；（ 3） 试题分析：（
13、 I）根据 “数学与逻辑 ”科目中成绩等级为 B的考生人数，结合样本容量 =频数 频率得出该考场考生人数，再利用频率和为 1求出等级为 A的频率，从而得到该考场考生中 “阅读与表达 ”科目中成绩等级为 A的人数（ II）利用平均数公式即可计算该考场考生 “数学与逻辑 ”科目的平均分（ 3）通过列举的方法计算出选出的 2 人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为 A 的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A的概率 试题：解：（ 1）因为数学科目的 成绩为 B的考生有 10人， 100 25=40 所以语文成绩为 A的人数为： （ 2） 等级为 A， B
14、， C， D， E的人数分别为 3， 10， 15， 4， 8，所以考生中数学科目平均分为 （ 3）因为两科考试中，共有 6人得分等级为 A，又恰有两人的两科成绩等级均为 A， 所以还有 2人只有一个科目得分为 A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是 A的同学， 则在至少一科成绩等级为 A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为： =甲，乙 ， 甲，丙 ， 甲，丁 ， 乙，丙 ， 乙，丁 ， 丙，丁 ，一共有 6个基本事件 （ 11分） 设 “随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B，所以事件 B中包含的基本事件有 1个，则 P（ B） = 考点：
15、1众数、中位数、平均数； 2古典概型及其概率计算公式 一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中 M ， N 分别是 AF、 BC 的中点 （ 1）求证： MN 平面 CDEF； （ 2）求多面体 A-CDEF的体积 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE-BCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计 算出三棱柱中各棱长的值 （ 1）取 BF的中点 G，连接 MG、 NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论 （ 2）多面体 A-CDEF的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积 试
16、题：解（ 1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且 AB=BC=BF=4， DE=CF= ， ，连结 BE， M在 BE上，连结 CE EM=BM， CN=BN，所以 ，所以 平面 （ 2）取 DE的中点 H AD=AE， AH DE， 在直三棱柱 ADE-BCF中， 平面 ADE 平面 CDEF， 平面 ADE平面 CDEF=DE AH 平面 CDEF 多面体 A-CDEF是以 AH为高，以矩形 CDEF为底面的棱锥，在 ADE中，AH= S矩形 CDEF=DE EF= ， 棱锥 A-CDEF的体积为 考点： 1简单空间图形的三视图； 2棱柱、棱锥、棱台的
17、体积； 3直线与平面平行的判定 已知椭圆 E： 的离心率 ，并且经过定点（ 1）求椭圆 E的方程； （ 2）问是否存在直线 y=-x+m，使直线与椭圆交于 A， B两点，满足，若存在求 m值，若不存在说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由已知条件推导出 且 ，由此能求出椭圆E的方程（ 2）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），由 得，联立方程组利用根与系数的关系求解即可得出 m的值 试题：解（ 1）由题意： 且 ，又 解得： ，即：椭圆 E的方程为 （ 1） （ 2）设 （ *） 所以 由 ， 得 又方程（ *）要有两个不等实根， 所以 考点：直线与圆锥曲线的综
18、合问题 已知函数 （ 1）求函数 f（ x）的单调增区间 （ 2）对任意 ，使得 f（ 1）是函数 f（ x）在区间 上的最大值，求实数 b的取值范围 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）求导数，利用导数大于 0，求函数 f（ x）的单调增区间；（ 2）无论 ，还是 ，只需 f（ 1） f（ b）就能使得 f（ 1）是函数 f（ x）在区间 1， b（ b 1）上的最大值，即可求实数 b的取值范围 试题：解：（ 1） 当 ， ，函数递增区间是 当 ，递增区间是 当 ，递增区间是 （ 2）因为 ，所以 所以无论 ，还是 ，只需 就能使得 是函数在区间 上的最大值， 化简得 令 所以 的取值范围是 考点： 1利用导数求闭区间上函数的最值； 2利用导数研究函数的单调性
