1、1专题 01 函数的基本性质第四季1对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 是曲线 的“优美点” ，已知，若曲线 存在“优美点” ，则实数 的取值范围为_.【答案】由 与 联立，可得 在 有解，由 ，当且仅当 时，取得等号，即有 ，则 的取值范围是 ，故答案为2如图放置的边长为 2 的正三角形 沿 轴滚动, 设顶点 的纵坐标与横坐标的函数关系式是， 有下列结论:函数 的值域是 ；对任意的 ，都有 ；函数 是偶函数；函数 单调递增区间为 .其中正确结论的序号是_. (写出所有正确结论的序号)说明: “正三角形 沿 轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动. 沿 轴正方向滚动指的是先以顶点 为2中心
2、顺时针旋转, 当顶点 落在 轴上时, 再以顶点 为中心顺时针旋转 , 如此继续. 类似地, 正三角形可以沿 轴负方向滚动. 【答案】【解析】点 运动的轨迹如图所示. 由图可知：的值域为 , 错； 是一个周期函数,周期为 , 正确；函数 的图象关于 轴对称，为偶函数, 正确；函数 的增区间为 和 , 错，故答案为.3函数 f（x） ax2x+ a在1，2上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为_【答案】 a|a0 或 a4【解析】当 时， 为常数函数，不符合题意 .当 时，由于 ，故 函数，函数开口向上，对称轴为 ，故函数在 上递增，符 合题意.当 时，令，解得 .此时 ，故函数在 上递减，在上
3、递增，所以 是 的子集，故 ，解得 ，故 的取值范围是 或.4设 a， b R， a b，函数 g（ x）= |x+t|（ x R） ， （其中 表示对于 x R，当 t a， b时，表达式| x+t|的最大值） ，则 g（ x）的最小值为_【答案】 （ b-a）3当-bx- ，f（a）f （b） ，可得 g（x）=f（a）=-a-x；当-xa 即 x-a 时，区间a，b为增区间，可得 g（x）=f（b）= b+x则 g（x）= ，当 x-b，g（x）b-a；- x-a 时，g（x） （b-a） ；当-bx- ，g（x） （b-a） ；x-a 时，g（x）b-a则 g（x）的最小值为 （b-a
4、） 故答案为： （b-a） 5关于函数 ，下列命题中所有正确结论的序号是_其图象关于 轴对称； 当 时， 是增函数；当 时， 是减函数； 的最小值是 ； 在区间 上是增函数；【答案】【解析】函数 ，定义域为 ，定义域关于原点对称， ，所以函数 是偶函数，图象关于 轴对称，故正确；令 ，函数 在 上单调递减，证明如下：4任取 ， ，且 ，则 ，因为 ， ，所以 ，而 ， ，所以 ，故函数 在 上单调递减。同理可以证明函数 在 上单调递增，又因为 在 单调递增，利用复合函数单调性可知， 在 上单调递减，在 上单调递增。由于函数 是偶函数，可知 在 上单调递增，在 上单调递减。的最小值为 .所以错误
5、，正确。综上正确的结论是.6已知函数 f（x）=x 3+lg（ +x）+5，若 f（a）=3，则 f（-a）=_【答案】7【解析】根据题意，当 x=a 时，f（a）=3代入化简可得 f（a）=a 3+lg（ +a）+5=3，即 a3+lg（ +a）=-2当 x=-a 时，代入得f（ -a）= (-a) 3+lg（ -a）+5=-a3+lg（ -a）+5=-a3+ +5=-a3 +5=-a3 +55=-2 +5=77已知函数 ，若 ，则 a 的取值范围是_【答案】【解析】函数 ，由函数 y=sinx，y= 在-1，1内都为奇函数，可得函数 f（x）在-1，1内为偶函数，由函数 y=sinx，y=
6、 在0，1内都为增函数，且函数值均为非负数，可得函数 f（x）在0，1内为增函数， ，|a-1| ，解得 或 则 a 的取值范围是 故答案为： 8某同学在研究函数 f（ x）= （ x R） 时，分别给出下面几个结论：等式 f（- x）=- f（ x）在 x R 时恒成立；函数 f（ x）的值域为（-1，1）若 x1 x2，则一定有 f（ x1） f（ x2） ；方程 f（ x）= x 在 R 上有三个根其中正确结论的序号有_ （请将你认为正确的结论的序号都填上）【答案】【解析】对于，任取 ，都有 ，正确； 对于，当 时， ， 根据函数 的奇偶性知 时， ， 且 时， ，正确； 对于，则当 时
7、， ， 6由反比例函数的单调性以及复合函数知， 在 上是增函数，且 ；再由 的奇偶性知， 在 上也是增函数，且 时，一定有 ，正确； 对于，因为 只有 一个根， 方程 在 上有一个根，错误 正确结论的序号是 故答案为：9已知函数 f（ x）= （ x（-1，1） ） ，有下列结论：（1） x（-1，1） ，等式 f（- x）+ f（ x）=0 恒成立；（2） m0，+） ，方程| f（ x）|= m 有两个不等实数根；（3） x1， x2（-1，1） ，若 x1 x2，则一定有 f（ x1） f（ x2） ；（4）存在无数多个实数 k， 使得函数 g（ x）= f（ x）- kx 在（-1，1
8、）上有三个零点则其中正确结论的序号为_【答案】 （1） （3） （4）【解析】（1）因为 f（ x）= （ x（-1，1） ） ，所以 f（- x）=即函数 为奇函数，所以 f（- x）+ f（ x）=0 在 x（-1，1）恒成立所以（1）正确；（2）因为 f（ x）= （ x（-1，1） ）为奇函数，所以| f（ x）|为偶函数，当 x=0 时，| f（0）|=0，所以当 m=0 时，方程| f（ x）|= m 只有一个实根，不满足题意，所以（2）错误7故 x0，1）时， f（ x） f（0）=0，因为函数 f（ x）在（-1，1）上是奇函数，所以当 x-1，0）时， f（ x）单调递增，且
9、 f（ x） f（0）=0，综上可知，函数 f（ x）= 在（-1，1 ）上单调递增，即 x1， x2（-1，1） ，若 x1 x2，则一定有 f（ x1） f（ x2）成立，故（3）正确.（4）由 g（ x）= f（ x）- kx=0，即 ，当 x=0 时，显然成立，即 x=0 是函数的一个零点，当 x（0，1）时， ，解得 ，令 ，解得即 （ ）是函数的一个零点，由于 g（- x）= f（- x）+ kx=- f（ x）+ kx=-（ f（ x）- kx）=- g（ x） ，即 g（ x）是（-1，1）上的奇函数，故在区间（-1，0）上一定存在 （ ）是函数的另一个零点，所以（4）正确故（
10、1） ， （3） ， （4）正确故答案为：（1） ， （3） ， （4）10对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是的导数，若方程 =0 有实数解 ，则称点( ， )为函数 的“拐点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数 ，则 _.8【答案】【解析】依题意得， ，令 ，得 ， 函数 的对称中心为 ，则 ，故答案为 .11已知函数 与 都是定义在 上的奇函数， 当 时， ，则 （4）的值为_【答案】2【解析】根据题意， f（ x1）是定义在 R 上的奇函数，则 f（ x）的图象关于点（1，0）对称，则有 f（ x）
11、 f（2 x） ，又由 f（ x）也 R 上的为奇函数，则 f（ x） f（ x） ，且 f（0）0；则有 f（2 x） f（ x） ，即 f（ x） f（ x2） ，则函数是周期为 2 的周期函数，则 f（ ） f（ ） f（ ） ，又由 f（ ）log 2（ ）2，则 f（ ）2，f（4） f（0）0，故 f（ ）+ f（4）2+0 2；故答案为：212已知 ，函数 在区间 上的最大值是 2，则 _【答案】3 或【解析】当 时， =9函数 ，对称轴为 ，观察函数 的图像可知函数的最大值是 .令 ，经检验，a=3 满足题意.令 ，经检 验 a=5 或 a=1 都不满足题意.令 ，经检验 不满
12、足题意.当 时， ,函数 ，对称轴为 ，观察函数 的图像得函数的最大值是 .当 时， ,函数 ，对称轴为 ，观察函数 的图像可知函数的最大值是 .令 ，令 ,所以 .综上所述，故填 3 或 .13已知 ,函数 在 上的最大值为 ,则 _.【答案】 或【解析】由题可知 且 使得等号成立，等价于 恒成立且等号至少取到 1 处所以若则 ,或所以 或10可得 或若则所以则综上所诉：由于所以 或故答案为： 或14函数 在 上的所有零点之和等于_.【答案】8【解析】零点即 ，所以即 ，画出函数图像如图所示函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有 8 个交点图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为 815
13、已知函数 是定义在实数集 上的奇函数，当 时， ，若集合，则实数 的取值范围是_.11【答案】【解析】若 =，则等价为 f（x-1）-f（x） 0 恒成立，即 f（x-1） f（x）恒成立，当 x0 时 若 a0，则当 x0 时， ，f（x）是奇函数，若 x0，则-x0，则 f（-x）=-x=-f（x） ，则 f（x）=x，x0，综上 f（x）=x，此时函数为增函数， 则 f（x-1） f（x ）恒成立；若 a0，若 0xa 时， ；当 ax2a 时， ；当 x2a 时， 即当 x0 时，函数的最小值为-a，由于函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）的最大值为 a，作出
14、函数的图象如图：由于xR，f（x-1） f（x ） ，故函数 f（x-1）的图象不能在函数 f（x）的图象的上方，结合图可得 ，即 6a 2，求得 0a ，12综上 a ，故答案为：16定义在 R 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 x，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集是_【答案】【解析】设 则又因为对任意实数 x，有所以所以 为减函数因为定义在 R 上的函数 为奇函数，由奇函数定义可知=0，即不等式所以 ，同时除以得 ，即因为 为减函数所以 ，即不等式 的解集为17定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，当 时， ，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： _.对 ，有 ；函数 的值域为
15、 ；存在 ，使得 ；【答案】【解析】13因为 ,所以对;因为当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，因此当 时， ，从而函数 的值域为 ；所以对;因为 ，所以由上可得 ,即 ， 无解. 所以错；综上正确结论的序号是18 时， 恒成立，则 的取值范围是_【答案】【解析】当 时，函数 的图象如下图所示：因为对于任意 ，总有 恒成立，则 的图象恒在 的上方因为 与 的图象相交于 时代入对数函数，求得 所以此时 a 的取值范围为1419已知定义域为 的函数 满足：对任何 ，都有 ，且当 时，在下列结论中，正确命题的序号是_ 对任何 ，都有 ； 函数 的值域是 ； 存在 ，使得 ； “函数 在区
16、间 上单调递减”的充要条件是“存在 ，使得 ”；【答案】对于，x（1，3时，f（x）=3-x，对任意 x（0，+） ，恒有 f（3x）=3f（x）成立，nZ，所以解得 n=2，正确；对于，令 则所以 15函数 f（x）在区间（a，b） ）（3 k，3 k+1）上单调递减，正确；综上所述，正确结论的序号是故答案为：20定义函数 ， ，其中 ，符号 表示数 中的较大者，给出以下命题： 是奇函数；若不等式 对一切实数 恒成立，则 时， 最小值是 2450“ ”是“ ”成立的充要条件以上正确命题是_ （写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】函数 等价于 ， .这是一个偶函数，故命题错误.对于命题，不等式等价于，即 由于 ，故，所以 ，故命题是真命题. 对于，当 时， 两式相加得，而 ，以此类推，可得.故为假命题.对于， ，即 ，这对任意的 都成立，故 不是它的充要条件.命题错误.故填.16
