1、2019,专题 6,解析几何,06,目录,微专题17 直线方程与圆的方程,微专题18 圆锥曲线的标准方程与几何性质,微专题19 直线与椭圆的综合,微专题20 直线与抛物线的 综合,点击出答案,一、直线和圆1.如何判断两条直线平行与垂直?,2.如何判断直线与圆的位置关系?,3.如何判断圆与圆的位置关系?,4.如何求直线与圆相交得到的弦长?,2.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些?,3.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?,三、直线与圆锥曲线的位置关系 1.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系?,2.如何求圆锥曲线的弦长?,3.直线与圆锥曲线相交时,弦中点坐标与直线的斜率是什么关系?试用点差法
2、进行推导.,返,1.直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所下降,其中两条直线的平行与垂直,点到直线的距离,两点间的距离是命题的热点.圆与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆的方程,直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切、相交.2.圆锥曲线主要考查的问题(1)圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,这部分是每年必考内容,虽然大纲降低了对双曲线的要求,但在选择题中仍然会考查双曲线.圆锥曲线可单独考查,也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查,突出考查学生的运算能力和转化思想.(2)直线与圆锥曲线的位置关系:此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,通常从圆锥曲线的概念入手,从不同角度
3、考查,或探究平分面积的线、平分线段的点(线),或探究使其解析式成立的参数是否存在.,命题特点,(3)圆锥曲线的参数范围、最值问题:该考向多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数、方程、不等式、向量等知识交汇,形成轨迹、范围、弦长、面积等问题. 从近几年高考情形来看,该类专题在高考中占的比例大约为20%,一般是一个解答题和两个小题,难度比例适当.一、选择题和填空题的命题特点(一)考查直线与圆的方程,难度中等,主要考查圆的方程、直线与圆相交形成的弦长、直线与圆相切或相交的有关问题.,命题特点,1.(2018全国卷文T15改编)直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,当|AB|=2 2
4、 时,k= .,1,答案,解析,解析 圆的标准方程为x2+(y+1)2=4,其圆心为(0,-1),半径为2,设圆心到直线kx-y+1=0的距离为d,则d= 2 1+ 2 .因为|AB|=2 2 2 =2 4 2 =2 2 ,所以d= 2 ,所以 2 1+ 2 = 2 ,所以k=1.,2.(2018全国卷文T8改编)已知A(-2,0),B(0,-2),则圆(x-2)2+y2=2上一点P到AB所在直线距离的取值范围是( ). A.2,6 B.4,8C. 2 ,3 2 D.2 2 ,3 2 ,C,答案,解析,解析 根据题意得AB所在的直线方程为x+y+2=0,则圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距
5、离d= |2+0+2| 2 =2 2 .又因为半径r= 2 ,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为2 2 + 2 =3 2 ,最小值为2 2 - 2 = 2 ,故选C.,(二)考查圆锥曲线的概念与标准方程,难度中等,主要考查圆锥曲线的定义、代入法求轨迹方程以及待定系数法求标准方程. 3.(2018北京卷文T12改编)若双曲线 2 2 - 2 4 =1(a0)的渐近线方程为y= 1 2 x,则a= .,4,答案,解析,解析 因为a0,根据题意,双曲线的渐近线方程为y= 2 x= 1 2 x,所以a=4.,4.(2018天津卷文T7改编)已知双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)
6、的渐近线方程为y= 3 x,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1,d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( ). A. 2 3 - 2 9 =1 B. 2 9 - 2 3 =1 C. 2 4 - 2 12 =1 D. 2 12 - 2 4 =1,A,答案,解析,解析 由题意可得图象,如图,CD是双曲线的一条渐近线y= x,即bx-ay=0,右焦点为F(c,0),且ACCD,BDCD,EFCD,所以四边形ABCD是梯形.又因为F是AB的中点,所以EF= 1 + 2 2 =3,得EF= 2 + 2 =b,所以b=3.又 = 3 ,所以a
7、= 3 ,故双曲线的方程为 2 3 - 2 9 =1,故选A.,(三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心率、范围、对称性、渐近线、准线等性质. 5.(2018全国卷文T4改编)已知椭圆C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的一个焦点为(2,0),离心率为 2 2 ,则C的标准方程为( ).A. 2 8 + 2 2 =1 B. 2 12 + 2 4 =1C. 2 8 + 2 4 =1 D. 2 8 + 2 6 =1,C,答案,解析,解析 因为椭圆焦点在x轴上,且c=2,离心率e= = 2 2 ,解得a=2 2 ,所以b=2,故C的标准方程为 2 8 + 2 4 =1,故选C.
8、,6.(2018全国卷文T10改编)已知点(4,0)到双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的渐近线的距离为2 2 ,则C的离心率为( ).A. 2 B.2C. 3 2 2 D.2 2,A,答案,解析,解析 由题意可知双曲线的一条渐近线为y= x,即bx-ay=0,故点(4,0)到C的渐近线的距离d= |4| 2 + 2 =2 2 ,整理可得a=b,故双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的离心率e= = 1+ 2 2 = 2 , 故选A.,(四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与取值范围问题
9、. 7.(2017全国卷文T12改编)已知椭圆C: 2 3 + 2 =1离心率的取值范围为 6 3 ,1 ,则m的取值范围为( ).A.(0,19,+) B.(0, 3 9,+)C.(0,14,+) D.(0, 3 4,+),A,答案,解析,解析 当03时,焦点在y轴上,则 = 1 2 6 3 , 3 3 ,即 3 3 3 ,得m9.故m的取值范围为(0,19,+),故选A.,8.(2017全国卷文T5改编)已知双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的虚轴长为2,实轴长大于2,则双曲线C的离心率的取值范围是( ).A.( 2 ,+) B.( 2 ,2)C.(1, 2 ) D.(1,
10、2),C,答案,解析,解析 由题意知,b=1,a1,则e2= 2 2 = 2 +1 2 =1+ 1 2 . 因为a1,所以11+ 1 2 2,则1e 2 ,故选C.,二、解答题的命题特点圆锥曲线的综合试题一般为第20题,是全国卷中的压轴题,难度较大,综合性强,题型变化灵活,能考查学生的数学综合能力,是出活题、考能力的代表.由于向量、导数等内容的充实,圆锥曲线试题逐渐向多元化、交汇型发展,试题既保证突出运用坐标法研究图形几何性质,考查解析几何的基本能力的同时,又聚焦于轨迹、参数的取值范围、定值、定点和最值问题的动态变化探究,考查解析几何的核心素养.主要题型有点的轨迹与曲线的方程、直线与圆锥曲线的
11、位置关系、圆锥曲线的最值与取值范围、定点与定值问题等.,命题特点,2主要命题方向: (一)用坐标法判断图形的几何性质 1.(2018全国卷文T20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.,解析,解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0). 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 =(1), 2 =4x, 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. =16k2+160,故x1+x2= 2 2 +4 2 . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(
12、x1+1)+(x2+1)= 4 2 +4 2 . 由题设知 4 2 +4 2 =8,解得k=-1(舍去)或k=1. 因此l的方程为y=x-1.,(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0), 则 0 = 0 +5, ( 0 +1 ) 2 = ( 0 0 +1 ) 2 2 +16, 解得 0 =3, 0 =2 或 0 =11, 0 =6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,2.(2017全国卷T20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: 2 2
13、 +y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足 = 2 . (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且 =1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,解析,解析 (1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 = 2 得x0=x,y0= 2 2 y. 因为M(x0,y0)在C上,所以 2 2 + 2 2 =1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.,(2)由题意知F(-1,0). 设Q(-3,t),P(m,n), 则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m
14、,t-n). 由 =1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以 =0,即 . 又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,(二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围) 3.(2018北京卷文T20)已知椭圆M: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的离心率为 6 3 ,焦距为2 2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q
15、 7 4 , 1 4 共线,求k.,解析,解析 (1)由题意得 2 = 2 + 2 , = 6 3 , 2=2 2 , 解得 = 3 , =1. 所以椭圆M的方程为 2 3 +y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 =+, 2 3 + 2 =1, 得4x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=- 3 2 ,x1x2= 3 2 3 4 . 所以|AB|= ( 2 1 ) 2 +( 2 1 ) 2 = 2( 2 1 ) 2 = 2( 1 + 2 ) 2 4 1 2 = 123 2 2 . 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为 6 .
16、,解析,解析,规律方法,1.圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、范围、对称性、渐近线、准线等.这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线方程.对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲线的几何性质并灵
17、活应用,是解题的关键. 3.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题,综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.,规律方法,4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的关系式,再利用题设条件化简、变形求得定值.(3)求某条线段长度为定值.利用长度公式求得关系式,再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得定值.5.(1)解决是否存在常数(或定点)的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值
18、,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.(2)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.,微专题 17 直线方程与圆的方程,返,A,答案,解析,D,答案,解析,A,答案,解析,6,答案,解析,4.已知AB为圆C:x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则 |PA|2+|PB|2的最小值为 .,能力1,会用直线方程判断两条直线的位置关系,典型例题,解析,答案,A,方法归纳,变式训练,解析,C,答案,能力2,会结合平面几何知识求圆的方程,典型例题,解析,答案,B,方法归纳,变式训练,解析,A,答案,能力3,会用
19、几何法求直线与圆中的弦长问题,典型例题,解析,答案,D,方法归纳,变式训练,解析,答案,能力4,会用数形结合解决直线和圆中的最值问题,典型例题,解析,答案,C,方法归纳,变式训练,解析,答案,微专题 18 圆锥曲线的标准方程 与几何性质,返,A,答案,解析,答案,解析,2.直线l:x-2y-5=0过双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的一个焦点且与其一条渐近线平行, 则双曲线的方程为( ).A. 2 20 - 2 5 =1 B. 2 5 - 2 20 =1 C. 2 4 -y2=1 D.x2- 2 4 =1,解析 对于直线l,令y=0,得x=5,即c=5.又 = 1 2 ,所以a2=
20、20,b2=5,所以双曲线的方程为 2 20 - 2 5 =1,故选A.,A,答案,解析,3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为( ).A. 6 2 7 B. 18 2 7 C. 4 2 7 D. 2 2 7,解析 设P(x0,y0),因为抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,|PM|=9,根据抛物线的定义,可得x0=8,所以y0=4 2 .又点P在第一象限,所以P(8,4 2 ),所以kPF= 4 2 7 ,故选C.,C,答案,解析,4.若点O和点F分别为椭圆 2 4 + 2 3
21、=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 的最大值为( ).A.2 B.3 C.6 D.8,解析 设P(x0,y0),则 0 2 4 + 0 2 3 =1,即 0 2 =3 1 0 2 4 .又F(-1,0),所以 =x0(x0+1)+ 0 2 = 1 4 0 2 +x0+3= 1 4 (x0+2)2+2.因为x0-2,2,所以( )max=6,故选C.,C,能力1,巧用定义求解曲线问题,D,典型例题,答案,解析,【例1】 已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(
22、).A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线的右支,解析 因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以F2M=2ON=2.因为点P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即点P的轨迹是双曲线的右支,故选D.,方法归纳,求轨迹方程的常用方法:一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性.,A,变式训练,答案,解析,椭圆 2 12 + 2 3 =1的焦点为F1,F2,点P在椭
23、圆上,若线段PF2的中点在y轴上,则|PF2|是|PF1|的( ).A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍,解析 设线段PF2的中点为D, 则|OD|= 1 2 |PF1|,ODPF1,ODx轴, PF1x轴,|PF1|= 2 = 3 2 3 = 3 2 . 又|PF1|+|PF2|=4 3 , |PF2|=4 3 - 3 2 = 7 3 2 , |PF2|是|PF1|的7倍,故选A.,能力2,会用有关概念求圆锥曲线的标准方程,C,典型例题,答案,解析,【例2】 已知双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)过点( 2 , 3 ),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则
24、双曲线C的标准方程是( ).A. 2 1 2 -y2=1 B. 2 9 - 2 3 =1 C.x2- 2 3 =1 D. 2 2 3 - 2 3 2 =1,解析 由题意可得 2 2 3 2 =1, = 3 , 解得 =1, = 3 , 双曲线C的标准方程是x2- 2 3 =1,故选C.,方法归纳,渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程.,C,变式训练,答案,解析,已知双曲线 2 2 - 2 2 =1的离心率为 2 ,且双曲线与抛物线x2=-4 3 y的准线交于
25、A,B两点,SABO= 3 ,则双曲线的实轴长为( ).A. 2 B.2 C.2 2 D.4 2,解析 因为抛物线的方程为x2=-4 3 y,所以准线方程为y= 3 . 因为SABO= 3 ,所以 1 2 2|xA| 3 = 3 , 所以xA=1,所以A(1, 3 )或A(-1, 3 ). 因为双曲线 2 2 - 2 2 =1的离心率为 2 , 所以a=b,所以 3 2 - 1 2 =1,故a= 2 , 因此双曲线的实轴长为2 2 ,故选C.,能力3,会用几何量的关系求离心率,C,典型例题,答案,解析,【例3】 已知椭圆E: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,y轴
26、上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若|OM|=|MF1|= 3 3 |OP|,则椭圆E的离心率为( ).A. 1 2 B. 3 2 C. 3 -1 D. 3 +1 2,解析 因为|OM|=|MF1|= 3 3 |OP|,所以F1PO=30, MF1F2=60,连接MF2 ,则可得三角形MF1F2为直角三角形.在RtMF1F2中,易知MF1=c,MF2= 3 c,则c+ 3 c=2a,所以离心率e= = 2 1+ 3 = 3 -1,故选C.,方法归纳,求离心率一般有以下几种方法:直接求出a,c,从而求出e;构造a,c的齐次式,求出e;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆
27、锥曲线的统一定义求解.本题中,根据特殊直角三角形可以建立关于焦 半径和焦距的关系,从而找出a,c之间的关系,求出离心率e.,A,变式训练,答案,解析,过双曲线 2 2 - 2 2 =1(ab0)的左焦点F作某一渐近线的垂线,分别与两条渐近线相交于A,B两点,若 | | = 1 2 ,则双曲线的离心率为( ). A. 2 3 3 B.2 C. 3 D. 5,解析 因为ab0,所以交点A,B在F的两侧.由 | | = 1 2 及角平分线定理知 | | = | | = 1 2 .由ABAO知cosAOB= | | = 1 2 ,所以AOB=60,AOF=30,据此可知渐近线的方程为y= 3 3 x,
28、而双曲线 2 2 - 2 2 =1的渐近线方程为y= x, 故 = 3 3 ,则双曲线的离心率e= 1+ 2 = 2 3 3 ,故选A.,能力4,能紧扣圆锥曲线的性质求最值或取值范围,C,典型例题,答案,解析,【例4】 设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( ).A. 3 3 B. 2 3 C. 2 2 D.1,解析设P 0 2 2 , 0 ,由题意知F 2 ,0 ,显然当y00, 则 = + = + 1 3 = + 1 3 ( - )= 1 3 + 2 3 = 0 2 6 + 3 , 0
29、3 , 可得kOM= 0 3 0 2 6 + 3 = 2 0 + 2 0 2 2 2 = 2 2 ,当且仅当 0 2 =2p2,即y0= 2 p时取等号,故选C.,方法归纳,解题时一定要注意分析条件,根据条件|PM|=2|MF|,利用向量的运算可知M 0 2 6 + 3 , 0 3 ,从而写出直线的斜率的表达式,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题.,C,变式训练,答案,解析,如图,圆O与离心率为 3 2 的椭圆T: 2 2 + 2 2 =1(ab0)相切于点M(0,1),过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,两条直线与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合).若P
30、为椭圆上任意一点,记点P到两条直线的距离分别为d1,d2,则 1 2 + 2 2 的最大值是( ).A.4 B.5 C. 16 3 D. 25 3,解析易知椭圆T的方程为 2 4 +y2=1,圆O的方程为x2+y2=1.设P(x0,y0),因为l1l2,所以 1 2 + 2 2 =PM2= 0 2 +(y0-1)2.又因为 0 2 4 + 0 2 =1,所以 1 2 + 2 2 =4-4 0 2 +(y0-1)2=-3 0 + 1 3 2 + 16 3 .因为-1y01,所以当y0=- 1 3 时, 1 2 + 2 2 取得最大值 16 3 ,此时点P的坐标为 4 2 3 , 1 3 ,故选C
31、.,微专题 19 直线与椭圆的综合,返,A,答案,解析,1.直线x+4y+m=0交椭圆 2 16 +y2=1于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为1,则m=( ).A.-2 B.-1 C.1 D.2,解析 因为x+4y+m=0,所以y=- 1 4 x- 4 . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 1 2 16 + 1 2 =1, 2 2 16 + 2 2 =1, 两式相减, 得 1 2 1 2 =- 1 + 2 16( 1 + 2 ) =- 1 4 . 因为AB中点的横坐标为1,所以纵坐标为 1 4 ,将 1, 1 4 代入直线y=- 1 4 x- 4 ,解得m=-2,故选A,答案,解
32、析,2.已知F是椭圆 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且PFQ=120,则椭圆的离心率为( ).A. 1 3 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 2,解析 在PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为E,由椭圆的对称性,知四边形PFQE是平行四边形,所以在PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为PF+QF=2a=3t,所以t= 2 3 ,所以e= 3 3 ,故选C.,C,答案,解析,3.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 2 2 + 2 2
33、 =1(ab0)的右焦点,直线y= 2 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 .,解析 将y= 2 代入椭圆的标准方程,得 2 2 + 2 4 2 =1,所以x= 3 2 a,故B 3 2 a, 2 ,C 3 2 a, 2 . 又因为F(c,0),所以 = + 3 2 a, 2 , = 3 2 a, 2 . 因为BFC=90,所以 =0, 所以 + 3 2 a 3 2 a + 2 2 =0,即c2- 3 4 a2+ 2 4 =0. 将b2=a2-c2代入并化简,得a2= 3 2 c2,所以e2= 2 2 = 2 3 ,所以e= 6 3 (负值舍去).,6 3,答案,解析,解
34、析 设P1(4cos ,3sin ) 0 2 ,即点P1在第一象限.设四边形P1AOB的面积为S, 则S= 1 + 1 = 1 2 43sin + 1 2 34cos =6(sin +cos )=6 2 sin + 4 , Smax=6 2 .SOAB= 1 2 43=6, 1 AB 的最大值为6 2 -6. 6 2 -63,点P不可能在直线AB的右上方, 在AB的左下方有2个这样的点P.,能力1,会用点差法解直线与椭圆中的与弦中点有关的问题,B,典型例题,答案,解析,【例1】 已知椭圆C: 2 4 + 2 2 =1(0b2),作倾斜角为 3 4 的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M
35、,O为坐标原点,若直线OM的斜率为 1 2 ,则b=( ).A.1 B. 2 C. 3 D. 6 2,解析设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 则 1 2 4 + 1 2 2 =1, 2 2 4 + 2 2 2 =1, 两式作差得 ( 1 2 )( 1 + 2 ) 4 + ( 1 2 )( 1 + 2 ) 2 =0. 因为 1 2 1 2 =tan 3 4 =-1, 所以 0 4 - 0 2 =0,即 0 0 = 2 4 . 由 0 0 = 2 4 = 1 2 ,解得b2=2,即b= 2 .故选B.,方法归纳,点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的
36、中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.注意“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式是否为正数.,C,变式训练,答案,解析,已知椭圆 2 2 + 2 2 =1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( ).A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5,解析 设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程, 由点差法可知yM=- 2 2 xM,
37、代入点M(-4,1),解得 2 2 = 1 4 ,e= 1 2 2 = 3 2 ,故选C.,能力2,会用“设而不解”的思想解直线与椭圆中的弦长、面积问题,典型例题,解析,【例2】 在平面直角坐标系xOy中,动点M(x,y)总满足关系式2 (1 ) 2 + 2 =|x-4|.(1)点M的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程.(2)坐标原点O到直线l:y=kx+m的距离为1,直线l与M的轨迹交于不同的两点A,B,若 =- 3 2 ,求AOB的面积.,解析(1)由2 (1 ) 2 + 2 =|x-4|,得 2 4 + 2 3 =1, 所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆, 它的标准方程为 2 4 + 2
38、 3 =1. (2)由点O到直线l:y=kx+m的距离为1,得d= | 1+ 2 =1,即1+k2=m2. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 2 4 + 2 3 =1, =+, 消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, =(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0,得m24k2+3, 所以x1+x2= 8 3+4 2 ,x1x2= 4 2 12 3+4 2 ,所以 =x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =(1+k2) 4 2 12 3+4 2 +km 8 3
39、+4 2 +m2 = 7 2 12 2 12 3+4 2 = 5 2 5 3+4 2 . 因为 =- 3 2 ,所以 5 2 5 3+4 2 =- 3 2 , 解得k2= 1 2 ,m2=1+k2= 3 2 , 所以|AB|= 1+ 2 48(3 2 +2) 3+4 2 = 6 7 5 , 所以SAOB= 1 2 1 6 7 5 = 3 7 5 .,方法归纳,求解弦长的四种方法 (1)当弦的两个端点坐标容易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解. (3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程
40、,利用根与系数的关系得到(x1-x2)2,(y1-y2)2,代入两点间的距离公式. (4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.,变式训练,解析,已知椭圆C的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点P( 3 ,1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右焦点F作直线l,直线l与椭圆C相交于A,B两点,与圆O:x2+y2=6相交于D,E两点,当OAB的面积最大时,求弦|DE|的长.,解析(1)设椭圆C的标准方程为 2 2 + 2 2 =1(ab0), 由椭圆的定义可得2a= ( 3 +2 ) 2 +1 + ( 3 2 ) 2 +1 = 8+4 3 + 84 3 = (
41、6 + 2 ) 2 + ( 6 2 ) 2 =2 6 , a= 6 . c=2,b2=2. 椭圆C的标准方程为 2 6 + 2 2 =1,(2)设直线l的方程为x=ky+2, 代入椭圆C的方程并化简得(k2+3)y2+4ky-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=- 4 2 +3 ,y1y2=- 2 2 +3 . OAB的面积S= 1 2 |OF|y1-y2|=|y1-y2| = 16 2 +8( 2 +3) 2 +3 = 2 6 2 +1 2 +3 . 令t= 2 +1 (t1),则S= 2 6 t 2 +2 2 6 t 2 2 t = 3 ,当且仅当t= 2 ,即
42、k=1时取等号, 此时直线l的方程为x=y+2. 圆心O到直线l的距离d= 2 ,又圆O的半径为 6 ,故|DE|=2 62 =4.,能力3,会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的有关几何量,C,典型例题,答案,解析,【例3】 已知点M(-4,0),椭圆 2 4 + 2 2 =1(0b2)的左焦点为F,过F作直线l(l的斜率存在)交椭圆于A,B两点,若直线MF恰好平分AMB,则椭圆的离心率为( ).A. 1 4 B. 2 2 C. 1 2 D. 3 2,解析直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=k(x+c),代入椭圆方程可得(b2+4k2)x2+8ck2x+4k2c2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2= 8 2 2 +4 2 ,x1x2= 4 2 2 4 2 2 +4 2 . 又直线MF恰好平分AMB,kAM+kBM=0,即 1 1 +4 + 2 2 +4 =0, y1(x2+4)+y2(x1+4)=0, k(x1+c)(x2+4)+k(x2+c)(x1+4)=0, 故2x1x2+(4+c)(x1+x2)+8c=0, 即2 4 2 2 4 2 2 +4 2 +(4+c) 8 2 2 +4 2 +8c=0, 8cb2-8b2=0,c=1. 又a=2,e= 1 2 ,故选C.,
