1、- 1 -大庆中学 2018-2019 学年度下学期开学考试高三文科数学试题考试时间：120 分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上3.第 22 题和 23 题为选做题一、单选题（共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分)1已知集合 ，则集合 中的元素个数|32,6,8102,4AxnNBAB为( )A5 B4 C3 D22已知 ,复数 ，若 为纯虚数，则 的值为（ ）aR12,1zaizi12zaA B C D0353在区间 上随机地取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为（ ）,xsinxA B C D423124 ，则 的大小关系是（ ）A
2、 B C D5某单位为了解用电量 （度）与气温 之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温 18 13 10 -1用电量 （度）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程 中 ，预测当温度为 时，用电量的度数约为（ ）A64 B66 C68 D706已知 O， A， B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足，则 （ ）- 2 -A B C D7已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ nanSa84S10a）A B C D1290128曲线 与曲线（ ）的A短轴长相等 B长轴长相等 C焦距相等 D离心率相等9我国古代名著庄子天
3、下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则处可分别填入的是（ ） 9 题图 10 题图A B 7?i1Si128?i1Si2iC D 2i10某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D- 3 -11已知偶函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）A B C D12已知函数 ，给出下列四个命题：2()23cosinsi()fxxxR 是函数 图像的一个对称中心; ,012f 的最小正周期是 ;()fx2 在区间
4、上是增函数；f,63 的图象关于直线 对称；()fxx 时， 的值域为 其中正确的命题为 （ ,43()f13,.）A B C D二、填空题（共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13数列 中 为 的前 n 项和，若 ，则 .na112,nnaS126nS14若 满足约束条件 ，则 的最大值为_,xy0 2xy3zxy15过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切21(0)baa,0()Fc22xya点为 E，延长 FE 交抛物线 于点 P，O 为坐标原点，若 ，则双曲24ycx1OEFP线的离心率为 16将正整数有规律地排列如下：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14
5、15 16 - 4 -则在此表中第 45 行第 83 列出现的数字是_三、解答题（共 6 个小题，17-21 题每题 12 分，22,23 题选做题 10 分，共 70 分)17 （12 分）在 中, 角 的对边分别为 ,且 .ABC,abc32c（1）若 ,求 的值；2sin（2）若 的面积为 ,求 .3c3218 （12 分）2018 年，南昌市召开了全球 VR 产业大会，为了增强对青少年 VR 知识的普及，某中学举行了一次普及 VR 知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了 50 人，女生中随机抽取了 70 人参加 VR 知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如下的列联
6、表：优秀 非优秀 总计男生 a 35 50女生 30 d 70总计 45 75 120（1）确定 a,d 的值；（2）试判断能否有 90%的把握认为 VR 知识的测试成绩优秀与否与性别有关；（3）为了宣传普及 VR 知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出 6 名组成宣传普及小组现从这 6 人中随机抽取 2 名到校外宣传，求“到校外宣传的 2 名同学中至少有 1 名是男生”的概率.附：P(K2k 0)0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635- 5 -19 （12 分）
7、如图四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点， ，（I）证明：平面 平面 ；（II）若， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.20 （12 分）已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：( x2) 2( y3) 21 交于 M， N两点(1)求 k 的取值范围；(2)若 12，其中 O 为坐标原点，求| MN|.OMN21 （12 分）已知函数 有两个极值点 ， （ ） 22lnfxax1x212x（1）求实数 的取值范围；a（2）设 ，若函数 的两个极值点恰为函数 的两个零点，当2lngxbcf g时，求 的最小值3a1212xyg- 6 -22 （10
8、分）选修 4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点, 轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取相同的单位长度,已知直线 的方程为,曲线 的参数方程为为参数）,点 是曲线 上的一动点.（1）求线段 的中点 的轨迹方程；（2）求曲线 上的点到直线 的距离的最小值.23 （10 分）选修 45：不等式选讲已知函数.（I）当 时，求不等式 的解集；（II）若 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.- 7 -大庆中学 2018-2019 学年度下学期开学考试 高三文科试题参考答案1D【解析】由已知得 中的元素均为偶数， 应为取偶数，故 ，故选ABn8,14ABD.2B【解析】
9、由 ，121242455aiaizi ai因为复数是纯虚数，所以 满足题意，故选 B.3C【解析】根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值，得到 1sin2x，根据几何概型判断，概率为： 5|06xx或 3.故答案选 C。4B【解析】 ，所以 ，故选 B.5D【解析】【分析】由题意先求出回归方程，再将 代入回归方程，即可求出结果.【详解】由已知 ， ，将其代入回归方程得 ，故回归方程为 ，当 时， ，选 D.【点睛】本题主要考查回归直线方程，由回归直线必然过样本中心即可求回归直线的方程，属于基础题型.- 8 -6A【解析】1.由已知，可得： + + = + =0，点 A 是线段 CB 的中点，设
10、 + ，作平行四边形 OBDC，由平行四边形法则可得 .2. 7B【解析】试题分析：由 得 ，解得 .84S112846ada1019,22a考点：等差数列.8C【解析】【分析】本道题结合 ，计算 a,b,c 的值，即可。【详解】A 选项，明显短轴不相等，一个 ，故错误；B 选项，一个另一个为 ，故错误。D 选项，离心率 ，结合前面提到了 a 不相等，故错误；曲线 的焦半径满足 ，而焦半径满足，故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，C 正确。【点睛】本道题考查了椭圆的基本性质，关键抓住 ，难度中等。9B- 9 -【解析】程序运行过程中，各变量值如图所示，第一次循环， ；第二次循环， 1,42Si；
11、第三次循环， 依次类推，第七次循环： 1,824Si1,6;.248Si，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入1.,562i的条件是： ？执行框应填入 ，应填入： ，故选 B.isi2i10A【解析】分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ，外接球球心 在过 中点 且垂直于平面 的直线 上，可知 是直线 与面 的交点，也是直线 与直线 的交点没有此可求三棱锥 外接球的半径，得到棱锥的外接球的表面积详解： 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ，外接球球心 在过 中点 且垂直于平面 的直线 上，又点 到 距离相等，点 又在线段 的垂直平分面 上，故 是直线 与面 的交点，可知 是
12、直线 与直线 的交点（ 分别是左侧正方体对棱的中点） ， ， - 10 -故三棱锥 外接球的半径 ，表面积为 .故选 A.点睛：本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11D【解析】【分析】先根据偶函数求得 a，求出函数的导数，求得切线斜率，写出切线的方程即可【详解】 为偶函数， 对 恒成立，得 ，因 不恒为 0，则 ，即 ，所以 ， ， ， ，则曲线 在 处的切线方程为 ，即 .故选 D【点睛】本题考查了切线方程问题，考查偶函数的定义及应用，是一道基础题12D【解析】- 11 -试题分析：将原函数化简得， ，()3sin2cos12
13、sin1()6fxxxxR其对称中心为 ，故错；最小正周期 ，错；原函数在,12kT，即 单调增，当 时，在6xk163kxk0k上增，正确；函数对称轴为 ，当 时 是其对称轴，正,63 203x确；因为 原函数减， 上增，故其最小值为 ，最大值,46x,63 16f为 ，故在 ， 的值域为 错；故选 D.3f,()fx1,.考点：三角函数的对称性质、三角函数的单调性、三角函数最值.136【解析】试题分析：由题意得，因为 ，即 ，所以数列 构成首项12na12nana，公比为 的等比数列，则 ，解得 12a6nnS考点：等比数列的概念及等比数列求和14 4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影
14、部分所示，作出直线 ： ，平移直线0l30xy，当直线 :z=3x+y 过点 A 时，z 取最大值，由 解得 A（1,1） ，z=3x+y 的0ll 2= 1xy最大值为 4.考点：简单线性规划解法- 12 -15 152【解析】试题分析：因为 ，所以 ，因为,OFcEaFEb，所以 为 的中点， ，又因为 为 的中点，所以12OEP 2POF，所以 ，因为抛物线的方程为 ，所以抛物线的焦点坐标为/F 2a 4ycx，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过 点作 的垂线 ，过 点作 ，则 为,0c FlPDl抛物线的准线，所以 ，所以点 的横坐标为 ，设 ,在PDP2acxy中， ，即 ，解RtF2
15、2F2 24,44aybcb得 .15e考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点 的横坐标为 ，再根据在 中，得出 是P2acRtPDF2244accb解答的关键.162019【解析】【分析】根据图象可知第 n 行有 2n1 个数字，前 n 行的数字个数为 1+3+5+（2 n1） n2个，可得前 44 行共 442个，进而求得结果【详解】依题意可知第 n 行
16、有 2n1 个数字，前 n 行的数字个数为 1+3+5+（2 n1） n2个，可得前 44 行共 442个，44 21936，即第 44 行最后一个数为 1936，第 45 行第 83 列出现的数字是1936+83=2019，故答案为 2019.- 13 -【点睛】本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式解题的关键是求得前 n 行的数字个数，属于中档题.17 （1） ；（2） 33a或【解析】试题分析：（1）首先利用利用正弦定理将已知条件等式中的边化为角，并结合角 间的,BC关系求得 的值，从而求得 的值，进而可求得 的值；（2）首先求得 的值，cosCsinCsinBb然后利用面积公式求得
17、的值，从而求得 的值，进而利用余弦定理求得 的值iAcoAa试题解析：（1） , 由 得 ，2B32b3siconC解得 ，3cosC.216 632in1,sini2sinco23BC（2） 的面积为3,cbcA,则 , ,解1 6sin2sin32,sin3A3cosA291a得 .3a或考点：1、正弦定理与余弦定理；2、倍角公式；3、同角三角形函数间的基本关系；4、面积公式【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理来研究三角形问题时，正弦定理可以用来将边的比和对应角的正弦值的比互化，而余弦定理则多用来将余弦值转化为边的关系，而涉及解三角形问题，往往把三角三角恒等变换公式加以交汇与综合，利用公式的
18、变换达到解决问题的目的18 （1） ；（2）没有；（3）- 14 -【解析】【分析】（1）结合题表信息，即可计算 a,d，即可。 （2）结合卡方计算公式，代入数据，计算，判定，即可。（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算 2 人全部都是女生的总数，计算概率，即可。【详解】（1） ，解得（2）结合卡方计算方法可知 n=120，得到 而要使得概率为则 90%, ，不满足条件，故没有。（3）结合 a=15，结合分层抽样原理，抽取 6 人，则男生中抽取 2 人，女生抽取四人，则从6 人中抽取 2 人，一共有 ，如果 2 人全部都是女生，则有 ，故概率为【点睛】本道题考查了古典概率计算方法，
19、考查了卡方计算方法，考查了列联表，难度中等。19 （1）见解析（2）3+2【解析】试题分析：（）由四边形 ABCD 为菱形知 AC BD，由 BE 平面 ABCD 知 AC BE，由线面垂直判定定理知 AC 平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面 平面 ；（）设 AB= ，通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来，在 AEC 中，用 x 表示EG，在 EBG 中，用 x 表示 EB，根据条件三棱锥 的体积为 求出 x，即可求出三- 15 -棱锥 的侧面积.试题解析：（）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD，因为 BE 平面 ABCD，所以 AC BE，故 AC
20、平面 BED.又 AC 平面 AEC，所以平面 AEC 平面 BED（）设 AB= ，在菱形 ABCD 中，由 ABC=120，可得 AG=GC= ,GB=GD= .因为 AE EC，所以在 AEC 中，可得 EG= .由 BE 平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形，可得 BE= .由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积.故 =2从而可得 AE=EC=ED= .所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 .考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力20 （1） ；（2）247,
21、3- 16 -【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，用点斜式求得直线 l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值，可得满足条件的 k 的范围（2）由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，设过点 A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标（2，3） ，半径 R=1故由 ，解得： 231k1247,3kk故当 ，过点 A（0，1）的直线与圆 C： 相交于473k 2231xyM，N 两点（2）设 M ；N ，1,
22、xy2,由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，代入圆 C 的方程 ，2231xy可得 ，214170kxx ，12122,k ，22121211241kykxxx由 ，解得 k=1，21248kOMNy故直线 l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0圆心 C 在直线 l 上，MN 长即为圆的直径所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算21 （1） （2） ,aln3【解析】试题分析：（I）求出函数 f（x）的导数，可得方程 x2-ax+1=0 有两个不相等的正根，即可求出 a 的范围；（II）对函数 g（x）求导数，利用极值的定义得出 g（x）=
23、0 时存- 17 -在两正根 x1，x 2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数 y 的最小值解析：（1） 的定义域为 ，fx0,，212 xafa令 ，即 ，要使 在 上有两个极值点，0fx20fx0,则方程 有两个不相等的正根，21a则 解得 ，124,0 ,x2即 ,a（2） ，2lngxbcx由于 ， 为 的两个零点，12即 ， ，21l0xxc22ln0gxbxc两式相减得： 1212122lnbc ，1212lxbcx又 ，1212lngxcxcxc ，1 1122 2121212 12l ln xcxcxx - 18 -故 ，112211
24、22lnlnxxy设 ， ， 为 的两根，120,xt1x20ax 故 ，12, ax12x ，又 ，2123即 ，95t解得 或 ，12t因此 ，0此时 ，1lntyt，222241 011ttttt即函数 在 单调递减，lntyt0,当 时， 取得最小值，12t 2ln33y最 小 值即所求最小值为 l点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或
25、最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.- 19 -22 （1） ；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件消去参数即可；（2）借助题设条件借助直角坐标公式和几何图形进行求解.试题解析：（1）设中点 的坐标为 ,依据中点公式有 为参数）,消参得点 的直角坐标方程为 .（2）直线 的普通方程为 ,曲线 的普通方程为 ,表示以 为圆心,以 为半径的圆, 故所求距离的最小值为圆心 到直线 的距离减去半径.设所求最小距离为 ,则 ,因此曲线 上的点到直线 的距离的最小值为.考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用23 （1） （2）(2，+).【解析】试题分析：（）当 时，不等式 等价于或或，解得 ；（）由题设可得， ，所以 的面- 20 -积为，由已知解得 试题解析：（）当 时，不等式 化为 ，等价于或或 ，解得 ，所以不等式 的解集为 （）由题设可得，所以函数 的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为，所以 的面积为由题设得，解得 ，所以 的取值范围为 考点：绝对值不等式
