1、第一节 弧度制及任意角的 三角函数,1.角的概念的推广,2.弧度制的定义和公式,3.任意角的三角函数,教材研读,考点一 角的概念及其表示,考点二 扇形的弧长、面积公式,考点突破,考点三 三角函数线的应用,考点四 三角函数的定义,1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成是平面内的一条射线绕着它的 端点 从一个 位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类,教材研读,(3)所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k 360,kZ.,2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧 度记作rad.,(2)公式,3.任意角的三角函数,三角
2、函数值的符号的记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.,1.(教材习题改编)下列命题正确的是 (只填序号). (1)第一象限角一定不是负角; (2)小于90的角一定是锐角; (3)钝角一定是第二象限角; (4)第一象限角一定是锐角.,答案 (3),解析 -330是第一象限角,也是负角,(1)错误;负角都小于90,但不是锐 角,(2)错误;钝角一定是第二象限角,(3)正确;-330是第一象限角,但不是 锐角,(4)错误.,2.(2018盐城伍佑中学期末)已知扇形的半径为3 cm,圆心角为2弧度,则 扇形的面积为 cm2.,答案 9,3.(教材习题改编)若与120角终边相同,则 是第 象限角.,
3、答案 一或三,解析 由与120角终边相同,得=120+k360,kZ,则 =60+k180,k Z,当k为奇数时, 为第三象限角;当k为偶数时, 为第一象限角.,4.(教材习题改编)终边落在阴影部分的角的集合(包括边界)为 .,答案,5.(2018常州教育学会学业水平检测)若 ,则点P(tan ,sin )位于第象限.,答案 二,解析 由 0,则点P在第二象限.,6.(教材习题改编)若角的终边经过点P(-x,-6),且cos =- ,则x= .,答案,解析 由题意可得cos = =- ,解得x= .,考点一 角的概念及其表示 典例1 已知角= ,回答下列问题: (1)写出所有与角终边相同的角;
4、 (2)写出在(-4,2)内与角终边相同的角; (3)若角与终边相同,则角 是第几象限角?,考点突破,解析 (1)所有与角终边相同的角可表示为=2k+ ,kZ. (2)由(1)知,可令-42k+ 2,kZ, 则有- k ,kZ. kZ,k=-2、-1、0,且当k=0时,= ,即为角. 故在(-4,2)内与角终边相同的角有- 、- . (3)由(1)知=2k+ (kZ),则 =k+ (kZ),角 是第一、三象限角. 方法技巧 (1)利用终边相同的角的集合可以求符合某些条件的角,方法是先写出 与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数赋值来 求得所需角. (2)利用终边相同的角的集合
5、S=|=2k+,kZ判断角的终边所在 的象限时,只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的 和,然后判断角的终边所在的象限即可.,1-1 (1)把1 690表示成2k+的形式(kZ,0,2); (2)求,使与1 690角的终边相同,且(-4,-2).,解析 (1)1 690=1 690 = =8+ , 所以1 690=42+ . (2)由(1)知,与1 690角的终边相同的角为=2k+ (kZ),由-42k+-2,且kZ,得k=-2,所以=-4+ =- .,考点二 扇形的弧长、面积公式 典例2 已知一扇形的圆心角为(0),所在圆的半径为R. (1)若= ,R=10 cm,求扇形的弧长
6、及该弧所在的弓形的面积; (2)若该扇形的周长为一定值C(C0),当为多少时,该扇形的面积最大?,解析 (1)设扇形的弧长为l cm,该弧所在的弓形的面积为S cm2. = ,R=10 cm, l=|R= 10= (cm), S= 10- 102sin = -25 = (cm2). (2)易知C=2R+l=2R+|R(0),R= , S扇形= |R2= = = ,当且仅当= ,即=2时,该扇形的面积最大,为 .,方法技巧 解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项 (1)解决有关扇形的弧长和面积问题时,要注意角的单位,一般将角度化 为弧度. (2)求解扇形面积的最值问题时,常将其转化为二
7、次函数的最值问题,利 用配方法或不等式的性质使问题得到解决. (3)在解决有关扇形的面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形 进行求解.,2-1 已知扇形AOB的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长.,解析 设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为. (1)由题意可得 解得 或 则= 或=6. (2)2r+l=8, S扇形= lr= l2r = =4, 当且仅当2r=l,即= =2时,这个扇形的面积取得最大值4,此时r=2, 所求弦长AB=2sin 12=4sin 1.,解析 如图,过点 作x轴的垂线,交单位圆
8、于M,N两点,则以射线 OM,ON为终边的角满足方程cos = ,而终边落入图中阴影部分内(不 含边界)的角所组成的集合为不等式cos 的解集.又以射线OM,ON 为终边的角分别为2k+ (kZ),2k- (kZ),故不等式cos 的解集 为 (kZ).,考点三 三角函数线的应用,典例3 解不等式:cos .,方法技巧 解三角不等式时,要注意角的取舍,另外,终边在x轴下方的角在书写时往 往用负角表示.,3-1 求符合下列条件的角的集合: (1)sin ;(2)tan -1.,解析 (1)如图,过点 作y轴的垂线,交单位圆于A,B两点,则以射线 OA,OB为终边的角满足方程sin = ,终边落在
9、图中阴影部分内(含边界) 的角满足sin .又以射线OA,OB为终边的角分别是2k+ (kZ),2k + (kZ),所以所求角的集合为 (kZ).,(2)如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,过点A作垂直于x轴的直线l, 在直线l上向y轴负方向取有向线段AT,使线段AT的长为1,过点O,T作直 线交单位圆于P1,P2两点,则以射线OP1,OP2为终边的角满足方程tan =-1,图中阴影部分(不含边界)为满足不等式tan -1的角的终边所在区域. 又以射线OP1,OP2为终边的角分别为 +2k(kZ),- +2k(kZ),所以 所求角的集合为 (kZ).,考点四 三角函数的定义,典例4 (1)(
10、2018江苏海安中学月考)已知角的终边经过点P(x,-6),且 cos =- ,则实数x的值为 . (2)在平面直角坐标系中,已知角 的终边经过点P(x,y),且OP=2(O为坐 标原点),则点P的坐标为 . (3)(2018江苏镇江上学期期末)点P sin ,-cos 落在角的终边上,且 0,2),则的值为 .,答案 (1)- (2)(-1, ) (3),解析 (1)角的终边经过点P(x,-6), 且cos =- = , x=- . (2)由三角函数的定义得x=2cos =-1,y=2sin = , 所以点P的坐标为(-1, ).,(3)点P 在角的终边上,则tan =- ,点P在第四象限,
11、且 0,2),则= . 易错警示 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值时,需确定三个量:角的终 边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若 题目中已知角的终边在一条直线(非坐标轴)上,则要注意在终边上任取 一点有两种情况(点所在的象限不同).,4-1 (2019江苏盐城模拟)已知角的终边上一点P(- ,y),且sin = ,求 cos 和tan 的值.,解析 因为角的终边上有一点P(- ,y), 所以点P到原点的距离r= . 由三角函数的定义知, sin = = = , 解得y=0或y= . 当y=0时,r= ,则cos = =-1,tan =0; 当y= 时,r
12、=3,则cos =- ,tan = =- ;当y=- 时,r=3,则cos =- , tan = = .,4-2 已知角的终边在直线3x+4y=0上,求sin ,cos ,tan 的值.,解析 角的终边在直线3x+4y=0上, 设角的终边上任意一个异于原点的点为P(4t,-3t)(t0), 则x=4t,y=-3t, r= = =5|t|. 当t0时,r=5t,sin = = =- , cos = = = , tan = = =- ;,当t0时,r=-5t,sin = = = , cos = = =- ,tan = = =- . 综上可知,sin =- ,cos = ,tan =- 或sin = ,cos =- ,tan =- .,
