1、高考数学（浙江专用）,8.5 空间向量及其应用,考点一 空间角,考点清单,1.两条异面直线所成的角的范围是 . 当= 时,这两条异面直线互相垂直. 2.斜线AO与它在平面内的 射影 所成的角叫做直线和平面所成 的角(或夹角). 3.斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角 中 最小 的角.如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的 角为 90 ;如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面 所成的角为 0 .,考向基础,4.直线和平面所成角的范围为 . 5.斜线和所交平面所成的角的范围为 . 6.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫 做二面角的
2、棱.这两个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为、 的二面角记为-l-. 7.一个平面垂直于二面角的棱l,且与两个半平面的交线分别是射线 OA、OB,则AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直 二面角,相交成直二面角的两个平面互相垂直.,8.空间角公式 (1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,为l 1、l2所成的角,则cos =|cos |= . (2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量, 为l与所成的角,则sin =|cos|= . (3)面面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角为,则=或=-(需要根据具
3、体情况判断相等或互补),其中cos= .,【知识拓展】 设二面角-l-两个平面的法向量分别为n1,n2,在两个半平面内各取一点 A,B(两点都不在直线l上),二面角记为,则有如下结论:若 n1和 n2 同号,则cos =cos, 若 n1和 n2异号,则cos =-cos.,考向突破,考向一 求异面直线所成的角,例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异 面直线BC1与AE所成角的余弦值为( ) A. B. C. D.,解析 建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),所以 =(-1,0
4、,2), =(-1,2,1), 故cos= = . 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 .,答案 B,考向二 求直线与平面所成的角,例2 (2018浙江杭州高三教学质检,19)如图,在三棱锥A-BCD中,BAC =BAD=DAC=60,AC=AD=2,AB=3. (1)证明:ABCD; (2)求CD与平面ABD所成角的正弦值.,解析 (1)证明:AB=AB,BAC=BAD=60,AC=AD, ABCABD,BC=BD, (2分) 如图,取CD的中点E,连接AE,BE,则AECD,BECD,又AEBE=E, CD平面ABE, (5分),AB平面ABE,ABCD. (7分) (2)解法一:在
5、ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos 60= 7, BD= , DE=1, BE= ,AE= , AB2=BE2+AE2,AEBE. (9分) 设点C到平面ABD的距离为h,CD与平面ABD所成的角为, VA-BCD=VC-ABD,即 CDSABE= hSABD, (11分) h= = = , (13分),sin = = , 故CD与平面ABD所成角的正弦值为 . (15分) 解法二:在ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos 60=7, BD= , DE=1,BE= ,AE= , AB2=BE2+AE2,AEBE. (9分) 以EB,EC,
6、EA所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,如图.,则A(0,0, ),B( ,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0), =( ,0,- ), =(0,-2,0), =(0,-1,- ). (11分) 设平面ABD的法向量为m=(x,y,z).,则 取m=(1,- , ), (13分) 设CD与平面ABD所成的角为,则sin =|cos|= = =. 故CD与平面ABD所成角的正弦值为 . (15分),考向三 求二面角,例3 (2018浙江名校协作体期初联考,17)如图,棱长为3的正方体的顶点 A在平面内,三条棱AB,AC,AD都在平面的同侧.若顶点B,C到平面的 距离分别为
7、 , ,则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为 .,解析 分别以AB,AC,AD所在直线为x,y,z轴,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0), D(0,0,3),平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).设平面的单位法向量为n =(x,y,z),其中x2+y2+z2=1.由条件知| |cos|= ,得|x|= ,同理,由|cos|= ,得|y|= ,由x2+y2+z2=1,得|z|= ,则平面ABC与平面 所成锐二面角的余弦值为|cos|=|z|= .,答案,考点二 空间向量在立体几何中的应用,考向基础 1.空间向量及运算 (1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b
8、2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3- b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;ab(b0) a1=b1,a2=b2,a3 =b3 ;ab a1b1+a2b2+a3b3=0 . (2)设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 这就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的 终点 的坐标减 起点 的坐标. 2.两个向量的夹角及两点间的距离公式 (1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=
9、 = ;|b|= =,ab=a1b1+a2b2+a3b3,cos= .,(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则| |= =或者dAB=| |,其中dAB表示A与B两点间的 距离,这就是空间两点间的距离公式. 3.若a,b均为非零向量,则向量a在向量b上的射影为|a|cos= . 4.设n是平面M的一个法向量,AB、CD是M内的两条相交直线,则 n =0, n =0,由此可求出法向量n(向量 及 已知). 5.利用空间向量证明线面平行:只要在平面内找到一条直线的方向向 量b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明 a=b 即可.或者已,知直线上的A、B两点坐标,在平面内找出
10、两点C、D,写成坐标形式, =(x1,y1,z1), =(x2,y2,z2),只需证明x1=x2且y1=y2且z1=z2. 6.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个方 向向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可. 7.证明线面垂直:已知直线l,平面,要证l,只要在l上取一个非零向 量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证pa且pb,也就是a p=0且bp=0. 8.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直.,方法1 求直线与平面所成角的方法 1.按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影),解三角形. 2.求平面的法向量,利用直线所在的方向向量
11、与平面的法向量所成的锐 角和直线与平面所成角互余求线面角. 3.利用等体积法求点到面的距离,由距离与斜线段长的比值等于线面角 的正弦值求线面角.,方法技巧,例1 (2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,19)如图,DC平面ABC,DE BC,ABC=120,AB=BC=CD=2DE=2. (1)已知F为线段EA的中点,线段BC上一点M满足CM= CB,求证:FM 平面ACD; (2)求直线BD与平面AEB所成角的正弦值.,解析 (1)证明:取AD的中点N,连接FN,NC, 则FNDE,且FN= DE, FNBC,且FN= CB,FNCM, 四边形FMCN为平行四边形,FMNC, 又FM平面AC
12、D,NC平面ACD,FM平面ACD. (2)取AC的中点O,连接OB,ON,易知OA、OB、ON两两垂直,以O为原 点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,ON所在直线为z轴,建立空间 直角坐标系,则 A( ,0,0),B(0,1,0),E ,D(- ,0,2),故 =( ,-1,0), = , =(- ,-1,2),设平面ABE的法向量为 n=(x,y,z), 则 即 取y=2,则x= ,z=1,故n= , cos= =- ,故直线BD与平面AEB所成角的正弦值为 .,方法2 求二面角的方法 二面角的平面角的作法是重点,构造平面角主要有以下方法: (1)根据定义; (2)利用二面角的棱的
13、垂面; (3)利用两同底等腰三角形底边上的两条中线; (4)射影法,利用面积射影定理S射=S斜cos ; (5)向量法,利用组成二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角相 等或互补.,例2 (2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,19)如图,在四棱锥P-ABCD中, 侧面PAB底面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,点M在 线段PC上(不含端点),且BM平面PAC.(1)求证:AP平面BCP; (2)求二面角B-AC-P的正弦值.,解析 (1)证明:BM平面PAC,BMAP. 侧面PAB底面ABCD,且BCAB,侧面PAB底面ABCD=AB,BC侧 面ABCD, BC侧面PAB
14、,BCAP. 又BC与BM是平面BCP内两相交直线, AP平面BCP. (2)设AB的中点为O,CD的中点为N,连接OP、ON,则ONAB.由平面 PAB平面ABCD,且POAB,得PO底面ABCD,POON.分别以 OB、ON、OP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.,由AP平面BCP,得APBP,又PA=PB,AB=2,OP=1. 则各点坐标为A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,1).平面ABC的一个法向 量为n=(0,0,1). 设平面PAC的法向量为m=(x,y,z). 又 =(1,0,1), =(2,2,0),由m =0,m =0,得 取z=1,得m,=(-1,1,1). 设二面角B-AC-P的平面角为,则|cos |= = ,故sin = ,即二 面角B-AC-P的正弦值为 .,评析 本题考查面面垂直的性质,线面垂直的判定和性质,法向量和二 面角的计算,考查逻辑推理能力和空间想象能力.建立恰当的空间直角 坐标系是解题的关键.,
