1、考点一 等差数列的有关概念及运算,考点清单,考向基础 1.定义 一般地,如果一个数列从 第二项 起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列 的 公差 ,通常用字母 d 表示. 2.通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d,nN* .,3.等差中项 如果 A= ,那么A叫做a与b的等差中项.,4.前n项和公式 设等差数列an的公差为d,则其前n项和Sn= 或Sn= na1+ d .,考向突破,考向 等差数列中的基本运算,例 已知数列an是首项为1,公差为d(dN*)的等差数列,若81是该数 列
2、中的一项,则公差不可能是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,解析 数列an是首项为1,公差为d(dN*)的等差数列,an=1+(n- 1)d, 81是该数列中的一项,81=1+(n-1)d,n= +1, d,nN*,d是80的因数.只有选项B中的3不是80的因数.故选B.,答案 B,考点二 等差数列的性质及其应用,考向基础 1.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,mN*). (2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 ak+al=am+an . (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d. (4)若a
3、n,bn是等差数列,则pan+qbn(p,q是常数)仍是等差数列. (5)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 md 的等差数列., 相同 ,公差是an的公差的 . (2)若Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2 m成等差数列. (3)非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质: (i)若项数为2n,则S偶-S奇= nd , = .,2.与等差数列各项的和有关的性质 (1)若an是等差数列,则 也是等差数列,其首项与an的首项,(5)等差数列an的前n项和Sn的最值: (i)若a10,d0,则从
4、首项到最后一个非正项的和最小. (iii)若数列中有常数项0,则Sn的最值对应两个n值.,(ii)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, = . (4)若两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,则 = .,知识拓展 利用数形结合的思想方法解决等差数列的有关问题时应明确两点: (1)等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+(a1-d). 若d=0,则an=a1是常数列; 若d0,则an是关于n的一次函数. 点(n,an)是直线y=dx+(a1-d)上的一群孤立的点. 单调性:d0时,an为单调递增数列;d0时,an为单调递减
5、数列. (2)等差数列an的前n项和Sn可表示为Sn= n2+ n,令A= ,B=a1- , 则Sn=An2+Bn.当A0,即d0时,Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上,为抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点.利用此性质可解决前n项和,Sn的最值问题.,考向突破,考向一 求等差数列前n项和的最值,例1 已知数列an为等差数列,若 0的n的最大值为 .,解析 设等差数列an的公差为d, 0,d0,a70,S12= 0的n的最大值为11.,答案 11,考向二 等差数列的常用性质,例2 已知数列an是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若 - = 100,则d
6、的值为( ) A. B. C.10 D.20,解析 an为等差数列, = =a1+(n-1) ,则 为等 差数列,且公差为 , - =2 000 =100,即d= ,故选B.,答案 B,方法1 等差数列的基本运算技巧 1.等差数列可以由首项a1和公差d确定,所有关于等差数列的计算和证 明,都可围绕a1和d进行. 2.对于等差数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1, d.如果再给出第三个条件,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题, 这体现了用方程思想解决问题的思路. 3.注意设元技巧,减少运算量.如果三个数成等差数列,一般可设为a-d,a, a+d;如果四个数
7、成等差数列,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.,方法技巧,例1 已知an是首项为- ,公差为d(d0)的等差数列,Sn为其前n项和, 若S1,S2,S4成等比数列,则d= ( ) A.-1 B.- C. D. 解题导引,解析 Sn=na1+ d,因为S1,S2,S4成等比数列, 所以S1S4= , 即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2, 因为a1=- , 所以- (-2+6d)=(-1+d)2, 即d2+d=0,解得d=0或d=-1. 又因为d0,所以d=-1,故选A.,答案 A,方法2 等差数列的判定方法 1.证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义
8、证明,即证明an+1-an=d(nN*); (2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(nN*). 2.解选择题、填空题时,可用通项法或前n项和法直接判断: (1)通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则an是 等差数列; (2)前n项和法:若数列an的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数), 则an为等差数列.,例2 已知数列an中,a1= ,an=2- (n2,nN*),数列bn满足bn= (nN*). (1)求证:数列bn是等差数列; (2)求数列an中的最大项和最小项,并说明理由.,解析 (1)证明:因为an=2- (n2,nN*), bn= (nN*), 所以bn+1-bn= - = - = - =1.,则an=1+ =1+ . 设f(x)=1+ , 则f(x)在区间 和 上为减函数. 所以当n=3时,an取得最小值,为-1,当n=4时,an取得最大值,为3.,又b1= =- , 所以数列bn是以- 为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)知bn=n- ,方法3 等差数列前n项和的最值问题的求解方法 求等差数列an的前n项和Sn的最值的方法:,例3 在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,当n取何值时, Sn取得最大值?并求出此最大值.,
