1、1第三章 3.3 第 3课时 线性规划的应用A级 基础巩固一、选择题1(2016浙江文，4)若平面区域Error!夹在两条斜率为 1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( B )A B355 2C D322 5解析 不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中 A(1,2)、 B(2,1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点 A与 B，又两平行直线的斜率为 1，直线 AB的斜率为1，所以线段 AB的长度就是过 A、 B两点的平行直线间的距离，易得|AB| ，即两条平行直线间的距离的最小值是 ，故选 B2 22(2015天津文，2)设变量 x、 y满足约
2、束条件Error!，则目标函数 z3 x y的最大值为( C )A7 B8C9 D14解析 z3 x y (x2) (x2 y8)99，当 x2， y3 时取得最大值 9，52 12故选 C此题也可画出可行域如图，借助图象求解3(2017浙江卷，4)若 x、 y满足约束条件Error!，则 z x2 y的取值范围是( D )2A0,6 B0,4C6，) D4，)解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线 y x 过点 A(2,1)时， z取得最小值，即12 z2zmin2214，所以 z x2 y的取值范围是4，)故选 D二、填空题4(2015全国理，15)若 x、
3、 y满足约束条件Error!，则 的最大值为_3_yx解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点与原点yx连线的斜率，由图可知，点 A(1,3)与原点连线的斜率最大，故 的最大值为 3. yx5已知 x、 y满足Error!，且 z2 x4 y的最小值为6，则常数 k_0_解析 由条件作出可行域如图根据图象知，目标函数过 x y k0 与 x3 的交点(3，3 k)时取最小值，代入目标函数得6234(3 k)，解得 k0三、解答题36制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含 A药品 3 g、 B 药品 4 g、 C药品 4 g，乙种烟花每枚含 A药品 2 g、 B药品 11
4、 g、 C药品 6 g已知每天原料的使用限额为 A药品 120 g、 B药品 400 g、 C药品 240 g甲种烟花每枚可获利 2 元，乙种烟花每枚可获利 1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大解析 设每天生产甲种烟花 x枚，乙种烟花 y枚，获利为 z元，则Error!，作出可行域如图所示目标函数为： z2 x y.(xN， yN)作直线 l：2 x y0，将直线 l向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大此时 z2 x y取最大值故每天应只生产甲种烟花 40枚可获最大利润7某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180 t支援物
5、资的任务，该公司有8辆载重为 6 t的 A型卡车和 4辆载重为 10 t的 B型卡车，有 10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 A型卡车 4次， B型卡车 3次，每辆卡车每天往返的成本费 A型车为 320元， B型车为 504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低解析 设每天调出 A型车 x辆， B型车 y辆，公司所花的成本为 z元，则由题意知Error!，目标函数为 z320 x504 y(其中 x、 yN)作出可行域如图所示由图易知，当直线 z320 x504 y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z320 x504 y取得最小值， zmin320850402 560，每天
6、调出 A型车 8辆， B型车 0辆，公司所花成本费最低B级 素养提升一、选择题41(2015湖南文，4)若变量 x、 y满足约束条件Error!，则 z2 x y的最小值为( A )A1 B0C1 D2解析 由约束条件作出可行域，然后根据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案由约束条件Error!，作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立Error!， Error!， A(0,1)， z2 x y在点 A处取得最小值为 2011，故选 A2为支援灾区人民，某单位要将捐献的 100台电视机运往灾区，现有 4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用 400元，可装电视机
7、 20台；每辆乙型货车运输费用 300元，可装电视机 10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( C )A2 800 元 B2 400 元C2 200 元 D2 000 元解析 设调用甲型货车 x辆，乙型货车 y辆，则0 x4,0 y8,20 x10 y100，即 2x y10，设运输费用为 t，则 t400 x300 y线性约束条件为Error!，作出可行域如图，则当直线 y x 经过可行域内点 A(4,2)时， t取最小值 2 43 t300200，故选 C3已知实数 x、 y满足Error!，若目标函数 z2 x y的最大值与最小值的差为 2，则实数 m的值为( C )A
8、4 B35C2 D12解析 Error!表示的可行域如图中阴影部分所示将直线 l0：2 x y0 向上平移至过点 A， B时， z2 x y分别取得最小值与最大值由Error! 得 A(m1， m)，由Error!得 B(4 m， m)，所以 zmin2( m1) m3 m2， zmax2(4 m) m8 m，所以 zmax zmin8 m(3 m2)104 m2，解得 m2.故选 C4一个农民有 2亩田，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为 400 kg；若种花生，则每亩每期产量为 100 kg，但水稻成本较高，每亩每期需 240元，而花生只要 80元，且花生每千克可卖 5元，稻米每千克
9、只卖 3元，现在他只能凑足 400元，则这位农民种植这两种植物所获取的最大利润为( B )A1 600 元 B1 650 元C1 700 元 D1 750 元解析 设水稻种 x亩，花生种 y亩，则由题意得Error!，而利润 P(3400240) x(510080) y960 x420 y(目标函数)作出可行域如图所示，联立Error! ，得交点 B(1.5,0.5)故当 x1.5， y0.5 时，Pmax9601.54200.51 650(元)即水稻种 1.5亩，花生种 0.5亩时所得到的利润最大，最大利润为 1 650元二、填空题5(2015全国文，14)若 x、 y满足约束条件Error
10、!，则 z2 x y的最大值为_8_解析 不等式组Error!表示的可行域是以 A(1,1)， B(2,3)， C(3,2)为顶点的三角形6区域， z2 x y的最大值必在顶点 C处取得，即 x3， y2 时， zmax86福建武夷山市南岩茶叶精制厂用茶叶由甲车间加工出红茶，由乙车间加工出绿茶甲车间加工一箱茶叶需耗费工时 10h，可加工出 7kg红茶，每千克红茶获利 40元；乙车间加工一箱茶叶耗费工时 6h，可加工出 4kg绿茶，每千克绿茶获利 50元甲、乙两车间每天共能完成至多 20箱茶叶的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480h，甲、乙两车间每天总获利最大值为_15_200_元
11、解析 设甲车间加工茶叶 x箱，乙车间加工茶叶 y箱，甲、乙两车间每天总获利为z元，则Error!，即 Error!目标函数 z280 x200 y， x、 yN，作出可行域，即如图(阴影部分)所示中的整数点当 z280 x200 y对应的直线过直线 x y70 与 5x3 y240 的交点时，目标函数z280 x200 y取得最大值由Error! ，得Error!.故 zmax280152005515 200(元)，即甲、乙两车间每天总获利最大值为 15 200元三、解答题7咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9 g，咖啡 4 g，糖 3 g；乙种饮料每杯含奶粉 4 g，咖啡 5 g，糖
12、10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉 3 600 g，咖啡 2 000 g，糖 3 000g.如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？解析 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲 x杯，饮料乙 y杯，7线性约束条件为Error!，利润 z0.7 x1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为 ，所以在可行域内的整数点 A(200,240)使94 810 712 310zmax0.72001.2240428(元)，即配制饮料甲 200杯，乙 240杯可获得最大利润C
13、级 能力拔高1已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200万吨和 260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地东车站每年最多能运 280万吨煤，西车站每年最多能运 360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1元/t 和 1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8 元/t 和 1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解析 设甲煤矿向东车站运 x万吨煤，乙煤矿向东车站运 y万吨煤，那么总运费z x1.5(200 x)0.8 y1.6(260 y)(万元)即 z7160.5 x0.8 yx、 y应满足Error!，即Error! ，作出上面的不等式
14、组所表示的平面区域，如图设直线 x y280 与 y260 的交点为 M，则 M(20,260)把直线 l0：5 x8 y0 向上平移至经过平面区域上的点 M时， z的值最小8点 M的坐标为(20,260)，甲煤矿生产的煤向东车站运 20万吨，向西车站运 180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少2某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：单位产品所需资金
15、(百元)资金电子琴(架) 洗衣机(台)月资金供应量(百元)成本 30 20 300劳动力(工资) 5 10 110单位利润 6 8 /试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？解析 设电子琴和洗衣机月供应量分别为 x架、 y台，总利润为 z百元，则根据题意，有Error!，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分令 z0，作直线 l：6 x8 y0，即 3x4 y0当移动直线 l过图中的 A点时， z6 x8 y取得最大值解方程组Error!，得 A(4,9)，代入 z6 x8 y得 zmax648996所以当供应量为电子琴 4架、洗衣机 9台时，公司可获得最大利润，最大利润是 96百元9
