1、1专题 01 函数的基本性质第一季1设函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ， 都有 ，且当 时， 若在区间 内关 于 的方程 至少有 2 个不同的实数根，至多有 3 个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】对 都有 ，所以 是定义在 上的周期为 4 的函数；作函数 与 的图象，结合图象可知 ，解得 ，故选 D.2已知定义在 上函数 ：满足 ， 为函数 的导函数，且 无零点，则的值为（ ）A0 B2 C D【答案】B【解析】无零点，故函数 为单调函数，由 知 为常数，设 ，23已知定义在 上的可导函数 、 满 足 ， ，如果 的最大值为 ，最小值为 ，则 （ ）A-
2、2 B2 C-3 D3【答案】 D【 解析】，则故，则，故 的图象关于(0， )对称，故选 D34已知偶函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时， ， .方程 有 个不等实根；方程 只有 个实根； 当 时，方程 有 个不等实根；存在 使 .A B C D【答案】B【解析】1 号得到: .令 , 代入原式,得到 或,解得两个方程各有一个根,故正确;2 号建立方程 ,解得,所以 为偶函数,而 , ,故不止一个实根,故错误.3 号 解得 x=2，0,-2.-4,而令 ，故 的范围为 ，因而 ，一共有七个根，故正确。4 选项当 ， ，而当 ，根本就不存在这样的点，故错误。5若函数 的图象上存在两个点 关于
3、原点对称，则称点对 为 的“友情点对” ，点对与 可看作同一个“友情点对” ，若函数 恰好由两个“友情点对” ，则实数 的值为（ ）A B2 C1 D0【答案】B【解析】首先注意到 没有对称点.当 时， ，则 ，即有两个实数根，即 有两个实数根.画出的图像如下图所示，由图可知 时有两个解.46定义在 R上的偶函数 fx满足 ，且当 1,2x时， ，若函数有 7个零点，则实数 m的取值范围为（ ） A B C D 【答案】A【解 析】 ,当 1,2x时， ,作出 yfx图形，由图可知直线 ymx过点 时有六个交点，过点 时有八个交点，过点时有六个交点，过点 时有八个交点，因此要使函数 有 7 个
4、零点，需 ，选 A. 57已知 M是函数 在 3,5x上的所有零点之和，则 M的值为（ ）A4 B6 C8 D10【答案】C8设函数 ，若 ， 满足不等式 ，则当 时，的最大值为（ ）A B C D【答案】B【解析】因为 ,所以函数 为奇函数,又因为为单调减函数,且 所以 为 上减函数,因此,因为 ,所以可行域为一个三角形 及其内部,其中 ,因此直线 过点 时取最大值 ,选 B.69定义在 R上的奇函数 fx满足 ，当 0,2x时， .若在区间,ab上，存在 3m个不同的整数 ，满足 ，则 ba的最小值为（ )A15 B16 C17 D18【答案】B【解析】定义在 R上的奇函数 fx满足 ，得
5、即 则的周期为 8函数 fx（ ） 的图形如下：比如，当不同整数 ix 分别为 -1，1，2，5，7时， ba 取最小值， ，则 b-a 的最小值为 18，故选 D点睛：本题考查了奇函数的性质，数形结合是解题的关键，属于中档题10设函数 ，若曲线 是自然对数的底数）上存在点 0,xy使得，则 a的取值范围是（ ）A ,0 B ,e C 1,e D 0,【答案】C【解析】因为 ,所以 在 0,e 上有解7因为 ,( 易证 ln1x ) ,所以函数 fx 在0,上单调递增,因此由 得 fx 在 0,e 上有解，即 ,因为，选 C.11函数 的值域为（ ）A B C D【答案】D【解析】由 得 ，当
6、 时，函数 为增函数，所以当 时，由 移项得两边平方整理得得 从而 且 由 ，得 ，由 所以 综上，所求函数的值域为 .选 D12已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且对任意的实数 ，等式成立，若数列 满足 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）A BC D【答案】D【解析】 当 时 与 时， 矛盾，因此当 时， ，8设 ，则 ,因此 为单调减函数，从而, , ,选 D.13定义在 上的偶函数 ，当 时， ，且 在上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是（ ）A有两个 B有一个 C没有 D上述情况都有可能【答案】A【解析】由于函数 ，为偶函数，且在 单调递增，如图所示， 函数 ，在 上恒成立
7、，函数 在 上的图象位于 的图象上方，当 时，由 可得 ，解得，故 的图象至少向左平移两个单位，才符 合题意，即 ，由于函数 的值域为，故函数 的图象和直线 有 个交点， 关于 的方 的根有 个，故选 A.14设函数 y=f (x)是定义域为 R 的奇函数，且满足 f (x-2)=-f (x)对一切 xR 恒成立，当-1x1 时，f (x)=x3，则下列四个命题： f(x)是以 4 为周期的周期函数 f(x)在1，3上的解析式为 f (x)=(2-x)3 f(x)在 3,2f 处的切线方程为 3x+4y-5=0 f(x)的图象的对称轴中，有 x=1，其中正确的命题是( )9A B C D【答案
8、】D【解析】 当 13x时, 当 时, ,所以切线方程为f(x)的图象关于 x=1 对称,因此选 D.15已知定义在 0,上的函数 fx为增函数，且 ，则 1f等于（ ）A 152 B 152 C 152或 D 5【答案】B【解析】令 1x得 ，令 1tf，则 ，中，令 xt，则 ，所以，因为函数 f为定义在 0,上的增函数，所 以 1t，变形可得210t，解得 152t或 t，所以 或 。令 2x得，令 tf，则 ，令 1t，则，所以10，因为函数 fx为定义在 0,上的增函数，所以，解得 154t或 +t，所以 或 ，因为函数 fx为定义在 0,上的增函数，所以 。所以 。故选 B。16已
9、知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 1y的对称点在1ykx的图像上，则实数 k的取值范围是（ ）A ,2 B 3,24 C 1, D 1,2【答案】A【解析】直线 1ykx关于直线 1y的对称直线是 1ykx，则直线 1ykx与函数 fx的图象有四个交点，作出函数 f和直线 kx的图象（如图所示） ，设直线 与相切于点 1,xy，则 ，解得1 2xk，设直线 21ykx与 相切于点 2,xy，则 ，解得 21 xk，则 ，即 k；故选 A.1117已知函数 ,曲线 关于直线 1x对称,现给出如结论：若 0c,则存在 0x，使 0()fx；若 1，则不等式 的解集为 12， ；若 0c
10、，且 ykx是曲线 的一条切线 ,则 k的取值范围是 27,4.其中正确结论的个数为( )A0 B1 C2 D3【答案】D若 1c，则 ，此时 ,图像如图所示，因此不等式 等价于 ，即不等式 的解集为1212， ；若 10c，且 ，如图，则 ykx是曲线的一条切线, 设切点为 ，则 ，因为 ，所以，由 ，13所以 ，综上，正确结论的个数为 3，选 D.18定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若对任意的，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）A B C D【答案】C【解析】为偶函数，当 时， ，绘制如图所示的函数图象，由图可知 在 上连续且单调递减，不等式 恒成立，等价于 ，不等式 恒成立，两边同时平方整理得 恒成立令 ，则有 ，函数最大值 恒成立（1）当 时， ，即 恒成立，（2）当 时， 单调递增，即 ，解得 ，所以 的取值范围为（3）当 时， 单调递减，即 ，解得 ，所以，不存在满足条件的 值 .综上使 ，不等式 恒成立的 的取值范围所以最大值为故选 C.14为19已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若，则 的大小关系正确的是A B C D【答案】C20已知函数 与 在 （ ，且 ）上有 个交点 ， ，则 （ ）A B C D【答案】B【解析】15由图可知 交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为 2，纵坐标和为 0，所以，选 B.
