1、第五节 指数与指数函数,1.指数幂的概念,2.有理数指数幂,3.指数函数的图象与性质,教材研读,考点一 指数幂的化简与求值,考点二 指数函数的图象及其应用,考点三 指数函数的性质及应用,考点突破,教材研读,1.指数幂的概念 (1)根式的概念,(2)两个重要公式= ( )n= a (注意a必须使 有意义).,2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 (i)正数的正分数指数幂:= (a0,m,nN*,n1). (ii)正数的负分数指数幂:= = (a0,m,nN*,n1).,(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 (i)aras= ar+s (a
2、0,r,sQ). (ii)(ar)s= ars (a0,r,sQ). (iii)(ab)r= arbr (a0,b0,rQ).,3.指数函数的图象与性质,提醒 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0a1两种 情况进行讨论.(2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a), ,依据这三点 的坐标可得到指数函数的大致图象.,知识拓展 指数函数的图象与底数大小的比较,如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y =cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此 我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a1)的图象 越高
3、,底数越大.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1) =( )n=a. ( ) (2)(-1 =(-1 = . ( ) (3)函数y=a-x(a0,且a1)是R上的增函数. ( ) (4)函数y=2x-1是指数函数. ( ) (5)若am0,且a1),则mn. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5),2. (a0)的值是 ( ) A.1 B.a C. D.,答案 D = = = .故选D.,D,3.函数y=2x与y=2-x的图象 ( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称,答案 B 作出y=2x与y=2-x= 的图象(图略),
4、观察可知两图象关于y 轴对称.,B,4.函数f(x)=2|x-1|的大致图象是 ( ),答案 B 当x1时, f(x)=2x-1;当x1时, f(x)=21-x,选B.,B,5.已知函数f(x)=ax-2+2的图象恒过定点A,则点A的坐标为 .,答案 (2,3),解析 令x-2=0,则x=2, f(2)=3,即点A的坐标为(2,3).,6.若指数函数y=(a2-1)x在(-,+)上为减函数,则实数a的取值范围是 .,答案 (- ,-1)(1, ),解析 由题意知0a2-11, 即1a22, 得- a-1或1a .,指数幂的化简与求值,考点突破,典例1 化简下列各式:,(1) +2-2 -(0.
5、01)0.5; (2) b-2(-3 b-1)(4 b-3 ; (3) .,解析 (1)原式=1+ - =1+ - =1+ - = . (2)原式=- b-3(4 b-3 =- b-3( ) =-,=- =- . (3)原式= = = .,规律总结 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.,(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数 的,先化成假分数. (4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的 运算性质来解答. 提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,
6、也不能既有分母又 含有负指数,形式力求统一.,1-1 化简: = (a0).,答案 a2,解析 原式= = ( -2 ) =a2.,1-2 若 + =3,则 的值为 .,答案,指数函数的图象及其应用,典例2 (1)函数f(x)=-3|x|+1的图象大致是 ( )(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .,A,答案 (1)A (2)-1,1,解析 (1)因为函数f(x)=-3|x|+1, 所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x), 即函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D. 当x=0时,f(0)=-30+1=0,即函数图象过原点,故排除C.
7、故选A.,(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲与直线y=b没有公共点,只需-1b1.,探究 (变条件)本例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b 的取值范围.,解析 曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,b的取值范围是(0,1).,方法技巧 应用指数函数图象的4个技巧 (1)画指数函数y=ax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否 过这些点,若不满足,则排除. (3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图 象入手,通过平移、伸缩
8、、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关,系不确定时,应注意分类讨论. (4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图 象,数形结合求解.,2-1 函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( )A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0,D,答案 D 由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递 减,所以0a1. 函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax图象的基础上向左平移得到的,所以b0, 故选D.,2-2 若关于x的方程|ax-1|=2a(a0,且a1)有两个不等实根,则a的取值 范围是 .,
9、答案,解析 方程|ax-1|=2a(a0,且a1)有两个不等实根转化为函数y=|ax-1|与 y=2a的图象有两个交点. 当01时,如图,而y=2a1,不符合要求.,指数函数的性质及应用 命题方向一 指数函数单调性的应用,典例3 已知a= ,b= ,c= ,则下列关系式中正确的是 ( ) A.cab B.bac C.acb D.abc,B,答案 B,解析 b= ,而函数y= 在R上为减函数, ,所以 ,即bac.,命题方向二 指数型复合函数的单调性 典例4 (1)函数f(x)= 的单调减区间为 . (2)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间2,+)上是增函数,则m的
10、取值范围是 .,答案 (1)(-,1 (2)(-,4,命题方向三 指数函数性质的综合应用 典例5 已知函数f(x)= (a0且a1). (1)求f(x)的定义域和值域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)讨论f(x)的单调性.,解析 (1)f(x)的定义域是R,令y= ,得ax=- . 因为ax0,所以- 0,解得-1y1, 所以f(x)的值域为(-1,1). (2)因为f(-x)= = =-f(x), 所以f(x)是奇函数. (3)f(x)= =1- . 设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)= - = . 因为x11时, 0, 从而 +10, +10, -
11、0, 从而 +10, +10, - 0, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.,规律总结 (1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原 则. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及 值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判 断.,3-1 不等式 恒成立,则a的取值范围是 .,答案 (-2,2),解析 y= 是减函数, 又 2x+a-2恒成立, 所以x2+(a-2)x-a+20恒成立,所以=(a-2)2-4(-a+2)0, 即a2-40,所以-2a2,即a的取值范围是(-2,2).,3-2 已知函数y=b+ (a,b为常数,且a0,a1)在区间 上有最大 值3,最小值 ,则a,b的值分别为 .,答案 或,解析 令t=x2+2x=(x+1)2-1, x ,t-1,0. 若a1,则函数f(x)=at在-1,0上为增函数, at ,b+ , 依题意得 解得 若0a1,则函数f(x)=at在-1,0上为减函数,at , 则b+ , 依题意得 解得 综上可得 或,
