1、1第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断 的陈述句叫作命题 .其中 的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题 . (2)四种命题及其相互关系图 1-2-1特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性 . 2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果 pq,则 p 是 q 的 条件 . (2)如果 qp,则 p 是 q 的 条件 . (3)如果既有 pq,又有 qp,记作 pq,则 p 是 q 的 条件 . 常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若 p 是 q 的充分不必要条件, q 是 r 的充分不必要条件,则 p
2、是 r 的充分不必要条件;(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的充分不必要条件 .2.充分、必要条件与集合的关系使 p 成立的对象构成的集合为 A,使 q 成立的对象构成的集合为 Bp 是 q 的充分条件 ABp 是 q 的必要条件 BA2p 是 q 的充分不必要条件 ABp 是 q 的必要不充分条件 BAp 是 q 的充要条件 A=B题组一 常识题1.教材改编 对于下列语句: 垂直于同一直线的两条直线必平行吗? 作 ABCABC.x 2+2x-31”的 条件 . 题组二 常错题索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考
3、虑不全面;对充分必要条件判断错误 .5.命题“若 a2+b2=0,a,bR,则 a=b=0”的逆否命题是 . 6.已知命题“对任意 a,bR,若 ab0,则 a0”,则它的否命题是 . 7.若命题“ ax2-2ax-30 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是 . 8.条件 p:xa,条件 q:x2 . 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 ; 若 p 是 q 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是 . 9.已知 p 是 r 的充分不必要条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 的 条件 . 3探究点一 四种命题及其相互关系例 1 (1)
4、对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是 ( )A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上都不正确(2)给出以下四个命题: “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; “全等三角形的面积相等”的否命题; “若 q -1,则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题; 若 ab 是正整数,则 a,b 都是正整数 .其中为真命题的是 .(写出所有真命题的序号) 总结反思 (1)求一个命题的其他三种命题时,需注意: 对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写为“若 p,则 q”的形式; 若命题有大前提,写其他
5、三种命题时需保留大前提 .(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例 .(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假 .变式题 (1)已知命题 p:正数 a 的平方不等于 0,命题 q:若 a 不是正数,则它的平方等于 0,则 q 是 p 的( )A.逆命题 B.否命题C.逆否命题 D.否定(2)以下关于命题的说法正确的是 .(填写所有正确说法的序号) “若 log2(a+1)1,则函数 f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是增函数”是真命题;4 命题“若 a0,则 a(b+1)0”的否命题
6、是“若 a=0,则 a(b+1)=0”; 命题“若 x,y 都是偶数,则( x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题; 命题“若 a M,则 bM”与命题 “若 b M,则 aM”等价 .探究点二 充分、必要条件的判定例 2 (1)2018北京卷 设 a,b 均为单位向量,则“ |a-3b|=|3a+b|”是“ a b”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“函数 f(x)=a+ln x(xe)存在零点”是“ aa1”是“数列 an为递增数列”的 ( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条
7、件(2)“= ”是“sin 2 - cos 2= 1”的 ( ) 4 3A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件探究点三 充分、必要条件的应用例 3 方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是 ( )5A.0b 成立的必要而不充分条件是 ( )A.a-1b B.a+1bC.|a|b| D.a3b3(2)2018衡阳 4 月调研 已知 p:实数 m 满足 m2+12a20),q:方程 + =1 表示x2m-1 y22-m焦点在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 . 第 2 讲 命题及其关系、充分条件与
8、必要条件考试说明 1 .理解命题的概念;2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义 .【课前双基巩固】6知识聚焦1.真假 判断为真 判断为假2.(1)充分 (2)必要 (3)充要对点演练1. 解析 是疑问句,不是命题; 是祈使句,不是命题; 不能判断真假,不是命题; 是命题 .2.0 解析 为假命题,集合 N 中最小的数是 0; 为假命题,如 a= 不满足; 为假命题,12如 a=0,b=1,则 a+b=1,比 2 小; 为假命题,所给集合中的元素不满足互异性 .3.若整数 a 不是奇数,则 a 能被
9、2 整除 解析 以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题 .4.既不充分也不必要 解析 取 x= ,y= ,知充分性不成立;取 x=-1,y=3,知必要性不成立 .12 12故为既不充分也不必要条件 .5.若 a0 或 b0, a,bR,则 a2+b20 解析 “若 p,则 q”的逆否命题为“若 q,则 p”,又 a=b=0 的实质为 a=0 且 b=0,故其否定为 a0 或 b0 .6.对任意 a,bR,若 ab0,则 a0 解析 “对任意 a,bR”是大前提,在否命题中不变,又因为 ab0,a0 的否定分别为 ab0, a0,所以原命题的否命题为“对任意 a,bR,若a
10、b0,则 a0” .7.-3,0 解析 由已知可得 ax2-2ax-30 恒成立 .当 a=0 时, -30 恒成立;当 a0 时,得 解得 -3 aax|x2,则 a的取值范围是 a2 . 因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 x|x2 x|xa,则 a 的取值范围是 a1,得 a+12,所以 a1,所以 f(x)=logax 在其定义域内是增函数 .正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确 . 不正确,原命题的逆命题为“若( x+1)(y+1)是偶数,则 x,y 都是偶数”,是假命题,如(3 +1)(4+1)=20 为偶数,但 x=3,y=4. 正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价
11、.例 2 思路点拨 (1)将已知等式两边同时平方,可得出向量 a,b 的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为 a -1,从而得出结论 .(1)C (2)B 解析 (1)将 |a-3b|=|3a+b|两边平方,得 a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2.a ,b均为单位向量, a b=0,即 a b.反之,由 a b 可得 |a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件 .(2)因为 f(x)= 0,所以若函数 f(x)=a+ln x(xe)存在零点,则 f(e)0,即 a -1,因此1x“函数 f(x)=a+ln x(xe)存在零点”是“ a0,1a0 a
12、1,a0是 a1 .方法二(排除法):当 a=0 时,原方程有一个负实根,可以排除 A,D;当 a=1 时,原方程有两个相等的负实根,可以排除 B.所以选 C.变式题 (1)B (2) 解析 (1)“ ab”不能推出“ a-1b”,故选项 A 不是“ ab”13,38的必要条件,不满足题意;“ab”能推出“ a+1b”,但“ a+1b”不能推出“ ab”,故满足题意;“ab”不能推出“ |a|b|”,故选项 C 不是“ ab”的必要条件,不满足题意;“ab”能推出“ a3b3”,且“ a3b3”能推出“ ab”,故是充要条件,不满足题意 .故选 B.(2)由 a0,m2-7am+12a20.由
13、方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,x2m-1 y22-m可得 2-mm-10,解得 11,4a 32 3a 1,4abc,则 a2abc2”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 . 答案 1,0, -1(此题答案不唯一)解析 当 a=1,b=0,c=-1 时,满足 abc,不满足 a2abc2, 命题是假命题 .9故答案可以为 1,0,-1.例 2 配合例 2 使用 2018武汉 4 月调研 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知条件 p:a ,条件 q:A ,那么 p 是 q 成立的 ( )b+c2 B+C2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.
14、充要条件D.既不充分也不必要条件解析 A 由条件 p:a ,知 cos A= = = ,b+c2 b2+c2-a22bc b2+c2-(b+c2)22bc 3(b2+c2)-2bc8bc 6bc-2bc8bc 12当且仅当 b=c=a 时取等号,又 A(0,), 0 . 3 2 6 b+c2p 是 q 成立的充分而不必要条件 .故选 A.例 3 配合例 2 使用 2018莆田六中三模 在等比数列 an中, a2=-2,则“ a4,a12是方程 x2+3x+1=0 的两根”是“ a8=-1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 C 因为 a4,a12是方程 x2+3x+1=0 的两根,所以 a4a12=1,因此 =1,又因为 a2=-21 成立的一个充分1x而不必要条件是 ( )A.x0 B.x1, 1 成立的一个充分1x x-1x (0,12) 12 1x而不必要条件,故选 D.
