1、2015届四川省成都市高中毕业班摸底测试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知向量 (5， -3)， (-6， 4)，则 ( ) A (1， 1) B (-1， -1) C (1， -1) D (-1， 1) 答案： D 试题分析：根据向量坐标运算法则， (5， -3) (-6， 4) (-1， 1)，选 D 考点：平面向量坐标运算 . 已知定义在 R上的函数 f(x)的周期为 4，且当 x (-1， 3时， f(x)，则函数 的零点个数是 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 答案： B 试题分析：由函数的周期为 4 画出 f(x)的草图如图，其中函数 y log6x递增且经过 (6，
2、 1)点 函数 g(x)的零点，即为 y f(x)与 y log6x的交点 结合图象可知，它们共有 5个交点，选 B 考点：函数的周期性，分段函数，函数的零点 . 已知双曲线 (a 0， b 0)的一条渐近线与圆 相交于 A，B两点，若 |AB|=2，则该双曲线的离心率为 ( ) A 8 B 2 C 3 D 答案： C 试题分析：双曲线的一条渐近线方程为 ，因为圆心为 (3， 0)，半径为 3，由 |AB| 2，可知圆心到直线 AB的距离为 ，于是 ，解得于是 所以， ，选 C 考点：圆的方程，双曲线的渐近线，直线与双曲线的位置关系，弦长，双曲线的离心率 . 已知函数 ( 0)的图象与直线 y
3、 -2的两个相邻公共点之间的距离等于 ，则 的单调递减区间是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 最小值为 -2，可知 y -2与f(x)两个相邻公共点之间的距离就是一个周期，于是 ，即 2，即令 ， k Z，解得 x ，选 A 考点：三角函数恒等变形，三角函数的图象及周期、最值、单调性 . PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，一般情况下 PM2.5的浓度越大，大气环境质量越差 .右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某 10日内每天的 PM2.5浓度读数 (单位： )，则下列说法正确的是 ( ) A这 10日内甲、乙监测站读数的极差
4、相等 B这 10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大 C这 10日内乙监测站读数的众数与中位数相等 D这 10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 答案： C 试题分析：甲的极差是 98-43 55，乙的极差是 94-37 57，两者不相等， A错误； 甲的中位数是 74，乙的中位数是 68，甲的中位数较大， B错误； 乙的众数为 68，与中位数相同， C正确； 甲的平均数是 (43 63 65 72 73 75 78 81 86 98) 73.4 乙的平均数是 (37 58 61 65 68 68 71 77 82 94) 68.1，可知 D错误 考点：统计，茎叶图，极差，中位数，众数，平均
5、数 . 已知 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列说法正确的是 ( ) A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： C 试题分析：对于 A，当 时，可能有 ，故 A错误； 对于 B， 时，不能保证 a与 内任意的直线平行，故 B错误； 对于 C，垂直于同意平面的两条直线相互平行，故 C正确； 对于 D，当 时，可能有 ，故 D错误 考点：空间直线与平面的位置关系，平行的判定 . 已知实数 x， y满足 ，则 z 4x y的最大值为 ( ) A 10 B 8 C 2 D 0 答案： B 试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过 A(2， 0)点时， z 4x y取得最大值
6、为 8 考点：线性规划 . 计算 的结果是 ( ) A B 2 C D 3 答案： B 试题分析： ，选 B 考点：对数基本运算 . 已知命题 ，则 为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选 D 考点：全称命题的否定 . 设全集 1， 2， 3， 4，集合 1， 3， 4，则 等于 ( ) A 2， 4 B 4 C D 1， 3， 4 答案： A 试题分析：因为全集 1， 2， 3， 4，集合 1， 3，故 2， 4，于是 2， 4，选 A 考点：集合的概念及基本运算，并集、补集 . 填空题 已知 (a 0且 a1)是定义在 R上
7、的单调递减函数，记 a的所有可能取值构成集合 A； P(x， y)是椭圆 上一动点， 与点 P关于直线 y x 1对称，记 的所有可能取值构成集合 B，若随机的从集合 A， B中分别抽出一个元素 ，则 的概率是 _ 答案： 试题分析：由 (a 0且 a1)是定义在 R上的单调递减函数，知 A (0， 1) 对于椭圆 ，由于原点关于 y x 1的对称点为 (-1， 1) 所以，椭圆关于 y x 1的对称椭圆为 ， 在改椭圆上，可知 y1-1 -4， 4 于是 -1， 1，即 B -1， 1 【方法一】由 ，分别以 为横坐标和纵坐标， 可知点 ( )构成一个面积为 2的矩形 其中满足 的是图中阴影
8、部分，面积为 所以，满足 的概率是 【方法二】当 时，此事件发生的概率为 ，此时必有 当 时，此事件发生的概率为 ，此时 与 概率相等，各占 ，于是此时满足 的概率为 以上两事件互斥，且 -1， 0与 (0， 1的区间长度相等，故满足 的概率为考点：指数函数的单调性，轴对称图形，坐标的取值范围，几何概型 . 运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是 _ 答案： 试题分析：因为 第一次进入循环，运算后 S ， i 1 4 第二次进入循环，运算后 S ， i 2 4 第三次进入循环，运算后 S ， i 3 4 第四次进入循环，运算后 S ， i 44跳出循环 输出 S 考点：算法，框图，数列求和
9、，裂项法 . 当 时，函数 的最小值是 _. 答案： 试题分析：因为 ， ， 当且仅当 ，且 x 1，即 x 2时等号成立， 故函数 y的最小值为 3 考点：均值不等式求最值 . 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 _ 答案： 试题分析：该几何体 是一个直三棱柱，底面是等腰直角三角形 体积为 12 考点：三视图，几何体的体积 . 已知 ， ，则 _. 答案： 试题分析：因为 是锐角 所以 sin(-) sin 考点：同角三角函数关系，诱导公式 . 解答题 已知等差数列 的前 n项和为 ，且 (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 n项和 Tn. 答案： (1) ;(2)
10、 试题分析： (1)根据等差数列的性质以及 可以求出首项和公差，进而求得数列 的通项公式；（ 2）结合（ 1）可得 是一个等比数列，利用等比数列求和公式可以求得 Tn. 试题： (1)设公差为 d，则 3分 解得： 所以数列 的通项公式为 ; 6分 (2)由 (1)得 9分 12分 考点：等差数列，等比数列，通项公式，前 n项和公式 . 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知向量， ，且 (1)求角 B的大小； (2)求函数 的值域 . 答案： (1) ； (2) 试题分析： (1)由已知，利用向量的数量积，结合余弦定理可得角 B的大小； (2)利用 B的大小，得
11、到 的取值范围，进而可求得函数 f(x)的值域 . 试题： (1)由 ，得 根据余弦定理，有 4分 又因为 ，所以 ； 6分 (2)由 (1)得 8分 函数 的值域为 12分 考点：平面向量的数量积，余弦定理，三角函数的值域 . 某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为 200的样本 .统计数据如下： (1)已知该地区共有高二学生 42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？ (2)在 A， B， C， D， E， F六名学生中，仅有 A， B两名学生认为作业多 .如果从这六名学生中随机抽取两名，求
12、至少有一名学生认为作业多的概率 . 答案： (1)7650名； (2) 试题分析： (1)利用样本估计总体，可求得喜欢电脑游戏并认为作业不多的人数；(2)用列举法，并利用古典概型即可求得至少有一名学生认为作业多的概率 试题： (1) (名 ) 5分 (2)【方法一】从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有： A， B， A， C，A， D， A， E， A， F， B， C， B， D， B， E， B， F， C， D，C， E， C， F， D， E， D， F， E， F共 15个 7分 其中至少有一个学生认为作业多的事件有 A， B， A， C， A， D， A， E，A， F， B，
13、C， B， D， B， E， B， F共 9个 9分 即至少有一名学生认为作业多的概率为 . 12分 【方法二】 6名学生中随机抽取 2名的选法有 种， 7分 其中至少有一名学生认为作业多的选法有 9种， 9分 即至少有一名学生认为作业多的概率为 . 12分 【方法三】 6名学生中随机抽取 2名的选法有 种， 7分 其中没有人认为作业多的选法有 种 9分 即至少有一名学生认为作业多 的概率为 . 12分 考点：统计，随机抽样，用样本估计总体，古典概型 . 如图，已知 的直径 AB 3，点 C为 上异于 A， B的一点， 平面ABC，且 VC 2，点 M为线段 VB的中点 . (1)求证： 平面
14、 VAC； (2)若 AC 1，求直线 AM与平面 VAC所成角的大小 . 答案： (1)略； (2) 试题分析： (1)证明直线与平面垂直的关键是证明该直线与平面内两条相交直线都垂直； (2)求直线与平面所成角的关键是找出直线在平面内的射影，进而构造直角三角形，求出线面角 . 试题： (1) 平面 ， 平面 2分 点 C为 上一点，且 AB为直径 4分 又 平面 VAC， 平面 VAC； 6分 (2)如图，取 VC的中点 N，连接 MN， AN，则 MN BC 由 (1)得， BC 平面 VAC MN 平面 VAC MAN为直线 AM与平面 VAC所成的角 9分 直线 AM与平面 VAC所成
15、角的大小为 12分 考点：空间直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角及其计算 . 已知椭圆 ： (a b 0)经过 D(2， 0)， E(1， )两点 . (1)求椭圆 的方程； (2)若直线 与椭圆 交于不同两点 A， B，点 G是 线段 AB中点，点 O是坐标原点，设射线 OG交 于点 Q，且 . 证明： 求 AOB的面积 . 答案： (1) ； (2) 试题分析： (1)由已知 M是 PD的中点，利用 P点在圆上，可以求出 M的点轨迹方程为 ； (2)点 Q在 (1)中的椭圆上， G是 OQ的中点，利用直线与椭圆的关系及中点坐标公式，即可找到 k与 m的关系，并进一步求出三角形 AOB的
16、面积 . 试题： (1)由题意，得 ，解得 轨迹 的方程为 ； 5分 (2) 令 由 消去 y 得 6分 ，即 (1) 又由中点坐标公式，得 将 代入椭圆方程，有 化简得： (2) 9分 由 (1)(2)得 且 (3) 在 AOB中， (4) 12分 由 (2)(3)(4)可得 AOB的面积是 13分 考点：动点轨迹，直线与椭圆的位置关系，中点坐标，平面向量的坐标运算，三角形的面积 . 已知函数 ，其中 a， b R (1)当 a 3， b -1时，求函数 f(x)的最小值； (2)若曲线 y f(x)在点 (e， f(e)处的切线方程为 2x-3y-e 0(e 2.71828 为自然对数的底
17、数 )，求 a， b的值； (3)当 a 0，且 a为常数时，若函数 h(x) xf(x) lnx对任意的 x1 x24，总有成立，试用 a表示出 b的取值范围 . 答案： (1) ； (2) ； (3) 时， ， 时，试题分析： (1)利用导数判断出函数 的单调性，即可求出 的最小值； (2)要注意给出某点处的切线方程，就既有该点的坐标，也有该点出切线的斜率，利用这两个条件可求出 a与 b的值； (3)解决本题的关键是由 “对任意的 x1 x24，总有 成立 ”转化出 “ 在 上单调递增 ”，从而再次转化为导函数大于 0的问题求解 .解题过程中要注意对参数的合理分类讨论 . 试题： (1)当
18、 a 3， b -1时， x 0， 0 x 时 f (x) 0， x 时， f (x) 0 即 在 上单调递减，在 上单调递增 在 处取得最小值 即 4分 (2) (1) 又切点 (e， f(e)在直线 2x-3y-e 0上 切点为 (2) 联立 (1)(2)，解得 . 8分 (3)由题意，对任意的 x1 x24，总有 成立 令 则函数 p(x)在 上单调递增 在 上恒成立 在 上恒成立 10分 构造函数 则 F(x)在 上单调递减，在 上单调递增 (i)当 ，即 时， F(x)在 上单调递减，在 上单调递增 ，从而 12分 (ii)当 ，即 时， F(x)在 (4， )上单调递增 ，从而 13分 综上，当 时， ， 时， 14分 考点：导数，函数的单调性，参数的取值范围，分类与整合 .
