1、2015届四川省绵阳市高三一诊测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 A x Z|x2-10， B x|x2-x-2 0，则 AB（ ） A B 2 C 0 D -1 答案： D 试题分析：由题意， A x Z|-1x1 -1， 0， 1 B x|（ x-2）（ x 1） 0 -1， 2 所以， AB -1 考点：集合的运算，一元二次方程与一元二次不等式 已知 R，且 对 x R恒成立，则 的最大值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 对 x R恒成立，显然 a0， b -ax 若 a 0，则 ab 0 若 a 0，则 aba -a2x设函数 ，求导求出 f（ x）的
2、最小值为 设 ，求导可以求出 g（ a）的最大值为 ， 即 的最大值是 ，此时 考点：利用导数研究函数性质 已知函数 的图象上关于 轴对称的点至少有 3对，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：原函数在 y轴左侧是一段正弦型函数图象，在 y轴右侧是一条对数函数的图象 要使得图象上关于 y轴对称的点至少有 3对， 可将左侧的图象对称到 y轴右侧，即 y sin（ - ） -1（ x 0） 应该与原来 y轴右侧的图象至少有 3个公共点 如图， a 1不能满足条件，只有 0 a 1 此时，只需在 x 5时， y logax的纵坐标大于 -2 即 loga5 -2，得 0
3、a 考点：分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数 是定义在非零实数集上的函数， 为其导函数，且 时，记 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：构造函数 g（ x） （ x 0），则 g（ x） 由已知， x 0时 g（ x） 0，即 g（ x）在（ 0， ）上为减函数 而 0.22 1 20.2 2 log25 故 g（ log25） g（ 20.2） g（ 0.22） 即 c a b 考点：利用导数研究函数性质，指数与对数运算 已知 x -， ，则 “x ”是 “sin（ sinx） cos（ cosx）成立 ”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不
4、充分也不必要条件 答案： C 试题分析：当 x 时， sinx cosx 所以 0sinx -cosx 于是 sin（ sinx） sin（ -cosx） cos（ cosx），充分性成立 . 取 x - ，有 sin（ sinx） sin（ - ） -sin 0 cos（ cosx） cos（ - ） cos 0 所以 sin（ sinx） cos（ cosx）也成立，必要性不成立 故选 C 考点：三角函数的性质，充要条件 已知 x， y满足 则 2x-y的最大值为 m（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：根据条件，画出可行域如图，可知当目标函数 z 2x-y经过点
5、A（ 1，0）时取得最大值 最大值为 2 考点：线性规划 已知 ，那么 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： sin2x cos（ -2x） 2cos2（ -x） -1 2 考点：二倍角公式，三角函数恒等变形 如图，正六边形 ABCDEF的边长为 1，则 （ ） A -3 B C 3 D 答案： A 试题分析：根据正六边形性质，有 ADB 30， 于是向量 与 所成角为 150， 且 | | 2， | | 所以， 2 （ - ） -3 考点：平面向量的数量积 设各项均不为 0的数列 an满足 （ n1）， Sn是其前 n项和，若，则 S4（ ） A 4 B C D 答案： D 试题分
6、析：由已知， an为等比数列，且公比为 又根据等比中项性质，有 a2a4 a32，于是 a32 2a5， 而 a5 2a3，故 a3 4 于是 S4 a1 a2 a3 a4 2 2 4 4 6 6 考点：等比数列的性质，通项公式与前 n项和 下列说法中正确的是（ ） A命题 “ ， ”的否定是 “ ， 1” B命题 “ ， ”的否定是 “ ， 1” C命题 “若 ，则 ”的逆否命题是 “若 ，则 ” D命题 “若 ，则 ”的逆否命题是 “若 ，则 ” 答案： B 试题分析：命题 “ ， 2x 1”的否定是 “ ， 1”，故 A错误， B正确 命题 “若 a b，则 a2 b2”的逆否命题是 “
7、若 a2b2，则 ab”，故 C、 D均错 考点：全称命题与特称命题，命题的否定与逆否命题 填空题 定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 ，满足 ，则称函数 是 上的 “平均值函数 ”， 是它的一个均值点例如 y | x |是 上的 “平均值函数 ”， 0就是它的均值点给出以下命题： 函数 是 上的 “平均值函数 ” 若 是 上的 “平均值函数 ”，则它的均值点 x0 若函数 是 上的 “平均值函数 ”，则实数 m的取值范围是 若 是区间 a， b （ b a1）上的 “平均值函数 ”， 是它的一个均值点，则 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号） 答案： 试题分析： 正确 .因为 f
8、（ 0） f（ -2） f（ 2） 0，可知 正确 不正确反例： f（ x） 0在区间 0， 6上 正确由定义： 得 ， 又 所以实数 m的取值范围是 m （ 0， 2） 正确理由如下：由题知 要证明 ，即证明： ， 令 ，原式等价于 令 ，则 ， 所以 得证 考点：函数综合问题 已知函数 f（ x） ，则 f（ ） f（ ） f（ ） f（ ） _ 答案： 试题分析：因为 f（ x） f（ 1-x） 记 S f （ ） f （ ） f （ ） f （ ） 则 S f （ ） f （ ） f （ ） f （ ） 相加： 2S 32014 所以 S 3021 考点：函数性质，倒序求和 某商场销售
9、某种商品的经验表明，该产品生产总成本 C与产量 q（ q N*）的函数关系式为 C 100 4q，销售单价 p与产量 q的函数关系式为要使每件产品的平均利润最大，则产量 q等于 _ 答案： 试题分析：每件产品的利润 y 25- q- 29-（ ） 29-2 24 当且仅当 且 q 0，即 q 40时取等号 . 考点：基本不等式，函数在现实生活中的应用 已知向量 a（ 1， 2）， b（ 2， 0），若向量 a b与向量 c（ 1， -2）共线，则实数 _ 答案： -1 试题分析： a b（ 2 ， 2）， 由 a b与向量 c（ 1， -2）共线， 有 -2（ 2 ） 21 解得： -1 考点
10、：平面向量的坐标运算 若 ，则 _ 答案： 试题分析： 考点：三角函数恒等变形，求值 解答题 已知向量 m（ sinx， cosx）， n（ cosx， cosx），其中 0，函数2m n-1的最小正周期为 （ 1）求 的值； （ 2）求函数 在 ， 上的最大值 答案：（ 1） 1；（ 2） 试题分析：（ 1）化简整理 f（ x）的表达式，利用 f（ x）的最小正周期为 ，可求出 ；（ 2）讨论函数 f（ x）在 ， 上的单调性，即可找到最大值 . 试题：（ 1） f（ x） 2m n-1 由题意知： T ，即 ，解得 1 （ 2）由（ 1）知 ， x ， 得 ， 又函数 y sinx在 ，
11、上是减函数， 考点：三角函数的恒等变形，图象及其性质，平面向量及其运算 . 已知函数 f （ t） log2（ 2-t） 的定义域为 D （ 1）求 D； （ 2）若函数 g （ x） x2 2mx-m2在 D上存在最小值 2，求实数 m的值 答案：（ 1） 1， 2）；（ 2） m 1. 试题分析：（ 1）利用 求出定义域；（ 2）根据 m的取值，讨论 f（ x）在 D上的最值点，求出 m的值 . 试题：（ 1）由题知 解得： 1t 2，即 D 1， 2） （ 2） g （ x） x2 2mx-m2 ，此二次函数对称轴为 若 -m2，即 m-2时， g （ x）在 1， 2）上单调递减，不存
12、在最小值； 若 1 -m 2，即 -2 m -1时， g （ x）在 1， -m）上单调递减，（ -m， 2上递增， 此时 ，此时 m值不存在； -m1即 m-1时， g （ x）在 1， 2）上单调递增， 此时 ，解得 m 1 综上： m 1 考点：函数的定义域，二次函数在给定区间上的最值 在 ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边， （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若 是边 中点，且 ，求边 的长 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用余弦定理求出 AC，再利用正弦定理求出 sin ACB；（ 2）构造平行四边形，利用余弦定理求解 AC. 试题
13、：（ 1） ， ， 由余弦定理： 52 22-252 25， 又 ，所以 ， 由正弦定理： ， 得 （ 2）以 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE，如图， 则 ， BE 2BD 7， CE AB 5， 在 BCE中，由余弦定理： 即 ， 解得： 在 ABC中， ， 即 考点：正弦定理，余弦定理，解三角形 . 记公差不为 0的等差数列 的前 项和为 ， ， 成等比数列 （ 1）求数列 的通项公式 及 ； （ 2）若 ， n 1， 2， 3， ，问是否存在实数 ，使得数列 为单调递减数列？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）直
14、接利用已知条件和等差数列的通项公式求出 a1和 d，进而写出 an和 Sn；（ 2）要使数列 为单调递减数列，必需且只需 cn 1-cn 0对一切n N*恒成立即可 . 试题：（ 1）由 ， 得： 解得： ， （ 2）由题知 若使 为单调递减数列，则 - 对一切 n N*恒成立， 即： ， 又 ， 当 或 时， 考点：等差数列的通项公式及其前 n项和，不等式恒成立问题 已知函数 f（ x） ex-ax-1（ e为自然对数的底数）， a 0 （ 1）若函数 f（ x）恰有一个零点，证明： aa ea-1； （ 2）若 f（ x） 0对任意 x R恒成立，求实数 a的取值集合 答案：（ 1）见；（
15、 2） 1. 试题分析：（ 1）先判断 f（ x）的单调性，根据 “f（ x）前有一个零点 ”，找到关于 a的等式，化简整理可得需证结论；（ 2）根据（ 1），只需 f（ x）的最小值不小于 0即可 . 试题：（ 1）证明： 由 ，得 由 0，即 0，解得 x lna，同理由 0解得 x lna， f（ x）在（ -， lna）上是减函数，在（ lna， ）上是增函数， 于是 f（ x）在 x lna取得最小值 又 函数 f（ x）恰有一个零点，则 ， 即 化简得： ， （ 2）解：由（ 1）知， 在 取得最小值 ， 由题意得 0，即 0， 令 ，则 ， 由 可得 0 a 1，由 可得 a 1
16、 h（ a）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， ）上单调递减，即， 当 0 a 1或 a 1时， h（ a） 0， 要使得 f（ x） 0对任意 x R恒成立， a 1 a的取值集合为 1 考点：导数，函数的零点，恒成立问题 已知函数 （ m， n 为常数， 是自然对数的底数），曲线 在点 处的切线方程是 （ 1）求 m， n的值； （ 2）求 的单调区间； （ 3）设 （其中 为 的导函数），证明：对任意， 答案：（ 1） m n 2；（ 2）增区间是（ 0， 1），减区间是（ 1， ）；（ 3）见 . 试题分析：（ 1）曲线 y f（ x）在点（ 1,f（ 1）处的切线方程是 y ，表
17、明f（ 1） ，且 f （ 1） 0，得到方程组，求出 m， n的值；（ 2）结合（ 1），进一步讨论 f （ x）的符号，确定 f（ x）的单调区间；（ 3）将 转换为 ，证明 1-x-xlnx 且 即可 . 试题：（ 1）由 得 （ ） 由已知得 ，解得 m n 又 ，即 n 2， m n 2 （ 2）由 （ 1）得 ， 令 ， ， 当 x （ 0， 1）时， p（ x）；当 x （ 1， ）时， p（ x） 0， 又 ，所以当 x （ 0， 1）时， f （ x） 0； 当 x （ 1， ）时， f （ x） 0， f（ x）的单调增区间是（ 0， 1）， f（ x）的单调减区间是（ 1，） 8 分 （ 3）证明：由已知有 ， ， 于是对任意 x 0， 等价于 ， 由（ 2）知 ， ， ， 易得当 时， ，即 单调递增； 当 时， ，即 单调递减 所以 p（ x）的最大值为 ，故 设 ，则 ， 因此，当 时， 单调递增， 故当 时， ，即 对任意 x 0， 考点：利用导数研究函数性质，不等式
