1、110.3 抛物线及其性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2016 浙江文,19抛物线的定义和标准方程直线与抛物线的位置关系、抛物线的焦点坐标、准线方程抛物线的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2014 浙江文,22抛物线的定义和标准方程直线与抛物线的位置关系、抛物线的焦点坐标2016 浙江,9抛物线的焦点坐标、准线方程抛物线的定义和标准方程2015 浙江,5抛物线的焦点坐标抛物线的定义和标准方程、直线与抛物线的位置关系抛物线的几何性质1.掌握抛物线的简
2、单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2014 浙江文,22抛物线的焦点坐标直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义和标准方程分析解读 1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质.2.考查直线与抛物线的位置关系,以及与抛物线有关的综合问题.3.预计 2020 年高考中,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查.破考点【考点集训】考点一 抛物线的定义和标准方程21.(2018 浙江杭州二中期中,8)已知点 A(4,4)在抛物线 y2=2px(p0)上,该抛物线的焦点为 F,过点 A 作抛物线准线的垂线,垂足为 E,则EAF 的平分线所在的直线方程为( ) A.2x+y-12=0 B.x+2y-1
3、2=0C.2x-y-4=0 D.x-2y+4=0答案 D 2.(2018 浙江名校协作体期初,15)已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 = ,则| |= . 12答案 5考点二 抛物线的几何性质1.(2018 浙江新高考调研卷一(诸暨中学),2)抛物线 y2=4ax 的焦点坐标为( )A.(a,0)或(-a,0) B.(a,0)C.(-a,0) D.(|a|,0)答案 B 2.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,16)已知抛物线 y2=4x,焦点记为 F,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,则|AF|- 的最小值为
4、 . 2|答案 2 -22炼技法【方法集训】方法 1 求抛物线标准方程的方法1.(2018 浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F(0,1),过 O 作斜率为 k(k0)的直线 l 交抛物线于 A(异于 O 点),已知 D(0,5),直线AD 交抛物线于另一点 B.(1)求抛物线 C 的方程;(2)若 OABF,求 k 的值.解析 (1)由题意知, =1,所以 p=2,所以抛物线 C:x2=4y.(2)由题意知,直线 OA:y=kx,将其代入抛物线方程:x 2=4y 中,消去 y,得 x2-4kx=0,则 A(4k,4k2).直线
5、 AB:y= x+5,直线 BF:y=-x+1,42-543联立可解得 B .(-1642-1,42+1542-1)又因为 B 在抛物线 C 上,则 =4 ,(-1642-1)242+1542-1得(4k 2+3)(4k2-5)=0,得 k= .522.(2018 浙江名校协作体期初,21)如图,已知抛物线 C1:x2=2py(p0)的焦点在抛物线C2:y=x2+1 上,点 P 是抛物线 C1上的动点.(1)求抛物线 C1的方程及其准线方程;(2)过点 P 作抛物线 C2的两条切线,A、B 为两个切点,求PAB 面积的最小值.解析 (1)抛物线 C1的方程为 x2=4y,其准线方程为 y=-1
6、.(2)设 P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2),则切线 PA 的方程为 y-y1=2x1(x-x1),即 y=2x1x-2 +y1,又 y1= +1,所以 y=2x1x+2-y1,同理得21 21切线 PB 的方程为 y=2x2x+2-y2,又切线 PA 和 PB 都过 P 点,所以 所以直线41-1+2-2=0,42-2+2-2=0,AB 的方程为 4tx-y+2-t2=0.联立 得 x2-4tx+t2-1=0,所以=4+2-2,=2+1 1+2=4,12=2-1.所以|AB|= |x1-x2|= .1+162 1+162122+4点 P 到直线 AB 的距离 d= = .
7、|82-2+2-2|1+16262+21+162所以PAB 的面积 S=|AB|d=2(3t2+1) =2(3t2+1 ,32+1 )32所以当 t=0 时,S 取得最小值,为 2,即PAB 面积的最小值为 2.方法 2 利用抛物线的定义解决有关问题的方法41.(2018 浙江宁波模拟,8)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(5,0)的直线与抛物线相交于 A,B两点,与抛物线的准线相交于 C,若|BF|=5,则BCF 与ACF 的面积的比 = ( ) A. B. C. D.203315312029答案 D 2.(2018 浙江金华十校第一学期期末调研,12)已知抛物线 y2=2px(
8、p0)上一点 A(1,a)到焦点的距离为 2,则该抛物线的准线方程为 ;a= . 答案 x=-1;2过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点一 抛物线的定义和标准方程(2016 浙江,9,4 分)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 .答案 9考点二 抛物线的几何性质1.(2015 浙江,5,5 分)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF 的面积之比是( )A. B. C. D.|-1|-1 |2-1|2-1 |+1|+1
9、|2+1|2+15答案 A 2.(2016 浙江文,19,15 分)如图,设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|-1.(1)求 p 的值;(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.解析 (1)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离,由抛物线的定义得=1,即 p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为 y2=4x,F(1,0),可设 A(t2,2t),t0,t1.因为 AF 不垂直于
10、 y 轴,可设直线 AF:x=sy+1(s0),由 消去 x 得 y2-4sy-4=0,2=4,=+1故 y1y2=-4,所以 B .(12,-2)又直线 AB 的斜率为 ,故直线 FN 的斜率为- .22-1 2-12从而得直线 FN:y=- (x-1),直线 BN:y=-.2-12所以 N .(2+32-1,-2)设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得= ,于是 m= .22-2+22-2+32-1 222-1所以 m2.经检验,m2 满足题意.综上,点 M 的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).6思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设 A 点
11、坐标及直线AF 的方程,与抛物线方程联立可得 B 点坐标,进而得直线 FN 的方程与直线 BN 的方程,联立可得 N 点坐标,最后利用 A,M,N 三点共线可得 kAM=kAN,最终求出结果.评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.3.(2014 浙江文,22,14 分)已知ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中点, =3 .(1)若| |=3,求点 M 的坐标;(2)求ABP 面积的最大值.解析 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1.设 P
12、(x0,y0),由抛物线的定义知|PF|=y 0+1,得到 y0=2,所以 P(2 ,2)或 P(-2 ,2).2 2由 =3 ,分别得 M 或 M . (-223,23) (223,23)(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由 得 x2-4kx-4m=0,=+,2=4 于是 =16k 2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k 2+m).由 =3 ,得(-x 0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以 由 =4y0得 k2=-m+ .0=-6,0=4-62-3, 20 4
13、15由 0,k 20,得-f ,(-13,19) (19,1) (1,43) (19)256243(43)所以,当 m=时, f(m)取到最大值 ,此时 k= .256243 5515所以ABP 面积的最大值为 .2565135评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2017 课标全国理,16,5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点
14、,则|FN|= . 答案 62.(2015 陕西,14,5 分)若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则 p= .答案 2 2考点二 抛物线的几何性质1.(2016 课标全国,10,5 分)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则 C 的焦点到准线的距离为( ) 2 5A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 2.(2018 课标,16,5 分)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点.若AMB=90,则 k
15、= . 答案 23.(2018 北京文,10,5 分)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴.若 l 被抛物线 y2=4ax 截得的线段长为 4,则抛物线的焦点坐标为 . 答案 (1,0)4.(2017 北京理,18,14 分)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点 作直线 l 与抛物线 C(0,12)交于不同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.8(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A 为线段 BM 的中点.解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线
16、C:y2=2px 过点 P(1,1),得 p=.所以抛物线 C 的方程为 y2=x.抛物线 C 的焦点坐标为 ,准线方程为 x=-.(14,0)(2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+ (k0),l 与抛物线 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).由 得 4k2x2+(4k-4)x+1=0.=+12,2= 则 x1+x2= ,x1x2= .1-2142因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A 的坐标为(x 1,x1).直线 ON 的方程为 y= x,点 B 的坐标为 .22 (1,212)因为 y1+ -2x1=21212+21-2122
17、=(1+12)2+(2+12)1-2122= = =0,(2-2)12+12(2+1)2(2-2)142+1-222所以 y1+ =2x1.212故 A 为线段 BM 的中点.方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示 在设直线方程时,若要设成 y=kx+m 的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n 的形式,注意先讨论斜率是不是 0.9C 组 教师专用题组考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2016 课标全国,5,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y
18、= (k0)与 C 交于点P,PFx 轴,则 k=( ) A. B.1 C. D.2答案 D 2.(2014 辽宁,8,5 分)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线AF 的斜率为( )A.- B.-1 C.- D.-答案 C 3.(2014 课标,10,5 分)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|=x 0,则x0=( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 A 4.(2017 山东,15,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1(a0,b0)的右支与焦点为2222F 的抛物线 x2=2p
19、y(p0)交于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .答案 y= x225.(2014 湖南,15,5 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则= . 答案 1+ 2106.(2014 湖南,14,5 分)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 .答案 (-,-1)(1,+)考点二 抛物线的几何性质1.(2015 陕西,3,5 分)已知抛物线 y2=2px(p0)的准线经过点(
20、-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A.(-1,0) B.(1,0)C.(0,-1) D.(0,1)答案 B 2.(2015 四川,10,5 分)设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,与圆(x-5) 2+y2=r2(r0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( )A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)答案 D 3.(2014 安徽,3,5 分)抛物线 y=x2的准线方程是( )A.y=-1 B.y=-2C.x=-1 D. x=-2答案 A 4.(2014 四川,10,5 分)已知 F 为抛物
21、线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, =2(其中 O 为坐标原点 ),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( )A.2 B.3 C. D.172810答案 B 5.(2017 天津,12,5 分)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC=120,则圆的方程为 . 答案 (x+1) 2+(y- )2=136.(2014 上海,4,4 分)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则该抛物线的2925准线方程为 . 答案 x=-27.(2014 福建,21
22、,12 分)已知曲线 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y=-3 的距离小 2.11(1)求曲线 的方程;(2)曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A,直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M,N.以 MN 为直径作圆 C,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B.试探究:当点 P 在曲线 上运动(点 P与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论.解析 (1)解法一:设 S(x,y)为曲线 上任意一点,依题意,得点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y=-1 的距离相等,所以曲线 是以点 F(0,1)为焦点、直线 y=-1 为准线的抛物线,所
23、以曲线 的方程为x2=4y.解法二:设 S(x,y)为曲线 上任意一点,则|y-(-3)|- =2,(-0)2+(-1)2依题意,知点 S(x,y)只能在直线 y=-3 的上方,所以 y-3,所以 =y+1,(-0)2+(-1)2化简得,曲线 的方程为 x2=4y.(2)当点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线 的方程为 y=x2,设 P(x0,y0)(x00),则 y0= ,1420由 y=x,得切线 l 的斜率 k=y =x0,|=0所以切线 l 的方程为 y-y0=x0(x-x0),即 y=x0x- .1420由 得 A .=
24、120-1420,=0 (120,0)由 得 M .=120-1420,=3 (120+60,3)又 N(0,3),所以圆心 C ,(140+30,3)12半径 r=|MN|= ,|140+30|AB|= |2-2= = .120-(140+30)2+32-(140+30)2 6所以点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变.评析 本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想.8.(2014 大纲全国,21,12 分)已知抛物线 C:y2=2p
25、x(p0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=|PQ|.(1)求 C 的方程;(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,且A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程.解析 (1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x 0=+.由题设得+=,解得 p=-2(舍去)或 p=2.所以 C 的方程为 y2=4x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m0).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.设
26、 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1).2+1又 l的斜率为-m,所以 l的方程为 x=- y+2m2+3.1将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0.4设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3).4故 MN 的中点为 E ,(22+22+3,-2)13|MN|= |y3-y4|= .1+12 4(2+1) 22+12由于 MN 垂直平分 AB,故 A、M、B、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|B
27、E|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即 4(m2+1)2+ + = .(2+2)2(22+2)24(2+1)2(22+1)4化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1.所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、四点共圆等基础知识.考查解析几何的基本思想方法,考查运算求解能力和综合解题能力.对于第(2)问将直线 l 方程设为 x=my+1(m0),这样可以避免讨论斜率不存在的情形,使问题简单化.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 4 分)1.(2018 浙江镇海中学期中,6)已知抛物线
28、 y2=4x 的焦点为 F,O 为原点,若 M 是抛物线上的动点,则 的最大值为( ) |A. B. C. D.33 63 233 263答案 C 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 16 分)2.(2019 届浙江温州九校联考,15)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,则 + = , -|BF|2的最大值为 . 1| 1| 16|答案 1;43.(2018 浙江台州第一次调考(4 月),12)抛物线 C:y2=8x 的焦点 F 的坐标为 ,若点 P(,m)在抛物线 C 上,则线段 PF 的长度为 . 3答案 (2,0); +234
29、.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,16)已知 M(a,4)为抛物线 y2=2px(p0)上的一点,F 为抛物线的焦点,N 为 y 轴上的动点,当 sinMNF 的值最大时,MNF 的面积为 5,则 p 的值为 .答案 2 或 814三、解答题(共 60 分)5.(2019 届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M(-2,8),且|MF|=4 .5(1)求抛物线的方程;(2)设 A,B 是抛物线上的两点,当 F 为ABM 的垂心时,求直线 AB 的方程.解析 (1)由题意得|MF|= =4 ,(2+2)2+645解得 p=4,所以抛物线的
30、方程为 y2=8x.(5 分)(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为 F 是ABM 的垂心,所以 MFAB,所以 kMFkAB=-1,故 kAB=,(7 分)所以设直线 AB 的方程为 x=2y+n,与 y2=8x 联立得 y2-16y-8n=0.令 0,有 n-8.y1+y2=16,y1y2=-8n.(10 分)因为 F 是ABM 的垂心,所以 MAFB.即 x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0,同理,x 1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0,+得 2x1x2-8+2y1y2-8(y1+y2)=0.(13 分)所以 n2-8n-68=0,解得 n=42
31、,又因为 n-8,21所以直线 AB 的方程为 x-2y-42 =0.(15 分)216.(2018 浙江嘉兴教学测试(4 月),21)如图,点 P(1,1)为抛物线 y2=x 上一定点,斜率为-的直线与抛物线交于 A,B 两点.(1)求弦 AB 的中点 M 的纵坐标;(2)点 Q 是线段 PB 上任意一点(异于端点),过 Q 作 PA 的平行线交抛物线于 E,F 两点,求证:|QE|QF|-|QP|QB|为定值.15解析 (1)由 作差,可得(y A+yB)(yA-yB)=xA-xB,2=,2= = =-,(*)1+-所以 yA+yB=-2,yM= =-1.+2(2)证明:设 Q(x0,y0
32、),直线 EF:x-x0=t1(y-y0),联立方程组 y2-t1y+t1y0-x0=0,-0=1(-0),2= 所以 yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0,|QE|QF|= |yE-y0| |yF-y0|=(1+ )| -x0|,1+21 1+21 21 20同理,|QP|QB|=(1+ )| -x0|.22 20由(1)中(*)可知,t 1= = =yA+yP,t2= =yB+yP,11 1所以 t1+t2=(yA+yB)+2yp=-2+2=0,即 t1=-t2 = ,2122所以|QE|QF|=|QP|QB|,即|QE|QF|-|QP|QB|=0.7.(2018 浙江名校协作体联考
33、,21)已知抛物线 C:x2=2py(p0),且抛物线 C 在点 P(1, f(1)处的切线斜率为.直线 l 与抛物线交于不同的两点 A,B,且直线 AP 垂直于直线 BP.(1)求证:直线 l 过定点,并求出定点坐标;(2)直线 BP 交 y 轴于点 M,直线 AP 交 x 轴于点 N,求 的最大值.|解析 (1)证明:y= ,y=x.22当 x=1 时,得=,p=2.抛物线的方程为 x2=4y.设 A(2t1, ),B(2t2, ),21 2216APBP,P ,k APkBP= =-1,(1,14)21-1421-122-1422-1t 1t2+ (t1+t2)+ =0(*),174又k
34、 AB= = ,21-2221-221+22直线 AB 的方程为 y- = (x-2t1),211+22即 2y=(t1+t2)x-2t1t2,将(*)式代入直线 AB 的方程得(t 1+t2)(x+1)+ -2y=0,172令 x+1=0, -2y=0,解得直线 AB 过定点 .172 (-1,174)(2)设直线 BM 的方程为 y-=k(x-1),不妨设 k0,联立 得 x2-4kx+4k-1=0,=16k 2-16k+40,-14=(-1),2=4, 根据根与系数的关系得 xB+xP=4k,x B=4k-1,由于 APBP,同理可得 xA=-1,又x N=+1,xM=0,|AP|BP|
35、= |xP-xA| |xB-xP|= (4k-2)= ,1+12 2+1 1+2 (2+4) 4(1+2)(2-1)(+2)2|MP|NP|= |xP-xM| |xN-xP|= ,2+11+12 1+24 = = =16 =-32 +5050,| 4(1+2)(2-1)(+2)2 41+216(2-1)(+2)2 (-22+3+2) (1-34)2 的最大值为 50.|8.(2018 浙江嵊州高三期末质检,21)如图,已知抛物线 y2=x,点 A(1,1),B(4,-2),抛物线上的点 P(x,y)(y1),直线 AP 与 x 轴相交于点 Q,记PAB,QAB 的面积分别是 S1,S2.(1)
36、若 APPB,求点 P 的纵坐标;(2)求 S1-5S2的最小值.17解析 (1)因为 kAP= = = ,kBP= = = .-1-1-12-1 1+1 +2-4+22-4 1-2由 APBP,得 kAPkBP= =-1,即 y2-y-1=0,得 y= .1+1 1-2 1+ 52(2)解法一:设直线 AP:y-1=k(x-1),则 Q ,(1-1,0)由 y1,知 01),则 kAP= ,所以直线 AQ:y-1= (x-1),则 Q(-t,0).1+1 1+1又直线 AB:x+y-2=0,|AB|=3 .2则点 P 到直线 AB 的距离 d1= = ,点 Q 到直线 AB 的距离 d2= = ,|2+-2|2 2+-22 |-2|2 +22所以 S1-5S2=|AB|(d1-5d2)=322(2+-22 -5+102 )= (t-2)2-24.18故当 t=2 时,S 1-5S2有最小值-24.
