1、,HS八(下) 教学课件,第19章 矩形、菱形与正方形,19.3 正方形,学习目标,1.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重、难点) 2.探索并证明正方形的判定.(重、难点) 3.会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算 . (难点),观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.,你还能举出其他的例子吗？,情景引入,矩 形,矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？,正方形,新课讲解,正方形的性质,正方形,新课讲解,邻边相等,矩形,正方形,菱 形,一个角是直角,正方形,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.,新课讲
2、解,正方形的定义,已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.,A,B,C,D,证明：四边形ABCD是正方形.A=90, AB=AC （正方形的定义）. 又正方形是平行四边形，正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义).A=B =C =D = 90,AB= BC=CD=AD.,新课讲解,已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,证明：正方形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO.正方形ABCD是菱形.ACBD.,新课讲解,矩形,菱形,正 方 形,平行四边形
3、,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.,1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.,新课讲解,正方形的性质,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.,A,B,C,D,新课讲解,正方形的对称性,如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.,求证: ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四
4、边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都 是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO.,新课讲解,例1,如图，在正方形ABCD中， BEC是等边三角形. 求证： EADEDA15 .,证明： BEC是等边三角形， BE=CE=BC,EBC=ECB=60. 四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD,ABC=DCB=90， AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30， ABE、DCE是等腰三角形， BAE= BEA= CDE= CED=75， EAD= EDA=90-75=15.,新课讲解,例2,1.正方形具
5、有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等,B,D,新课讲解,2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积,解：四边形ABCD是正方形， ACBD，OAOD2. 在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周长为4AD ，面积为AD28.,新课讲解,准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.,正方形,猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？,矩形,正
6、方形,一组邻边相等,对角线互相垂直,新课讲解,正方形的判定,已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, ACDB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：四边形ABCD是矩形, AO=CO=BO=DO .ACDB, AD=AB=BC=CD,矩形ABCD是正方形.,A,B,C,D,O,求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.,新课讲解,把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.,正方形,菱形,猜想 ：满足怎样条件的菱形是正方形？,正方形,一个角是直角,对角线相等,已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
7、求证：四边形ABCD是正方形. 证明：四边形ABCD是菱形, AB=BC=CD=AD,ACDB. AC=DB, AO=BO=CO=DO, AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形， DAB=ABC=BCD=ADC=90,菱形ABCD是正方形.,A,B,C,D,O,求证：对角线相等的菱形是正方形.,新课讲解,正方形判定的几条途径：,正方形,正方形,+,+,先判定菱形,先判定矩形,矩形条件(二选一),菱形条件(二选一),一个直角或,一组邻边相等,对角线相等,或对角线垂直,新课讲解,正方形的判定,在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）,AAC=BD，ABCD，
8、AB=CD BADBC，A=C CAO=BO=CO=DO，ACBD DAO=CO，BO=DO，AB=BC,C,A,B,C,D,O,新课讲解,在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?,解答：四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90. AE=BF=CM=DN， AN=BE=CF=DM.,分析：由已知可证AENBFE CMFDNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.,新课讲解,例3,在AEN、BFE、CMF、DNM中，AE=BF=CM=DN,A=B=C=D,AN=BE=CF=DM, AEN
9、BFECMFDNM, EN=FE=MF=NM，ANE=BEF, 四边形EFMN是菱形，NEF=180（AEN+BEF）=180（AEN+ANE）=18090=90. 四边形EFMN是正方形 .,新课讲解,证明： DEAC，DFAB ， DEC= DFC=90. 又 C=90 ， 四边形EDFC是矩形. 过点D作DGAB，垂足为G. AD是CAB的平分线 DEAC，DGAB， DE=DG. 同理得DG=DF，ED=DF， 矩形EDFC是正方形.,如图，在直角三角形中，C=90，A、B的平分线交于点D.DEAC，DFAB.求证:四边形CEDF为正方形.,A,B,C,D,E,F,G,新课讲解,例4,
10、如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AF=AE （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)， 问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由,（1）证明：正方形ABCD， AB=AD，BAD=90， AFAC，EAF=90， BAF=EAD， 在ADE和ABF中， ADAB ，DAEBAF ，AEAF , ADEABF（SAS），BF=DE.,新课讲解,例5,（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：点E运动到AC的中点，AB=BC， BEAC，BE=AE= AC， AF=AE， BE=AF=AE. 又BEAC，FAE
11、=BEC=90， BEAF， BE=AF， 四边形AFBE为平行四边形， FAE=90，AF=AE， 平行四边形AFBE是正方形,新课讲解,2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ ） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2,A,1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线互相垂直且相等,A,随堂即练,3在正方形ABCD中,ADB= ,DAC= , BOC= .4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是 .,45,90,22.5,第3题,第4题,45,随堂即练,5.如图，
12、四边形ABCD中，ABC=BCD=CDA=90，请添加一个条件_， 可得出该四边形是正方形,AB=BC(答案不唯一),A,B,C,D,O,6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_（只填写序号）,(答案不唯一),随堂即练,7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC，求BE的长,解：四边形ABCD为正方形， B90，ACB45，ABBC1cm. EFAC，EFAEFC90. 又ECF45， EFC是等腰直角三角形，EFFC. BAEFAE，B
13、EFA90，AEAE， ABEAFE， ABAF1cm，BEEF. FCBE. 在RtABC中， FCACAF( 1)cm， BE( 1)cm,随堂即练,8. 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下： 四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE =90 . DCF=180-BCE=90. BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=DF.,A,B,D,C,F,E,随堂即练,延长BE交DF于点M, BCEDCF , CBE =CDF. DCF =90 , CDF +F =90, CBE+F=90 , BMF=90. BEDF.,A,B,D,F,E,C,M,随堂即练,1.四个角都是直角,2.四条边都相等,3.对角线相等且互相垂直平分,正方形的性质,性质,定义,有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.,课堂总结,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,课堂总结,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,
