1、1第一章 1.1 第 3 课时 正、余弦定理的综合应用A 级 基础巩固一、选择题1在 ABC 中，若 a7， b3， c8，则其面积等于( D )A12 B 212C28 D6 3解析 由余弦定理的推论，得cosA ，b2 c2 a22bc 9 64 49238 12sin A 32 S ABC bcsinA 38 6 12 12 32 32在 ABC 中，三边长分别为 a2， a， a2，最大角的正弦值为 ，则这个三角形32的面积为( B )A B154 1534C D2134 3534解析 三边不等，最大角大于 60设最大角为 ，故 所对的边长为 a2，sin ， 12032由余弦定理得，
2、(a2) 2( a2) 2 a22 a(a2)cos120，即 a25 a，故 a5，故三边长分别为 3,5,7， S 35sin120 12 15343在 ABC 中， B60， b2 ac，则此三角形一定是( B )A直角三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形解析 由余弦定理，得 b2 a2 c2 ac，又 b2 ac，2 a2 c22 ac0，即( a c)20， a c， B60， A C60故 ABC 是等边三角形4已知锐角 ABC 的面积为 3 ， BC4， CA3，则角 C 的大小为( B )3A75 B60 C45 D30解析 3 43sinC，sin C ，312
3、 32 ABC 为锐角三角形， C60，故选 B5在 ABC 中，已知( b c)( a c)( a b)456，则 sinAsin Bsin C 等于( B )A654 B753C357 D456解析 ( b c)( c a)( a b)456， b c4 c a5 a b6令 k(k0)，b c4 c a5 a b6则Error! ，解得Error! .sin Asin Bsin C a b c7536在 ABC 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c.若 c2( a b)26， C ， 3则 ABC 的面积是( C )A3 B932C D3332 3解析 由余弦定理，得
4、 c2 a2 b22 abcosC a2 b2 ab( a b)26， ab6， S ABC absinC 6 12 12 32 332二、填空题7(2018全国卷文，16) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知bsinC csinB4 asinBsinC， b2 c2 a28，则 ABC 的面积为_ _233解析 根据正弦定理有：sinBsinCsin CsinB4sin AsinBsinC，所以 2sinBsinC4sin AsinBsinC，3因为 B， C(0，)，所以 sinB0，sin C0，所以 sinA .因为 b2 c2 a28，12所以 cos
5、A ，b2 c2 a22bc 4bc 32所以 bc ，所以 S bcsinA 833 12 2338在 ABC 中， A60，最大边与最小边是方程 x29 x80 的两个实根，则边 BC长为_ _57解析 A60，可设最大边与最小边分别为 b、 c由条件可知， b c9， bc8， BC2 b2 c22 bccosA( b c)22 bc2 bccosA9 22828cos6057， BC 57三、解答题9(20182019 学年度甘肃天水一中高二月考)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 bsinA acosB3(1)求 B；(2)若 b3，sin C s
6、inA，求 a， c3解析 (1) bsinA acosB，3 sinBsinAsin AcosB，3sin A0， sinBcos B，3tan B ，330 B， B 6(2)sin C sinA， c a. 3 3由余弦定理，得 b2 a2 c22 accosB，9 a2 c22 accos a2 c2 ac. 6 3由，解得 a3， c3 3410(2017北京理，15)在 ABC 中， A60， c a37(1)求 sinC 的值；(2)若 a7，求 ABC 的面积解析 (1)在 ABC 中，因为 A60， c a，37所以由正弦定理，得 sinC csinAa 37 32 3314
7、(2)因为 a7，所以 c 7337由余弦定理 a2 b2 c22 bccosA 得72 b23 22 b3 ，12解得 b8 或 b5(舍去)所以 ABC 的面积 S bcsinA 83 6 12 12 32 3B 级 素养提升一、选择题1已知 a、 b、 c 分别为 ABC 三个内角 A、 B、 C 的对边，且( b c)(sinBsin C)( a c)sinA，则角 B 的大小为( A )3A30 B45C60 D120解析 由正弦定理得( b c)(b c) a(a c)，即 a2 c2 b2 ac，又由余弦定3 3理得：cos B ， B30，选 Aa2 c2 b22ac 322在
8、 ABC 中，有下列关系式： asinB bsinA; a bcosC ccosB； a2 b2 c22 abcosC; b csinA asinC一定成立的有( C )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析 对于，由正弦、余弦定理，知一定成立对于，由正弦定理及sinAsin( B C)sin BcosCsin CcosB，知显然成立对于，利用正弦定理，变形得sinBsin CsinAsin AsinC2sin AsinC，又 sinBsin( A C)cos CsinAcos AsinC，与上式不一定相等，所以不一定成立故选 C3在 ABC 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、
9、b、 c，若 3a2 b，则5的值为( D )2sin2B sin2Asin2AA B19 13C1 D72解析 3 a3 b， b a，32由正弦定理，得 2sin2B sin2Asin2A 2b2 a2a2 294a2 a2a2 724若 ABC 的内角 A、 B、 C 满足 6sinA4sin B3sin C，则 cosB( D )A B154 34C D31516 1116解析 6sin A4sin B3sin C，6 a4 b3 c， b a， c2 a32由余弦定理，得 cosB a2 c2 b22ac a2 4a2 94a22a2a 1116二、填空题5有一解三角形的题因纸张破损
10、导致有一个条件不清，具体如下：在 ABC 中，已知a ， B45，_ c _，求角 A 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且32 62答案提示 A60，请直接在题中横线上将条件补充完整解析 由正弦定理得 ，即 ，得 b .由余弦定理得asinA bsinB 3sin60 bsin45 2cosA ，可求出 c .故应填 c b2 c2 a22bc 2 c2 322c 12 2 62 2 626已知三角形两边长分别为 1 和 ，第三边上的中线长为 1，则三角形的外接圆半径3为_1_解析 如图， AB1， BD1， BC ，36设 AD DC x，在 ABD 中，cos ADB ，x2 1 1
11、2x x2在 BDC 中，cos BDC ，x2 1 32x x2 22x ADB 与 BDC 互补，cos ADBcos BDC， ，x2 x2 22x x1， A60，由 2 R 得 R13sin60三、解答题7(20182019 学年度宁夏育才中学高二月考)在平行四边形 ABCD 中， ADC90， A45， AB2， BD5(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 ，求 BC2解析 (1)如图，在 ABD 中，由正弦定理，得 ，5sin45 2sin ADBsin ADB ，25 ADB90，cos ADB 1 sin2 ADB235(2) ADB BDC ，cos BDCcos(
12、ADB)sin ADB，cos BDCcos( 2 27 ADB)sin ADB，cos BDC 2 DC2 BD2 BC22BDDC . BC525 8 25 BC22522C 级 能力拔高1(20182019 学年度贵州凯里一中高二月考)已知在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 asinC bcsinA03(1)求 b 的值；(2)若 cosB sinB2，求 ABC 面积的最大值3解析 (1)由 asinC bcsinA0 及正弦定理，3得 sinAsinC bsinCsinA0，3sin A0，sin C0， b 3(2)cos B sinB2，2( c
13、osB sinB)2，312 32sin( B )1， 60 B， b， a5， c6，sin B 35(1)求 b 和 sinA 的值；(2)求 sin(2A )的值 4解析 (1)在 ABC 中，因为 ab，所以由 sinB ，得 cosB 35 458由已知及余弦定理，得 b2 a2 c22 accosB2536256 13，45所以 b .由正弦定理 ，13asinA bcosB得 sinA asinBb 31313所以 b 的值为 ，sin A 的值为 1331313(2)由(1)及 ac，得 cosA ，21313所以 sin2A2sin AcosA ，1213cos2A12sin 2A 513所以 sin(2A )sin2 Acos cos2 Asin ( ) 4 4 4 1213 22 513 22 7226
