1、2019,专题 2,三角函数与解三角形,02,目录,微专题05 三角函数的图象与性质,微专题06 三角恒等变换与解三角形,点击出答案,1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么?,2.求函数y=Asin(x+)的单调区间时应注意什么? (1)注意的符号,不要把单调性或区间左右的值弄反; (2)不要忘记写“+2k”或“+k”等,特别注意不要忘掉写“kZ”; (3)书写单调区间时,不要把弧度和角度混在一起.,3.三角函数的常用结论有哪些? (1)对于y=Asin(x+),当=k(kZ)时,其为奇函数;当=k+ 2 (kZ)时,其为偶函数;对称轴方程可由x+=k+ 2 (kZ)求得. (2)对于y=
2、Acos(x+),当=k+ 2 (kZ)时,其为奇函数;当=k(kZ)时,其为偶函数;对称轴方程可由x+=k(kZ)求得. (3)对于y=Atan(x+),当=k(kZ)时,其为奇函数.,4.三角函数图象的两种常见变换是什么?,1.同角关系公式有哪些?如何记忆诱导公式?(1)同角关系:sin2+cos2=1, sin cos =tan .(2)诱导公式,对于“ 2 ,kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.,2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角公式吗?(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin()=sin cos cos
3、sin ;cos()=cos cos sin sin ;tan()= tantan 1tantan .(2)二倍角公式:sin 2=2sin cos ,cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.(3)辅助角公式:asinx+bcosx= 2 + 2 sin(x+),其中tan = .,3.在三角恒等变换中,常见的拆角、拼角技巧有哪些? =(+)-,2=(+)+(-), = 1 2 (+)+(-), + 4 =(+)- 4 , = + 4 - 4 .,4.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么? 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)正弦定理: 在ABC中
4、, sin = sin = sin =2R(R为ABC的外接圆半径). 变形:a=2Rsin A,sinA= 2 ,abc=sin AsinBsinC.(2)余弦定理: 在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A. 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cosA= 2 + 2 2 2 .(3)三角形面积公式: SABC= 1 2 absinC= 1 2 bcsinA= 1 2 acsinB.,5.已知三角形两边及其一边的对角,用正弦定理解三角形时要注意什么? 若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在ABC中,ABsin Asin B.,三角函数与解三角形是高考考
5、查的重点和热点.三角函数的定义、图象、性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考查.其中同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式是解决化简、计算问题的工具,“角”的变换是三角恒等变换的核心.解三角形多以解答题的形式考查,常与三角恒等变换结合,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 一、选择题和填空题的命题特点(一)三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点,考查主要从以下两个方面进行: (1)三角函数的图象,主要涉及图象变换以及由图象确定解析式;(2)利用三角函数的性质求解三角函数中有关值、参数、最值、值域、单调区间等问题.,命题特点,1.(2018全国卷文T
6、8改编)已知函数f(x)=2cos22x+5,则( ). A.f(x)的最小正周期为,最大值为7 B.f(x)的最小正周期为2,最小值为5 C.f(x)的最小正周期为2,最大值为7 D.f(x)的最小正周期为 2 ,最小值为5,D,答案,解析,解析 f(x)=cos222x+5=cos 4x+6,故f(x)的最小正周期为 2 ,最大值为7,最小值为5.,2.(2016全国卷理T7改编)若将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移 12 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一个对称中心是( ). A. 24 ,0 B. 6 ,0 C. 6 ,0 D. 12 ,0,D,答案
7、,解析,解析 由题意可知函数f(x)=sin 2x的图象向右平移 12 个单位长度,得到函数g(x)=sin 2 12 =sin 2 6 的图象. 令2x- 6 =k(kZ),得x= 12 + 2 (kZ), 由此可得y=g(x)图象的一个对称中心是 12 ,0 ,故选D.,(二)三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决问题的工具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换.“角”的变换是三角恒等变换的核心. 3.(2018全国卷理T15改编)已知sin +cos = 6 3 ,sin -cos =1,则sin(
8、-)=( ). A.- 1 12 B.- 1 6 C. 1 6 D. 1 12,B,答案,解析,解析 将sin +cos = 6 3 的等式两边平方得sin2cos+2+2sin cos = 2 3 , 将sin -cos =1的等式两边平方得sin2+cos2-2sin cos =1. +得sin(-)=- 1 6 ,故选B.,4.(2018全国卷文T4改编)已知tan = 1 2 ,则sin 2-2cos2=( ). A.-1 B.- 4 5 C. 4 5 D.- 3 4,B,答案,解析,解析 sin 2-cos22= sin22co s 2 1 = 2sincos2co s 2 si n
9、 2 +co s 2 = 2tan2 ta n 2 +1 =- 4 5 ,故选B.,(三)正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 5.(2018全国卷文T16改编)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 3 bsinC+ 3 csinB=4asin BsinC,且2bsin B+2csin C=bc+ 3 a,则ABC面积的最大值为( ). A. 3 3 2 B. 3 2 C. 3 3 4 D. 3 4,C,答案,解析,解析 根据题意,结合正弦定理可得3 sin BsinC+ 3 sin CsinB=4sin Asin
10、BsinC, 即sin A= 3 2 . 2bsin B+2csin C=bc+ 3 a, bsinB+csinC= 1 2 bc+ 3 2 a, bsinB+csinC= 3 3 bcsinA+asinA, 则b2+c2= 3 3 abc+a2. 由余弦定理可得2bccos A= 3 3 abc,解得a=2 3 cos A= 3 . 由b2+c2=bc+32bc,得bc3,从而SABC= 1 2 bcsinA 3 3 4 ,故选C.,6.(2018全国卷文T11改编)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C=( ). A.
11、- 3 4 B.- 4 3 C. 3 4 D. 4 3,B,答案,解析,解析 2S=(a+b)2-c2, absinC=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab, sin C=2cos C+2, sin2C=(2cos C+2)2=1-cos2C, 即5cos2C+8cos C+3=0, cos C=- 3 5 (cos C=-1舍去), sin C= 4 5 ,tan C= sin cos =- 4 3 ,故选B.,二、解答题的命题特点 高考全国卷中有关解三角形的解答题,主要涉及利用正、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算,两个定理与三角恒等变换的结合.这
12、类试题一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质. (2018全国卷理T17改编)如图,在四边形ABCD中,cosDAB=- 1 4 , = 2 3 ,BD=4,ABBC. (1)求sinABD的值; (2)若BCD= 4 ,求CD的长.,答案,解析,解析 (1)因为 = 2 3 ,所以设AD=2k,AB=3k,其中k0. 在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcosDAB, 所以16=9k2+4k2-23k2k 1 4 ,解得k=1,则AD=2,而sinDAB= 1 1 4 2 = 15 4 . 在ABD中,由正弦定理得sinABD= sinDAB= 2
13、 4 15 4 = 15 8 . (2)由(1)可知,sinABD= 15 8 ,而ABBC, 则sinCBD=sin 2 ABD =cosABD= 1 15 8 2 = 7 8 .在BCD中,BCD= 4 , 由正弦定理得CD= sin sin BD= 7 8 2 2 4= 7 2 2 .,关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.,规律方法,1.已知角的终边经过点P(-5,-12),则sin 3 2 + 的值等于( ). A.- 5 13 B.- 12 13 C
14、. 5 13 D. 12 13,C,答案,解析,微专题 05 三角函数的图象与性质数,返,解析 因为角的终边经过点P(-5,-12), 由三角函数的定义可知cos = = 5 (5 ) 2 +(12 ) 2 =- 5 13 , 所以sin 3 2 + =-cos = 5 13 .,2.已知函数f(x)=sin(x+)(0),满足f(x1)=-1,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为 4 ,则=( ). A.2 B.1 C. 1 2 D.4,A,答案,解析,解析 由题意可知|x1-x2|的最小值为 4 ,所以T= 4 4=,所以= 2 =2,故选A.,3.将函数y=cos 3x的图象向左平
15、移 4 个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( ). A.y=cos 3+ 4 B.y=cos 3 4 C.y=cos 3 3 4 D.y=cos 3+ 3 4,D,答案,解析,解析 由函数图象的平移规则可知y=cos 3x的图象向左平移 4 个单位长度得到y=cos 3 + 4 的图象,即所求函数解析式是y=cos 3+ 3 4 ,故选D.,4.给出下列结论: 函数y=sin(k-x)(kZ)为奇函数; 函数y=tan 2+ 6 的图象关于点 12 ,0 对称; 函数y=cos 2+ 3 的图象的一条对称轴为直线x=- 2 3 ; 若tan(-x)=2,则sin2x= 1 5 . 其中正确
16、结论的序号为 .,答案,解析,解析 y=sin(k-x)=(-1)k-1sin x是奇函数,故正确; tan 2 12 + 6 = 3 ,故不正确; cos 2 2 3 + 3 =-1,故正确; tan(-x)=-tan x=2,tan x=-2,sin2x= si n 2 x si n 2 x+co s 2 x = ta n 2 x ta n 2 x+1 = 4 5 ,故不正确. 综上,正确结论的序号为.,【例1】 已知函数f(x)=2 3 sin xcosx+2cos2x+m-1在 0, 2 上的最小值为-2. (1)求m的值及f(x)图象的对称轴; (2)求f(x)的单调递增区间.,答案
17、,解析,典型例题,解析 (1)由已知得f(x)= 3 sin 2x+cos 2x+m=2sin 2+ 6 +m. 0x 2 , 6 2x+ 6 7 6 , 当2x+ 6 = 7 6 ,即x= 2 时,f(x)min=2 1 2 +m=-2, m=-1,此时f(x)=2sin 2+ 6 -1. 由2x+ 6 =k+ 2 (kZ),解得x= 2 + 6 (kZ), f(x)图象的对称轴为直线x= 2 + 6 (kZ). (2)由- 2 +2k2x+ 6 2 +2k(kZ),可得- 3 +kx 6 +k(kZ), f(x)的单调递增区间为 3 +k, 6 +k (kZ).,有关函数y=Asin(x+
18、)+B的性质及应用问题的求解思路:第一步,先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(x+)+B的形式;第二步,把“x+”视为一个整体,借助复合函数性质求解y=Asin(x+)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.,方法归纳,已知函数f(x)=sin 2+ 3 ,则下列结论正确的是( ). A.f(x)的图象关于直线x= 3 对称 B.f(x)的图象关于点 4 ,0 对称 C.把f(x)的图象向左平移 12 个单位长度,得到一个偶函数的图象 D.f(x)的最小正周期为,且在 0, 6 上为增函数,C,答案,解析,变式训练,解析 把x= 3 代入函数f(x)的解析式得f
19、3 =sin =0,故A不正确; 把x= 4 代入函数f(x)的解析式得f 4 =sin 2 + 3 =cos 3 = 1 2 0,故B不正确; 函数f(x)=sin 2+ 3 的图象向左平移 12 个单位长度,得到g(x)=sin 2 + 12 + 3 =sin 2+ 6 + 3 =cos 2x的图象,g(x)是偶函数,故C正确; 由题意知函数f(x)的最小正周期为,令2k- 2 2x+ 3 2k+ 2 (kZ),解得k- 5 12 xk+ 12 (kZ),所以函数f(x)的单调递增区间为 5 12 ,k+ 12 (kZ).令k=0,得- 5 12 x 12 ,令k=1,得 7 12 x 1
20、3 12 ,所以函数f(x)在 0, 6 上为增函数是错误的,故D不正确.故选C.,【例2】 已知函数y=Asin(x+)(A0,0)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为( ).,答案,解析,典型例题,A.y=2sin 2 6 B.y=2sin 2 3 C.y=2sin 2+ 6 D.y=2sin 2+ 3,解析 (法一)由图象知 2 = 3 - 6 = 2 ,故T=,因此= 2 =2.又图象的一个最高点的坐标为 3 ,2 ,所以A=2,且2 3 +=2k+ 2 (kZ),故=2k- 6 (kZ),结合选项可知y=2sin 2 6 . (法二)当x= 3 ,y=2时,排除B,C,D.故选A.
21、,已知图象求解析式y=Asin(x+)+B(A0,0)的方法: (1)A= max min 2 ,B= max + min 2 . (2)已知函数的周期T,则= 2 . (3)求的常用方法: 代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入解析式(A,B已知)求解. 五点法:确定值时,一般以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.具体如下:“第一点”满足x+=0;“第二点”满足x+= 2 ;“第三点”满足x+=;“第四点”满足x+= 3 2 ;“第五点”满足x+=2.,方法归纳,已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则函数g(x)=Acos(x+)图象的一个对称中心为(
22、). A. 6 ,0 B. 12 ,0 C. 2 ,0 D. 5 6 ,0,B,答案,解析,变式训练,解析 由函数f(x)=Asin(x+)的部分图象知,A=1,T=4 7 12 3 =,=2. 由五点法画图知, 7 12 2+= 3 2 +2k,kZ,解得= 3 +2k(kZ). |,= 3 , f(x)=sin 2+ 3 ,则g(x)=cos 2+ 3 . 由2x+ 3 = 2 +k(kZ),解得x= 2 + 12 (kZ). 当k=0时,对称中心为 12 ,0 ,故选B.,【例3】 将函数f(x)=sin 2xcos +cos 2xsin | 2 的图象向左平移 3 个单位长度后的图象关
23、于原点对称,则函数f(x)在 0, 2 上的最小值为( ). A.- 3 2 B. 3 2 C.- 1 2 D. 1 2,答案,解析,典型例题,解析 由已知f(x)=sin(2x+) | 2 的图象向左平移 3 个单位长度后,得到函数y=sin 2 + 3 + =sin 2+ 2 3 + 的图象, 再根据所得图象关于原点对称,可得 2 3 +=k,kZ,= 3 +k(kZ). 由| 2 ,得= 3 ,故f(x)=sin 2+ 3 . x 0, 2 ,2x+ 3 3 , 4 3 , 故当2x+ 3 = 4 3 时,f(x)=sin 2+ 3 取得最小值,最小值为- 3 2 ,故选A.,由y=si
24、n x的图象变换得到y=sin(x+)(0)的图象一般有两个途径: 途径一,先平移变换,再伸缩变换.先将y=sin x的图象向左(0)或向右(0)倍,得到y=sin(x+)的图象. 途径二,先伸缩变换,再平移变换.先将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的 1 (0)倍,再沿x轴向左(0)或向右(0)平移 | 个单位长度,得到y=sin(x+)的图象. 只有区分这两个途径,才能灵活进行图象变换.,方法归纳,已知函数f(x)=cos(2x-)- 3 sin(2x-) | 2 的图象向右平移 12 个单位长度后关于y轴对称,则的值为( ). A. 12 B. 6 C.- 3 D. 3,B,答
25、案,解析,变式训练,解析 由题意得函数f(x)=cos(2x-)- 3 sin(2x-)=2cos 2+ 3 | 2 , 所以函数f(x)的图象向右平移 12 个单位长度后,可得y=2cos 2 6 + 3 =2cos 2+ 6 的图象. 由于所得图象关于y轴对称,故-+ 6 =k,kZ,又因为| 2 ,所以= 6 ,故选B.,【例4】 已知函数f(x)=sin x,将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 1 2 (纵坐标不变),再将所得函数图象向左平移 4 个单位长度,得到函数g(x)的图象. (1)求g(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)+g(x)=m,x(0,)有4个不同
26、的根,求实数m的取值范围.,答案,解析,典型例题,解析 (1)g(x)=sin 2 + 4 =sin 2+ 2 =cos 2x, 即g(x)的解析式为g(x)=cos 2x. (2)f(x)+g(x)=sin x+cos 2x=sin x+1-2sin2x=m. 令sin x=t(x(0,),则t(0,1, 当t=1是方程2t2-t+m-1=0的根时,原方程只有1个根,不符合题意. 所以关于x的方程f(x)+g(x)=m,x(0,)有4个不同的根,等价于关于t的方程2t2-t+m-1=0在(0,1)上有2个不同的根, 令h(t)=2t2-t+m-1, 则有 (0)=10, (1)=0, =18
27、(1)0, 解得1m 9 8 . 故m的取值范围是 1, 9 8 .,解决三角函数的综合问题,要注意整体思想、数形结合思想的运用.如对于 2 + 2 sin(x+)型的函数,先视“x+”为整体,再利用sin x的性质来求解.,方法归纳,已知函数y=Asin(x+) 0,0,| 2 的图象过点P 12 ,0 ,且图象上与P点最近的一个最高点的坐标为 3 ,5 . (1)求该函数的解析式; (2)若将此函数的图象向左平移 6 个单位长度后,再向下平移2个单位长度得到g(x)的图象,求g(x)在 6 , 3 上的值域.,答案,解析,变式训练,解析 (1)由已知可得A=5, 4 = 3 - 12 =
28、4 , T=,=2,y=5sin(2x+). 由5sin 2 12 + =0得 6 +=2k,kZ,| 2 ,=- 6 , y=5sin 2 6 . (2)g(x)=5sin 2 + 6 6 -2 =5sin 2+ 6 -2. - 6 x 3 ,- 6 2x+ 6 5 6 , - 1 2 sin 2+ 6 1,- 9 2 g(x)3, g(x)在 6 , 3 上的值域为 9 2 ,3 .,D,答案,解析,微专题 06 三角恒等变换与解三角形,返,1.已知 cos2 2 sin 4 = 5 2 ,则tan + 1 tan =( ). A.- 1 8 B.-8 C. 1 8 D.8,解析 因为 c
29、os2 2 sin 4 = co s 2 si n 2 sincos =-(cos +sin )= 5 2 , 所以sin cos = 1 8 , 而tan + 1 tan = sin cos + cos sin = 1 sincos =8,故选D.,2.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,其中ba且2asin(A+B)= 3 c,则角A等于( ). A. 3 B. 3 或 2 3 C. 6 D. 6 或 5 6,A,答案,解析,解析 由诱导公式可得sin(A+B)=sin(-C)=sin C, 利用正弦定理可得2sin AsinC= 3 sin C,解得sin A= 3 2
30、, 即A= 3 或A= 2 3 , 又ba,所以A= 3 ,故选A.,3.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,且a2-ab=c2-ac,则cos C的值为( ). A. 1 2 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2,A,答案,解析,解析 由a,b,c成等比数列得b2=ac, 代入a2-ab=c2-ac,得a2+b2-c2=ab, 则cos C= 2 + 2 2 2 = 2 = 1 2 ,故选A.,4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45,沿A向北偏东30方向前进100 m
31、后到达B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度为 .,50 m,答案,解析,解析 如图所示,DC平面ABC,AB=100 m,DBC=30,DAC=45,CAB=60.设CD=h m,则AC=h m, 同理可得BC= 3 h m. 在ABC中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos 60, 则( 3 h)2=h2+1002-2h100 1 2 , 化为h2+50h-5000=0,解得h=50, 因此水柱的高度是50 m.,【例1】 (1)设 0, 2 , 0, 2 ,且tan = 1+sin cos ,则( ). A.3-= 2 B.3+= 2 C.2-= 2 D.2+= 2 (2
32、)已知cos + 4 = 2 10 , 0, 2 ,cos = 1 3 ,(0,),则cos(-2)的值为 .,答案,解析,典型例题,解析 (1)由tan = 1+sin cos ,得 sin cos = 1+sin cos ,即sin cos =cos +sin cos , 所以sin(-)=cos . 又cos =sin 2 , 所以sin(-)=sin 2 . 因为 0, 2 , 0, 2 , 所以- 2 - 2 ,0 2 - 2 . 所以-= 2 -,所以2-= 2 .,解析 (2)因为 0, 2 ,所以+ 4 4 , 3 4 . 因为cos + 4 = 2 10 ,所以sin + 4
33、 = 7 2 10 , 所以sin =sin + 4 4 =sin + 4 cos 4 -cos + 4 sin 4 = 7 2 10 2 2 - 2 10 2 2 = 3 5 , 所以cos = 4 5 . 因为cos = 1 3 ,(0,),所以sin = 2 2 3 , 所以sin 2= 4 2 9 ,cos 2=- 7 9 , 所以cos(-2)=cos cos 2+sin sin 2= 4 5 7 9 + 3 5 4 2 9 = 12 2 28 45 .,三角恒等变换中的“四大策略”: (1)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2+cos2=tan 45. (2)项的分拆与角的
34、配凑:sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等. (3)降幂与升幂:正用和逆用二倍角公式. (4)弦、切互化:切化弦,弦化切,减少函数种类.,方法归纳,已知 2 , ,且sin = 1 3 . (1)求sin 2的值; (2)若sin(+)=- 3 5 , 0, 2 ,求sin 的值.,答案,解析,变式训练,解析 (1) 2 , ,且sin = 1 3 , cos =- 2 2 3 , 故sin 2=2sin cos =- 4 2 9 . (2) 2 , , 0, 2 , + 2 , 3 2 . 由sin(+)=- 3 5 得cos(+)=- 4 5 , 故sin
35、=sin(+)- =sin(+)cos -cos(+)sin = 3 5 2 2 3 - 4 5 1 3 = 4+6 2 15 .,【例2】 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3 c cos =tan A+tanB. (1)求角A的大小; (2)设D为AC边上的一点,且BD=5,DC=3,a=7,求c的值.,答案,解析,典型例题,解析 (1)在ABC中, 3 c cos =tan A+tanB, 3 sin sincos = sin cos + sin cos , 即 3 sin sincos = sincos+sincos coscos , 3 sin = 1 cos ,
36、则 tan A= 3 ,A= 3 . (2)BD=5,DC=3,a=7, 由余弦定理可得cosBDC= 25+949 235 =- 1 2 , BDC= 2 3 , 又A= 3 , ABD为等边三角形,c=5.,在解三角形中,利用已知条件进行化简变形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理进行边角互化,减少变量的数量,在边化角的运算中注意切化弦思想及三角恒等变换的应用.,方法归纳,已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 + =1- sin sin+sin . (1)求角C的大小; (2)若SABC=2 3 ,a+b=6,求边c.,答案,解析,变式训练,解析 (1) + =1- s
37、in sin+sin = sin+sinsin sin+sin . 由正弦定理得 + = + + , 化简得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得cos C= 2 + 2 2 2 = 1 2 . C(0,),C= 3 . (2)由(1)知C= 3 ,又SABC= 1 2 absinC= 1 2 ab 3 2 =2 3 ,ab=8. 由余弦定理得c2=a2+b2-2ab 1 2 =(a+b)2-3ab=12, c=2 3 .,【例3】 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,且4S= 3 (a2+b2-c2). (1)求角C的大小; (2)若f(x)=4sin xcos
38、 + 6 +1,且当x=A时,f(x)取得最大值b,试求S的值.,答案,解析,典型例题,解析 (1)由已知得4 1 2 absinC= 3 (a2+b2-c2)=2 3 abcosC,即tan C= 3 . 因为C(0,),所以C= 3 . (2)f(x)=4sin x 3 2 cos 1 2 sin +1 =2 3 sin xcosx-2sin2x+1 = 3 sin 2x+cos 2x=2sin 2+ 6 . 当2x+ 6 =2k+ 2 (kZ),即x=k+ 6 (kZ)时,f(x)max=2. 因为A(0,),所以A= 6 ,b=2, 故B=-A-C= 2 ,a=bsinA=1,c=bs
39、inC= 3 , 所以S= 1 2 acsinB= 3 2 .,求解有关解三角形与三角函数的综合问题,要注意三角形内角的范围,一般是先定角,再定范围,最后利用三角函数的单调性和倍角公式进行转化.,方法归纳,设函数f(x)=sin 2+ 6 +sin2x-cos2x. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若角A满足f(A)=1,a= 3 ,ABC的面积为 3 2 ,求b+c的值.,答案,解析,变式训练,解析 (1)f(x)= 3 2 sin 2x+ 1 2 cos 2x-cos 2x= 3 2 sin 2x- 1 2 cos 2x=sin 2 6 . 令- 2 +2k2x- 6 2 +2k,
40、kZ, 得- 6 +kx 3 +k,kZ. f(x)的单调递增区间为 6 +k, 3 +k ,kZ. (2)由题意知f(A)=sin 2 6 =1,0A,- 6 2A- 6 11 6 , 2A- 6 = 2 ,解得A= 3 . S= 1 2 bcsinA= 3 2 ,bc=2. 又b2+c2-2bccos 3 =3,化简得(b+c)2-3bc=3, 则(b+c)2=9,b+c=3.,【例4】 如图,在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=4,b=2,sin 2C=sin B,D,E均为线段BC上的点,且BD=CD,BAE=CAE. (1)求线段AD的长; (2)求ADE的面积
41、.,答案,解析,典型例题,解析 (1)由sin 2C=sin B得cos C= sin 2sin = 2 . 因为c=4,b=2,所以cos C= 2 = 1 4 . 由余弦定理得cos C= 2 + 2 2 2 = 2 +416 4 = 1 4 ,所以a=4,即BC=4. 在ACD中,CD=2,AC=2,所以AD2=AC2+CD2-2ACCDcos C=6, 所以AD= 6 . (2)因为AE是BAC的平分线, 所以 = 1 2 ABAEsin 1 2 ACAEsin = =2.又 = ,所以 =2,所以EC= 1 3 BC= 4 3 ,DE=2- 4 3 = 2 3 . 因为cos C=
42、1 4 ,所以sin C= 1co s 2 C = 15 4 , 所以SADE=SACD-SACE= 1 2 22 15 4 - 1 2 2 4 3 15 4 = 15 6 .,求三角形的中线或角平分线长度,常借助中线与角平分线把一个三角形分为两个三角形,分析两个三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理求解,此外利用平面向量法也可以求解.,方法归纳,在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a, b,c,已知b(1+2cos C)=2acos C+ccosA. (1)证明:a=2b. (2)若ABC的面积S=4sin C,D为线段AB的中点, = 6 ,求c.,答案,解析,变式训练,解析 (1
43、)因为b(1+2cos C)=2acos C+ccosA, 所以sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+sinCcosA, 所以sin(A+C)+2sin BcosC=2sin AcosC+cosAsinC, 所以2sin BcosC=sin AcosC. 又0C 2 ,所以2sin B=sin A,即a=2b. (2)因为S= 1 2 2bbsin C=4sin C,所以b=2,a=4. 在ADC中,cosADC= 2 +A 2 A 2 2 , 在BDC中,cosBDC= 2 +C 2 B 2 2 ,又ADC+BDC=,所以cosADC+cosBDC=0, 由 2 +A 2 A 2 2 + 2 +C 2 B 2 2 =0,代入数据得 6+ 2 4 4 6 c + 2 4 +616 6 c =0,得c=4.,
