1、18.1 空间几何体的三视图、表面积和体积【真题典例】挖命题【考情探究】5年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018浙江,3 棱柱的三视图 棱柱的体积2017浙江,3棱锥、圆锥组合体的三视图棱锥、圆锥的体积2016浙江,11,文 9棱柱组合体的三视图棱柱的体积、表面积三视图和直观图1.理解柱、锥、台、球的结构特征,了解与正方体和球有关的组合体的结构特征.2.能画出简单的空间图形的三视图,会用斜二测画法画出它们的直观图.3.理解三视图和直观图的2015浙江,2,文 2棱柱、棱锥组合体棱柱、棱锥的体积2的三视图联系,能识别三视图所表示的简单空间几何体.2014浙江,3,文 3棱柱
2、组合体的三视图棱柱的体积2016浙江,11,文 9 棱柱的表面积 三视图空间几何体的表面积会计算柱、锥、台、球的表面积(不要求记忆公式). 2014浙江,3 棱柱的表面积 三视图2018浙江,3 棱柱的体积 三视图2017浙江,3棱锥、圆锥的体积三视图2016浙江,14 棱锥的体积三视图、空间点、线、面的位置关系2015浙江,2棱柱、棱锥的体积三视图空间几何体的体积会计算柱、锥、台、球的体积(不要求记忆公式).2014浙江文,3 棱柱的体积 三视图分析解读 1.三视图与直观图的识别及二者的相互转化是高考考查的热点,考查几何体的展开图、几何体的三视图的画法.2.考查柱、锥、台、球的结构特征,以性
3、质为载体,通过选择题、填空题的形式呈现.3.考查柱、锥、台、球的表面积与体积的计算,主要是与三视图相结合,也可与柱、锥、球的接切问题相结合,不规则几何体的表面积与体积的计算也有可能考查.4.预计 2020年高考试题中,对三视图与直观图的识别以及求由三视图所得几何体的表面积和体积的考查是必不可少的.柱、锥、台、球的结构特征可能以选择题、填空题的形式出现,它们的表面积与体积的计算还是会与三视图相结合,或以组合体的形式出现,复习时应重视.破考点【考点集训】考点一 三视图和直观图1.(2018浙江杭州二中期中,5)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最大的侧面的面积为( )3A.
4、1 B. C. D.22 3答案 C 2.(2018浙江诸暨高三上学期期末,12)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体最长的一条棱的长度是 cm;体积为 cm 3. 答案 4 ;3643考点二 空间几何体的表面积1.(2018浙江金华十校期末调研,2)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是 2的圆,则这个几何体的表面积是( )A.16 B.14 C.12 D.8答案 A 42.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,3)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为( )A.8+4 B.6+ +22 2 3C.6+4 D.6+2 +22 2 3答案 A 考点三
5、空间几何体的体积1.(2018浙江温州适应性测试,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A. + B. + C. D.4+3 4+23答案 A 2.(2018浙江重点中学 12月联考,6)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.2 B. C. D.31035答案 C 炼技法【方法集训】方法 1 根据三视图确定直观图的方法1.(2018浙江 9+1高中联盟期中,15)某几何体的三视图如图所示,则俯视图的面积为 ;此几何体的体积为 . 答案 +2;+2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,14)一个几何体的三视图如图所示,正视图与俯视图为全等的矩形,侧视图为正方形
6、和一个圆,则该几何体的表面积为 ;体积为 . 答案 32+( -1);12-10方法 2 空间几何体的表面积和体积的求解方法1.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,5)某四棱锥的三视图如图所示(单位:cm),则该四棱锥的体积(单位:cm 3)是( )6A. B.C.4 D.8答案 B 2.(2018浙江嘉兴高三期末,6)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积(单位:cm 2)是( )A.36+24 B.36+122 5C.40+24 D.40+122 5答案 B 过专题【五年高考】A组 自主命题浙江卷题组考点一 三视图和直观图(2017 浙江,3,4 分)某几何体的三视
7、图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A. +1 B. +3 C. +1 D. +32 32 32答案 A 7考点二 空间几何体的表面积(2014 浙江,3,5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90 cm2B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2答案 D 考点三 空间几何体的体积1.(2018浙江,3,4 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 C 2.(2015浙江,2,5 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该
8、几何体的体积是( )A.8 cm3 B.12 cm3C. cm3 D. cm3323 403答案 C 3.(2016浙江,14,4 分)如图,在ABC 中,AB=BC=2,ABC=120.若平面 ABC外的点 P和线段 AC上的点 D,满足 PD=DA,PB=BA,则四面体 PBCD的体积的最大值是 . 8答案 B组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 三视图和直观图1.(2018课标全国文,9,5 分)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M到 N的路径中,最短路径的长度
9、为( )A.2 B.2 C.3 D.217 5答案 B 2.(2018北京理,5,5 分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 3.(2018课标全国文,3,5 分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )9答案 A 4.(2017北京文,6,5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.60 B.30 C.20 D.10答案 D 5.(2017课标
10、全国理,7,5 分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10 B.12 C.14 D.16答案 B 6.(2017北京理,7,5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )10A.3 B.2 C.2 D.22 3 2答案 B 7.(2016课标全国,6,5 分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20 B.24 C.28 D.32答案 C 考点二 空间几何体的表面积1.(2018课标全国文,
11、5,5 分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A.12 B.122C.8 D.102答案 B 2.(2016课标全国,9,5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36 B.54+18 C.90 D.815 5答案 B 3.(2016课标全国,6,5 分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 ( )28311A.17 B.18 C.20 D.28答案 A 4.
12、(2015课标,11,5 分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20,则 r=( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 B 5.(2015课标,9,5 分)已知 A,B是球 O的球面上两点,AOB=90,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC体积的最大值为 36,则球 O的表面积为( )A.36 B.64 C.144 D.256答案 C 6.(2017课标全国文,16,5 分)已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的球面上,SC 是球O的直径.若平面 SCA平面 SCB,SA=AC,SB=
13、BC,三棱锥 S-ABC的体积为 9,则球 O的表面积为 .答案 36考点三 空间几何体的体积1.(2018课标全国文,10,5 分)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC 1与平面 BB1C1C所成的角为 30,则该长方体的体积为( )A.8 B.6 C.8 D.82 2 3答案 C 122.(2018课标全国文,12,5 分)设 A,B,C,D是同一个半径为 4的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为 9 ,则三棱锥 D-ABC体积的最大值为( )3A.12 B.18 C.24 D.543 3 3 3答案 B 3.(2017课标全国理,8,5 分)已知圆柱的高
14、为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A. B. C. D.34答案 B 4.(2018江苏,10,5 分)如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 答案 5.(2017课标全国文,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD中,侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线 BC平面 PAD;(2)若PCD 的面积为 2 ,求四棱锥 P-ABCD的体积.7解析 本题考查线面平行的判定和体积的计算.(1)证明:在平面 ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以 BC
15、AD.又 BC平面 PAD,AD平面PAD,故 BC平面 PAD.(2)取 AD的中点 M,连接 PM,CM.由 AB=BC=AD及 BCAD,ABC=90得四边形 ABCM为正方形,则CMAD.13因为侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,所以 PMAD,PM底面 ABCD.因为 CM底面 ABCD,所以 PMCM.设 BC=x,则 CM=x,CD= x,PM= x,PC=PD=2x.2 3取 CD的中点 N,连接 PN,则 PNCD,所以 PN= x.142因为PCD 的面积为 2 ,7所以 x x=2 ,21427解得 x=-2(舍去)或 x=
16、2.于是 AB=BC=2,AD=4,PM=2 .3所以四棱锥 P-ABCD的体积 V= 2 =4 .2(2+4)2 3 3C组 教师专用题组考点一 三视图和直观图1.(2017课标全国理,4,5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90 B.63 C.42 D.36答案 B 142.(2015课标,6,5 分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D.答案 D 3.(2015重庆,5,5 分)某几何体的三视图
17、如图所示,则该几何体的体积为( )A. + B. + C. +2 D. +2答案 A 4.(2015安徽,7,5 分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+ B.2+ C.1+2 D.23 3 2 2答案 B 5.(2015陕西,5,5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3 B.4 C.2+4 D.3+415答案 D 6.(2014福建,2,5 分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A.圆柱 B.圆锥C.四面体 D.三棱柱答案 A 7.(2014辽宁,7,5 分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.8-2
18、B.8-C.8- D.8-答案 B 8.(2014湖北,5,5 分)在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.和 B.和C.和 D.和答案 D 9.(2014江西,5,5 分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )16答案 B 10.(2014课标,12,5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6 B.6 C.4 D.42 2答案 B 11
19、.(2014北京,7,5 分)在空间直角坐标系 O-xyz中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, ).若 S1,S2,S3分别是三棱锥 D-ABC在 xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面2积,则( )A.S1=S2=S3 B.S2=S1且 S2S 3C.S3=S1且 S3S 2 D.S3=S2且 S3S 1答案 D 考点二 空间几何体的表面积1.(2015北京,5,5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+ B.4+ C.2+2 D.55 5 5答案 C 172.(2014重庆,7,5 分)某几何体的三视图如图所示,则
20、该几何体的表面积为( )A.54 B.60C.66 D.72答案 B 3.(2014安徽,7,5 分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A.21+ B.18+ C.21 D.183 3答案 A 4.(2017课标全国文,15,5 分)长方体的长,宽,高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O的球面上,则球 O的表面积为 . 答案 14考点三 空间几何体的体积1.(2016课标全国,10,5 分)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则 V的最大值是( )A.4 B. C.6 D.92 323答案 B 2.(2
21、016北京,6,5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )18A. B. C. D.1答案 A 3.(2016山东,5,5 分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A. + B. + C. + D.1+ 23 26 26答案 C 4.(2015课标,6,5 分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8尺,米堆的高为 5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1斛米的体积约为 1
22、.62立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( )A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案 B 195.(2015湖南,10,5 分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为 材料利用率= ( )新工件的体 积原工件的体 积A. B.89 169C. D.4( 2-1)3 12( 2-1)3答案 A 6.(2015山东,7,5 分)在梯形 ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD绕 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
23、A. B. C. D.223 43 53答案 C 7.(2014课标,6,5 分)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D.1727 1027答案 C 8.(2014陕西,5,5 分)已知底面边长为 1,侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面2上,则该球的体积为( )A. B.4 C.2 D.323 43答案 D 209.(2014湖北,8,5 分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国
24、现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高 h,计算其体积 V的近似公式 V L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么,近似公式136V L2h相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )275A. B. C. D.227 258 15750 355113答案 B 10.(2018天津文,11,5 分)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,则四棱锥 A1-BB1D1D的体积为 . 答案 11.(2018天津理,11,5 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1
25、的棱长为 1,除面 ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点 E,F,G,H,M(如图),则四棱锥 M-EFGH的体积为 . 答案 11212.(2017课标全国理,16,5 分)如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O.D,E,F为圆 O上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以 BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为 .21答案 4 1513.(2017天津理,10,5 分)已
26、知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18,则这个球的体积为 . 答案 14.(2015天津,10,5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3. 答案 15.(2015江苏,9,5 分)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4的圆锥和底面半径为 2、高为 8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 . 答案 716.(2014江苏,8,5 分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1、S 2,体积分别为 V1、V 2,若它们的侧面积相等,且 =,则 的值是 . 1212答案 17
27、.(2014山东,13,5 分)三棱锥 P-ABC中,D,E 分别为 PB,PC的中点,记三棱锥 D-ABE的体积为 V1,P-ABC的体积为 V2,则 = . 12答案 18.(2016江苏,17,14 分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高 O1O是正四棱锥的高 PO1的 4倍.22(1)若 AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1为多少时,仓库的容积最大?解析 (1)由 PO1=2 m知 O1O=4PO
28、1=8 m.因为 A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥 P-A1B1C1D1的体积V 锥 =A1 PO1=622=24(m3);21正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积V 柱 =AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积 V=V 锥 +V 柱 =24+288=312(m3).(2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m),则 00,V 是单调增函数;3当 2 h6时,V0,V 是单调减函数.3故 h=2 时,V 取得极大值,也是最大值.323因此,当 PO1=2 m时,仓库的容积最大.3方法小结 (1)注意正四棱锥与正四棱柱底面相同,高的倍数关系.(2)选择中间关联变量 PO1
29、为主变量把相关边长与高用主变量表示出来,再把容积表示成主变量的函数.转化成求函数最值的问题,再考虑用导数求解.【三年模拟】一、选择题(每小题 4分,共 16分)1.(2019届浙江名校协作体高三联考,4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A. B.4 C.2 D.答案 B 2.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,5)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.163 323答案 B 3.(2018浙江浙东北联盟期中,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) 24A. + B. + C. +2 D. +2答案 A 4.(201
30、8浙江镇海中学期中,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.15 B.20 C.25 D.30答案 B 二、填空题(单空题 4分,多空题 6分,共 18分)5.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,13)某几何体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图均为腰长为 1(单位:cm)的等腰直角三角形,则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm 3. 答案 +1;26.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),13)已知某几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的表面积为 ,体积为 . 答案 +4; +1+ 24 127.(2018浙江温州二模(3 月),13)若某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 cm 3,表面积是 cm 2. 25答案 ;(2+5)32
