1、12.7 函数与方程挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,15函数的零点与方程的根分段函数、解不等式组2017 浙江,20函数的零点与方程的根函数的最值2016 浙江文,12函数的零点与方程的根了解函数零点的概念.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判断方法.2015 浙江文,8函数的零点与方程的根分析解读 1.函数零点的思想属于常考知识.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题.也有可能与其他知识综合出现在解答题中,属难题.2.预计函数与方程的有关问题可能在 2020 年的高考中出现,复习时应重视.破考点【考点集训】考点 函数的零
2、点与方程的根1.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,9)已知函数 f(x)= 则方程 f(f(x)-|ln(-1)|,1,2-1+1,1,2 =0 的实根个数为( ) ()+34A.3 B.4 C.5 D.6答案 B 2.(2018 课标全国理,15,5 分)函数 f(x)=cos 在0, 的零点个数为 . (3+6)答案 33.(2018 天津理,14,5 分)已知 a0,函数 f(x)= 若关于 x 的方程 f(x)=ax2+2+,0,-2+2-2,0.恰有 2 个互异的实数解,则 a 的取值范围是 . 答案 (4,8)2炼技法【方法集训】方法 1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法
3、1.(2018 浙江新高考调研卷三(杭州二中),5)函数 f(x)=ln x-x|x-e|的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C 2.(2017 浙江镇海中学模拟卷三,9)已知 x1,x2为函数 f(x)=(x2+ax+b)ex+c 的极值点(其中a,b,c 为实常数).若 f(x1)=x10,点,则 a 的取值范围是( )A.-1,0) B.0,+)C.-1,+) D.1,+)答案 C 2.(2017 课标全国理,11,5 分)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a=( )A.- B.C. D.1答案 C 33.(2017 山东理,
4、10,5 分)已知当 x0,1时,函数 y=(mx-1)2的图象与 y= +m 的图象有且只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是( )A.(0,12 ,+)3B.(0,13,+)C.(0, 2 ,+)2 3D.(0, 3,+)2答案 B 4.(2015 天津,8,5 分)已知函数 f(x)= 函数 g(x)=b-f(2-x),其中 bR.若函数2-|,2,(-2)2,2,y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( )A. B.(74,+) (-,74)C. D.(0,74) (74,2)答案 D 5.(2015 北京,14,5 分)设函数 f(x)=2-,1,实根的个数为
5、 . 答案 44.(2015 湖南,15,5 分)已知函数 f(x)= 若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有两个3,2,.零点,则 a 的取值范围是 . 答案 (-,0)(1,+)5.(2014 天津,14,5 分)已知函数 f(x)=|x2+3x|,xR.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为 . 答案 (0,1)(9,+)6.(2016 江苏,19,16 分)已知函数 f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1).(1)设 a=2,b=.求方程 f(x)=2 的根;若对于任意 xR,不等式 f(2x)mf(x)-6 恒成立,求
6、实数 m 的最大值;(2)若 01,函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值.解析 (1)因为 a=2,b=,所以 f(x)=2x+2-x.方程 f(x)=2,即 2x+2-x=2,亦即(2 x)2-22x+1=0,所以(2 x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x=0.由条件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2.因为 f(2x)mf(x)-6 对于 xR 恒成立,且 f(x)0,所以 m 对于 xR 恒成立.()2+4()而 =f(x)+ 2 =4,且 =4,所以 m4,故实数 m 的最大值为 4.()2+4() 4() ()4
7、() (0)2+4(0)(2)因为函数 g(x)=f(x)-2 只有 1 个零点,而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以 0 是函数 g(x)的唯一零点.因为 g(x)=axln a+bxln b,又由 01 知 ln a0,所以 g(x)=0 有唯一解 x0=lo .(-lnln)令 h(x)=g(x),则 h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2,5从而对任意 xR,h(x)0,所以 g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数.于是当 x(-,x 0)时,g(x)g(x 0)=0.因而函数 g(x)在(-,x 0)上是单调减函数,在(
8、x 0,+)上是单调增函数.下证 x0=0.若 x0 -2=0,且函数 g(x)在02 (02) 22 2以 和 loga2 为端点的闭区间上的图象不间断 ,所以在 和 loga2 之间存在 g(x)的零点,记0202为 x1.因为 00,同理可得,在 和 logb2 之间存在 g(x)的非 0 的零点 ,矛盾.02因此,x 0=0.于是- =1,故 ln a+ln b=0,所以 ab=1.lnln评析 本题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究基本初等函数的单调性及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 28 分)1.(2019 届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,9)已知函数 f(x)=ax2+bx- (a0)有两个不同的零点 x1,x2,则( ) A.x1+x20,x1x20C.x1+x20 D.x1+x20,x1x2c),关于 x 的方程|x 2-ax+b|=cx 恰有三个不等实根,且函数 f(x)=|x2-ax+b|+cx 的最小值是 c2,则= . 答案 5
