1、12.5 离散型随机变量的均值与方差,-2-,知识梳理,考点自诊,1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,n. (1)均值:称EX= 为随机变量X的均值或均值.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,标准差,2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= ; (2)E(+)=E+E; (3)D(aX+b)= .,aEX+b,a2DX,-3-,知识梳理,考点自诊,3.两点分布与二项分布的均值与方差 (1)若X服从两点分布,则EX= ,DX= . (2)若XB(n,p),则EX= ,DX= .,p,p(1-p),np,np(1-p),-4-,知
2、识梳理,考点自诊,1.若x1,x2相互独立,则E(x1x2)=Ex1Ex2. 2.均值与方差的关系:DX=EX2-E2X. 3.超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX=,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ) (2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( ) (3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定. ( ) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.(
3、) (5)正态分布中的参数和完全确定了正态分布,参数是正态分布的均值,是正态分布的标准差.( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.(2018浙江,7改编)设0p1,随机变量的分布列是则当p在(0,1)内增大时,( ) A.D减小 B.D增大 C.D先减小后增大 D.D先增大后减小,D,-7-,知识梳理,考点自诊,-8-,知识梳理,考点自诊,3.(2018浙江模拟,6)已知某8个数的均值为5,方差为3,现又加入一个新数据5,此时这9个数的均值记为EX,方差记为DX,则( ) A.EX=5,DX3 B.EX=5,DX3 D.EX5,DX3,B,-9-,知识梳理,考点自诊,A,-10-,考点1,考点
4、2,考点3,二项分布的均值、方差问题 例1(2018河南洛阳模拟,6)为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况,某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按0,20),20,40),40,60),60,80),80,100分成五组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为A类学生,低于60分的称为B类学生.,-11-,考点1,考点2,考点3,(1)根据已知条件完成下面22列联表,是否有99%的把握认为性别与是否“为A类学生”有关系?(2)将频率视为概率,现在从该
5、校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中A类学生的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列、均值EX和方差DX.,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,解 (1)由频率分布直方图可得分数在60,80)之间的学生人数为0.012 520200=50人,在80,100之间的学生人数为0.007 520200=30人,所以低于60分的学生人数为120人.因此列联表为:,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,思考如何简便地求二项分布的随机变量X的均值与方差? 解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先
6、分析X是否服从二项分布,如果XB(n,p),那么用公式EX=np,DX=np(1-p)求解,可大大减少计算量.,-16-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2018江西南昌模拟,19)大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地对培育的“超级豆”种子进行种植测试:选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地,每株放入三粒“超级豆”种子,且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活,每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为 (假设种子之间及外部条件一致,发芽相互没有影
7、响). (1)求恰好有3株成活的概率; (2)记成活的豆苗株数为,收成为(kg),求随机变量的分布列及的均值E.,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,非二项分布的均值、方差问题 例2(2018天津,理16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. 用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列
8、与均值; 设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,思考如何求离散型随机变量X的均值与方差? 解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤: (1)理解X的意义,写出X的全部可能取值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求EX. (5)由方差的定义求DX. 2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为EX,则对应随机变量aX+b的均值是aEX+b,方差为a2DX.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(
9、2018河南商丘模拟,19)“世界那么大,我想去看看”,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1 000名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:,-24-,考点1,考点2,考点3,(1)求所得样本的中位数(精确到百元); (2)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出X服从正态分布N(51,152),若该市共有高中毕业生35 000人,试估计有多少位同学旅游费用支出在8 100元以上; (3)已知本数据中旅游费用支出在
10、80,100范围内的8名学生中有5名女生,3名男生,现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为Y,求Y的分布列与均值. 附:若XN(,2),则P(-X+)=68.3%,P(-2X+2)=95.4%,P(-3X+3)=99.7%.,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,均值与方差在决策中的应用 例3(2018广东佛山模拟,19)某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据,其频率分布直方图如下:,-28-,考点
11、1,考点2,考点3,若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率看为概率,回答以下问题. (1)从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人月使用流量不超过300 M的概率; (2)现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:,-29-,考点1,考点2,考点3,这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值200 M流量,资费20元;如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值200 M流量,资费20元/次,依次类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用. 学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担
12、系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济?说明理由.,-30-,考点1,考点2,考点3,解(1)记“从该校中随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量不超过300 M”为事件D,据题意得P(D)=(0.000 8+0.002 2)100=0.3. 从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用流量不超过300 M的人数为X,则XB(3,0.3), 从该校教师中随机抽取3人,至多有1人月使用流量不超过300 M的概率为 P(X=0)+P(X=1)= C 3 0 0.30(1-0.3)3+ C 3 1 0.3(1-0.3)2=0.343+0.441=0.784
13、.,-31-,考点1,考点2,考点3,(2)依题意, P(300L500)=(0.002 5+0.003 5)100=0.6,P(500L700)=(0.000 8+0.000 2)100=0.1. 当学校订购A套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为X1,则X1的所有可能取值为20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1, 所以EX1=200.3+350.6+500.1=32(元). 当学校订购B套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为X2,则X2的所有可能取值为30,45, 且P(X2=30)=0.3+0.6=0.9,P(X2=45)=0.1
14、, 所以EX2=300.9+450.1=31.5(元). 当学校订购C套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为X3,则X3的所有可能取值为38, 且P(X3=38)=1,EX3=380.1=38(元). 因为EX2EX1EX3,所以学校订购B套餐最经济.,-32-,考点1,考点2,考点3,思考如何利用均值与方差对生活中相关问题进行决策? 解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差
15、或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.,-33-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2018全国1,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2
16、元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; 以检验费用与赔偿费用和的均值值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,-34-,考点1,考点2,考点3,令f(p)=0,得p=0.1.当p(0,0.1)时,f(p)0; 当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.,-35-,考点1,考点2,考点3,1.求某事件发生的概率,首先理解题意,分清概率模型,恰当选择概率计算公式. 2.求随机变量的均值、方差的基本方法: (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差
17、,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值、方差的性质求解; (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布),可直接利用它们的均值、方差公式求解.,-36-,考点1,考点2,考点3,3.利用均值与方差解决实际问题的步骤: (1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率. (3)依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差值. (4)依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释. 4.随机变量
18、的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.,-37-,易错警示分不清试验是不是独立重复试验 典例某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行.每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为 . (1)求选手甲可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数为,试写出
19、的分布列,并求的均值.,-38-,-39-,-40-,错因分析(1)甲答3题进入决赛指的是甲全部答对该3题,甲答4题进入决赛指的是前3题中答对2道题,答错1道题,第4题答对.只有前3次答题事件满足独立重复试验.同理答5题进入决赛指的是前4题答对2道题,答错2道题,第5题答对.只有前4次答题事件满足独立重复试验,不是对全部进行独立重复试验. (2)甲答3题结束比赛,指答对该3题或答错该3题.甲答4题结束比赛,指答对前3题中的2道题,第4题答对进入决赛,或前3题中有2道题答错,第4题答错.甲答5题结束比赛,指答对前4题中的2道题,第5题答对,或前4题中有2道题答错,第5道题答错.,-41-,-42-,
