1、1第一章 1.1 第 2 课时 余弦定理A 级 基础巩固一、选择题1在 ABC 中， ABC ， AB ， BC3，则 sin BAC( C ) 4 2A B1010 105C D31010 55解析 由余弦定理，得AC2 AB2 BC22 ABBCcos 292 3 5. AC 4 2 22 5由正弦定理，得 ，ACsinB BCsinAsin A BCsinBAC 3225 310102已知 ABC 中，sin Asin Bsin C11 ，则此三角形的三个内角的度数分别3是( C )A45，45，90 B30，60，90C30，30，120 D30，45，105解析 在 ABC 中，si
2、n Asin Bsin C a b c， a b c11 3设 a b k， c k(k0)，3则 cosC k2 k2 3k 22kk 12故 C120， A B30，应选 C3如果等腰三角形的周长是底边边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( D )A B518 34C D32 78解析 设等腰三角形的底边边长为 x，则两腰长为 2x(如图)，2由余弦定理得cosA ，故选 D4x2 4x2 x222x2x 784在 ABC 中，若 a，AB AC AB AC AB AC 5由向量模的定义和余弦定理可以得出| |3，| |2，cosAB AC AB AC AB2 AC2 BC22ABAC
3、14故 32 AB AC 14 322在 ABC 中，已知 AB3， BC ， AC4，则边 AC 上的高为( B )13A B322 332C D332 3解析 如图，在 ABC 中， BD 为 AC 边上的高，且 AB3， BC ， AC413cos A ，32 42 13 2234 12sin A 32故 BD ABsinA3 32 3323 ABC 的三内角 A、 B、 C 所对边的长分别为 a、 b、 c，设向量 p( a c， b)，q( b a， c a)，若 p q，则 C 的大小为( B )A B 6 3C D 2 23解析 p( a c， b)， q( b a， c a)，
4、 p q，( a c)(c a) b(b a)0，即 a2 b2 c2 ab由余弦定理，得cosC ，a2 b2 c22ab ab2ab 1200)，由余弦定理，得cosA ，25k2 36k2 16k225k6k 34同理可得 cosB ，cos C ，916 18故 cosAcos Bcos C 129234 916 186(2017浙江卷，14)已知 ABC， AB AC4， BC2.点 D 为 AB 延长线上一点，BD2，连接 CD，则 BDC 的面积是_ _，cos BDC_ _152 104解析 依题意作出图形，如图所示，则 sin DBCsin ABC由题意知 AB AC4， B
5、C BD2，则 sin ABC ，cos ABC ，154 14所以 S BDC BCBDsin DBC12 22 12 154 1527因为 cos DBCcos ABC 14 BD2 BC2 CD22BDBC ，所以 CD 8 CD28 10由余弦定理，得 cos BDC 4 10 42210 104三、解答题7设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 a c6， b2，cos B 79(1)求 a、 c 的值；(2)求 sin(A B)的值解析 (1)由余弦定理，得 b2 a2 c22 accosB， b2( a c)22 ac(1cos B)，又已知 a
6、c6， b2，cos B ， ac979由 a c6， ac9，解得 a3， c3(2)在 ABC 中，cos B ，79sin B 1 cos2B429由正弦定理，得 sinA ，asinBb 223 a c， A 为锐角，cos A 1 sin2A13sin( A B)sin AcosBcos AsinB 10227C 级 能力拔高1(2017全国卷理，17) ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.已知 ABC的面积为 a23sinA(1)求 sinBsinC；(2)若 6cosBcosC1， a3，求 ABC 的周长解析 (1)由题设得 acsinB ，即 csi
7、nB 12 a23sinA 12 a3sinA由正弦定理，得 sinCsinB 12 sinA3sinA8故 sinBsinC 23(2)由题设及(1)得 cosBcosCsin BsinC ，12即 cos(B C) .所以 B C ，故 A 12 23 3由题意得 bcsinA ， a3，所以 bc812 a23sinA由余弦定理，得 b2 c2 bc9，即( b c)23 bc9.由 bc8，得 b c 33故 ABC 的周长为 3 332(2017全国卷理，17) ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知sin(A C)8sin 2 B(1)求 cosB；(2)若 a c6， ABC 的面积为 2，求 b解析 (1)由题设及 A B C 得 sinB8sin 2 ，B故 sinB4(1cos B)上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，解得 cosB1(舍去)，或 cosB 1517故 cosB 1517(2)由 cosB ，得 sinB ，1517 817故 S ABC acsinB ac12 417又 S ABC2，则 ac 172由余弦定理及 a c6，得 b2 a2 c22 accosB( a c2)2 ac(1cos B)362(1 )4172 1517所以 b29
