1、1课时作业(二十九) 第 29 讲 等差数列及其前 n 项和时间 /45 分钟 分值 /100 分基础热身1.已知数列 an是等差数列, a3+a13=20,a2=-2,则 a15= ( )A.20 B.24C.28 D.342.在等差数列 an中,若 a3+a4+a5=3,a8=8,则 a12的值是 ( )A.15 B.30C.31 D.643.2018张家界三模 在等差数列 an中, a3+a5=12-a7,则 a1+a9= ( )A.8 B.12C.16 D.204.在等差数列 an中,若前 10 项的和 S10=60,且 a7=7,则 a4= ( )A.4 B.-4 C.5 D.-55
2、.已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和,若 S5=5a4-10,则数列 an的公差为 . 能力提升6.2018青海西宁一模 我国古代数学名著九章算术第六章“均输”中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱(“钱”是古代一种重量单位),甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”这个问题中,等差数列的通项公式为 ( )A.- n+ (nN *,n5)16 76B. n+ (nN *,n5)16 32C. n+ (nN *,n5)16 76D.- n+ (n
3、N *,n5)16 327.若干个连续奇数的和 3+5+7+(4n-1)= ( )A.2n2+n B.n2+2nC.4n2+2nD.4n2-128.2018山西运城康杰中学模拟 已知数列 an,bn满足 bn=an+an+1,则“数列 an为等差数列”是“数列 bn为等差数列”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.2018河南濮阳二模 已知等差数列 an一共有 9 项,若前 4 项的和为 3,最后 3 项的和为 4,则中间 1 项的值为 ( )A. B.17205960C.1 D.676610.2018黑龙江普通高等学校模拟 在数列 an中,若
4、a1=2,且对任意正整数 m,k,总有am+k=am+ak成立,则 an的前 n 项和 Sn= ( )A.n(3n-1) B.n(n+3)2C.n(n+1) D.n(3n+1)211.2018四川资阳三诊 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a1=9,a5=1,则使得 Sn0成立的最大的自然数 n 为 . 12.2018河北武邑中学模拟 设正项等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S2017=6051,则 +1a4的最小值为 . 4a201413.2018合肥三模 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且数列 为等差数列 .若 S2=1,S2018-SnnS2016=5,则 S2
5、018= . 14.(10 分)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a16+a17+a18=a9=-36.(1)求 Sn的最小值,并求出 Sn取得最小值时 n 的值;(2)若 Tn=|a1|+|a2|+|an|,求 Tn.15.(10 分)已知 Sn为等差数列 an的前 n 项和,且 a1=1,S9=81,记 bn=log5an,其中 x表示不超过 x 的最大整数,如0 .9=0,lg99=1.(1)求 b1,b14,b61的值;3(2)求数列 bn的前 200 项和 .难点突破16.(15 分)2018哈尔滨六中模拟 已知 Sn为数列 an的前 n 项和,且 2Sn=nan+n(n
6、N *).(1)求证: an是等差数列;(2)若 a2=2,bn= ,Tn是 bn的前 n 项和,求 Tn.n+2anan+12n4课时作业(二十九)1.B 解析 设数列 an的公差为 d,由已知,得 a3+a13=2a8=20,a 8=10,又 a2=-2,d= 2,a 15=a2+13d=-2+132=24.2.A 解析 设数列 an的公差为 d,由 a3+a4+a5=3a4=3,得 a4=1,又 a8=8=a4+4d,则 d= ,故74a12=8+4d=15.3.A 解析 由等差数列的性质得, a3+a5+a7=3a5=12,则 a5=4,所以 a1+a9=2a5=8.故选 A.4.C
7、解析 由等差数列的性质得 a1+a10=a7+a4,S 10= =60,a 1+a10=12.又10(a1+a10)2a7=7,a 4=5,故选 C.5.2 解析 设数列 an的公差为 d,由等差数列的前 n 项和公式,可得 S5= 5=5a3,结a1+a52合题意有 5a4-10=5a3, 5(a4-a3)=10,即 5d=10,d= 2.6.D 解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得分别为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,所以 a=-6d,又 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以 a=1,所以此数列的首项为 ,公差为
8、 - ,故通项公式为 an=- n+ (nN *,n5),故选 D.43 16 16 327.D 解析 方法一:把原式加 1 减 1 变成 1+3+5+7+(4n-3)+(4n-1)-1,即4+12+20+(8n-4)-1,则原式等价于首项 a1=4,公差 d=8 的等差数列的前 n 项和减 1,则原式 =4n+ 8-1=4n+4n2-4n-1=4n2-1.n(n-1)2方法二:用特殊值检验法 .当 n=1 时,和为 3,可排除 C;当 n=2 时,和为 15,可排除 A,B.故选 D.8.A 解析 若数列 an是等差数列,设其公差为 d1,则 bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+
9、an+1)=an+2-an=2d1,所以数列 bn是等差数列,充分性成立;若数列 bn是等差数列,设其公差为 d2,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=d2,不能推出数列 an是等差数列,必要性不成立 .故选A.9.D 解析 设数列 an的公差为 d,由 a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4,可得 a1=,d= ,等差数列 an一共有 9 项,所以中间 1 项为 a5=a1+4d= ,故选 D.1322 766 676610.C 解析 因为 am+k=am+ak,所以令 k=1,可得 am+1=am+a1=am
10、+2,即 am+1-am=2 恒成立,据此可知,数列 an是一个首项 a1=2,公差 d=2 的等差数列,故其前 n 项和 Sn=na1+ d=2n+n(n-1)22=n(n+1).n(n-1)2511.9 解析 因为 a1=9,a5=1,所以公差 d= =-2,所以 Sn=9n+ n(n-1)(-2)=-n2+10n,令1-94 12Sn0,得 00 成立的最大的自然数 n 为 9.12. 解析 因为 S2017=6051,所以 (a1+a2017)=6051,所以 a1+a2017=6,所以 a4+a2014=6.故32 20172+ = (a4+a2014) + = 5+ + (5+4)
11、= ,当且仅当 a4=2,a2014=4 时取等号 .1a4 4a201416 1a4 4a201416 4a4a2014a2014a4 16 3213.3027 解析 数列 为等差数列, 可设 =an+b,整理得 Sn=an2+bn.S 2=1,S2018-Snn SnnS2016=5, 4a+2b=1,a20182+2018b-a20162-2016b=5,解得 a= ,b= ,则120165031008S2018= 20182+ 2018=3027.12016 503100814.解:(1)因为 a16+a17+a18=3a17=-36,所以 a17=-12,则公差 d= = =3,所以
12、 an=a9+(n-a17-a917-92489)d=3n-63,所以 S20=S21= =-630,20-60+(-3)2所以当 n=20 或 21 时, Sn取得最小值 -630.(2)由(1)知,数列 an的前 20 项均小于 0,第 21 项等于 0,以后各项均为正数 .当 n21 时, Tn=-Sn=- =- n2+ n;当 n21 时, Tn=Sn-2S21= -n(-60+3n-63)2 32 1232 n(-60+3n-63)22S21= n2- n+1260.32 1232综上, Tn=-32n2+1232n,n 21,n N*,32n2-1232n+1260,n21,n N
13、*.15.解:(1)设等差数列 an的公差为 d,根据等差数列的性质可知 S9=9a5=9(a1+4d)=81,a 1+4d=9.a 1=1,d= 2,a n=2n-1,b 1=log51=0,b14=log527=2,b61=log5121=2.(2)当 1 n2 时,1 an3, bn=log5an=0,共 2 项;当 3 n12 时,5 an23, bn=log5an=1,共 10 项;当 13 n62 时,25 an123, bn=log5an=2,共 50 项;当 63 n200 时,125 an399, bn=log5an=3,共 138 项 . 数列 bn的前 200 项和为 2
14、0+101+502+1383=524.16.解:(1)证明: 2Sn=nan+n, 2Sn-1=(n-1)an-1+(n-1)(n2) .两式相减,得 2an=nan+n-(n-1)an-1-(n-1)(n2), (n-2)an=(n-1)an-1-1(n2),6 (n-1)an+1=nan-1,两式相减,得( n-1)an+1-(n-2)an=nan-(n-1)an-1(n2), 2(n-1)an=(n-1)an-1+(n-1)an+1(n2), 2an=an-1+an+1(n2), an为等差数列 .(2) 2S1=a1+1=2a1,a 1=1,又 a2=2,d= 1,a n=n,b n= = - ,n+2n(n+1)2n 12n-1n 12n(n+1)T n= 1- + - + - =1- .14 14112 12n-1n 12n(n+1) 12n(n+1)
