1、12-3-1 离散型随机变量的均值1若随机变量 B(n,0.6)，且 E( )3，则 P( 1)的值是( )A20.4 4 B20.4 5C30.4 4 D30.6 4解析 因为 B(n,0.6)，所以 E( ) n0.6，故有 0.6n3，解得n5， P( 1)C 0.60.4430.4 4.15答案 C2设 的分布列为 1 2 3 4P 16 16 13 13又设 2 5，则 E( )等于( )A. B. C. D.76 176 173 323解析 E( )1 2 3 4 ， E( ) E(2 5)2 E( )5216 16 13 13 1765 .176 323答案 D3同时抛掷 5 枚
2、均匀的硬币 80 次，设 5 枚硬币正好出现 2 枚正面向上，3 枚反面向上的次数为 X，则 X 的均值是( )A20 B25 C30 D40解析 抛掷一次正好出现 3 枚反面向上，2 枚正面向上的概率为 ，所以 XC2525 516，故 E(X)80 25.(80，516) 516答案 B4马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表：x 1 2 3P( x) ？ ！ ？请小牛同学计算 的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案 E( )_.解析 令“？”为 a， “！”为 b，则 2a b1， E( ) a2
3、b3 a2(2 a b)2.2答案 2课内拓展 课外探究1常用分布的均值(1)两点分布由数学期望的定义可以知道，若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布，则E(X)1 p0(1 p) p，这表明在一次两点分布试验中，离散型随机变量 X 的期望取值为 p.已知随机变量 满足 P( 1)0.3， P( 0)0.7，则 E( )( )A0.3 B0.6C0.7 D1解析 根据题意知随机变量 服从两点分布，所以 E( )0.3答案 A点评 两点分布的随机变量的取值为 0,1，均值 E( ) p1(1 p)0 p.(2)二项分布设离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，由 X 的分布列
4、 P(X k)C pkqn k， k0,1,2， n 和数学期望的定义式得到 E(X)kn0C p0qn1C p1qn1 2C p2qn2 kC pkqn k nC pnq0 np(C p0n 1n 2n kn n 0n 10qn1 C p1qn2 C pk1 q(n1)( k1) C pn1 q0) np(p q)1n 1 k 1n n 1n1 np，所以 E(X) np.注意：在上述证明中运用了公式 kC nC .kn k 1n一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续 3 天
5、里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量3低于 50 个的概率；(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E(X)解 (1)设 A1表示事件“日销售量不低于 100 个” ， A2表示事件“日销售量低于 50个” ， B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个” ，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6.P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X 可能取的值为 0,1,2,
6、3，相应的概率为P(X0)C (10.6) 30.064，03P(X1)C 0.6(10.6) 20.288，13P(X2)C 0.62(10.6)0.432，23P(X3)C 0.630.216.3分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为 X B(3,0.6)，所以期望 E(X)30.61.8.(3)超几何分布若离散型随机变量 X 服从参数为 N， M， n 的超几何分布，则 E(X) .nMN注意：超几何分布的期望公式证明如下：由公式 kC nC 立刻可以得到kn k 1nC C .MNNMM 1N下面我们来求超几何分布的期望，设随机变量 X 服从参
7、数为 N， M， n 的超几何分布，则 X 的分布列为P(X m) (m0,1， l， l 为 n 和 M 中较小的一个)同二项分布类比，我CmnCM mN nCMN们猜想它的期望可能是 n .由数学期望的定义式得MNE(X) P(X m)lm 0m C n lm 0m CmnCM mN nCMNlm 1mCmnCM mN nCMNlm 1n m 1n MN CM mN nCM 1N MNlm 1Cm 1n CM mN nCM 1N4 n (令 m1 i) n .MN l 1i 0Cin 1 C M 1 i N 1 n 1CM 1N MN上式中 C 可以看作 N1 件产品中有 n1 件次品，从
8、中任in 1C M 1 i N 1 n 1CM 1N取 M1 件( M N)，其中恰有 i 件次品的概率，所以对于 i0,1， l1 求和得 1.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数，(1)求 X 的均值；(2)求“所选 3 人中女生人数 X1”的概率解 解法一：(1)依题意知， X 的可能取值为 0、1、2，且 P(X k) ， k0,1,2，故 X 的分布列如下表所示.Ck2C3 k4C36X 0 1 2P 15 35 15从而 E(X)0 1 2 1.15 35 15(2)P(X1) P(X0) P(X1) .15 35 45解法二：(1)依其数学模型知， X 服从超几何分布，且 n2， M3， N6，则 E(X) 1.nMN 236(2)P(X1)1 P(X2)1 1 .C2C14C36 15 45点评 解法二直接应用超几何分布的均值公式，使计算更为简单5
