1、1专题 01函数的基本性质第二季1设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是A B C D【答案】B【解析】,所以 为奇函数,所以 单调递增,转化成得到 ,解得 x满足 ，故选 B。2已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，若 ，则（ ）A-1 B0 C1 D3【答案】B【解析】是定义在 上的奇函数，且 ， ， ，是周期为 4的函数， ，且 ， ，又 ，2，故选 B.3已知函数 y=f（ x）的周期为 2，当 x0，2 时， f（ x）=2 |x-1|-1，如果 g（ x）= f（ x）-log 3|x-2|，则函数 y=g（ x）的所有零点之和为（ ）A6 B8 C10 D12【答案】D【解析】当
2、x0，2时，f（x）=2 |x-1|-1，函数 y=f（x）的周期为 2，可作出函数 f（x）的图象；图象关于 y轴对称的偶函数 y=log3|x|向右平移 2个单位得到函数 y=log3|x-2|，则 y=h（x）=log 3|x-2|关于 x=2对称，可作出函数的图象如图所示；函数 y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当 x5 时，y=log 3|x-2|1，此时函数图象无交点，又两函数在2，5上有 3个交点，由对称性知，它们在-1，2上也有 3个交点，且它们关于直线 x=2对称，所以函数 y=g（x）的所有零点之和为34=12故选：D4若函数 的最大值为 M，最小值为 N，则 A
3、1 B2 C3 D4【答案】C【解析】3可得 g（x）的最小值 s和最大值 t互为相反数，则 M+N=（t+ ）+（s+ ）=3故选：C5已知定义在 R上的奇函数 f（ x）满足 f（-1）=0，且 f（ x）在（0，+）上单调 递减，则不等式0 的解集为（ ）A BC D【答案】B【解析】由题意可知函数 的近似的函数图象如图所示：由奇函数的性质可知不等式 0 即 ，不等式等价于 ，列表讨论不等式的符号如下：4据此可得， 0 的解集为 .本题选择 B选项.6设函数 为定义域为 的奇函数，且 ，当 时， ，则函数在区间 上的所有零点的和为A10 B8 C16 D20【答案】B【解析】因为函数 为
4、定义域为 的奇函数，所以 ，又因为 ，所以 ，可得 ，即函数 是周期为 4的周期函数，且 图像关于直线 对称。故 在区间 上的零点，即方程 的根，分别画出 与 的函数图像，因为两个函数图像都关于直线 对称，因此方程 的零点关于直线 对称，由图像可知交点个数为 8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为 ，则 ，所以所有零点和为 8,故选 B。57对实数 和 ，定义运算“ ”： ,设函数 若函数的图像与 轴恰有三个公共点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由定义可得，当 时，即-1x2 时，f（x）= ，当 时，即 x2 或 x-1，f（x）=函数图象如图： =f（x）-c
5、的图象是由函数 f（x）向下平移 c个单位获得的，如图，要使函数图象与 x轴恰有三个交点，函数的极大值 极小值 由此解得 .故选 B.8若 ，则 （ ）A0 B1 C D2【答案】D【解析】令 f（t）= )，则 f（-t）=ln( ，f（t） f（-t）= 1=0，6f（t）= )为奇函数，又令 =g（t） ，g（t）=1+ = ，, 0，所以 g（t）0， g（t）在 R上是增函数，又 y=lnx是单调递增的，且 =g（t）恒大于 0，所以 f（t）在 R上是增函数，又 ，即x-1=t，y-1=-t， x+y=2.故选 D.9设函数 ，若存在区间 ，使 在 上的值域为 ，则 的取值范围是（
6、 ）A BC D【答案】B【解析】f（ x）2 x lnx+1， f（ x）2 ，当 x 时， f（ x）0， f（ x）在 ，+）上单调递增， f（ x） f（ ）2 ln 0， f（ x）在 ，+）上单调递增， a， b ， +） ， f（ x）在 a， b上单调递增， f（ x）在 a， b上的值域为 k（ a+2） ， k（ b+2）， ，7方程 f（ x） k（ x+2）在 ，+）上有两解 a， b作出 y f（ x）与直线 y k（ x+2）的函数图象，则两图象有两交点若直线 y k（ x+2）过点（ ， ln2） ，则 k ，若直线 y k（ x+2）与 y f（ x）的图象相切
7、，设切点为（ x0， y0） ，则 ，解得 k11 k ，故选 B.10已知函数 是奇函数， ，且 与 的图像的交点为 ， ， ，则 ( )A0 B6 C12 D18【答案】D811已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）A B C D【答案】B【解析】由 可得： 或 ，当 时， ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以函数在 处有极小值 ，作出函数 的图象如图所示，观察可得，函数 的零点个数为 3.故选 B.12已知定义在 R上的函数 yf(x)对于任意的 x都满足 f(x1)f(x)，当1x1，则需 h(5)log a55.9若 0a1，则需 h(5)log a51，即 0a
8、.所以 a的取值范围是 (5，)13已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，对任意的 xR，均有 f（x+2）=f（x） ，当 x0，1）时，f（x）=2 x1，则下列结论正确的是（ ）Af（x）的图象关于 x=1对称Bf（x）的最大值与最小值之和为 2C方程 f（x）lg|x|=0 有 10个实数根D当 x2，3时，f（x）=2 x+21【答案】C10画出函数 y=f（x）与 y=lg|x|的图象，如图所示，对于 A，结合图象可 得函数 f（x）的图象无对称轴，所以 A不正确对于 B，由 图象可得，函数 f（x）没有最大值和最小值，所以 B不正确对于 C，结合图象可得当 x0 时，函数 y
9、=f（x）与 y=lg|x|的图象有 4个交点，当 x0 时，函数y=f（x）与 y=lg|x|的图象有 6个交点，故方程 f（x）lg|x|=0 有 10个实数根所以 C正确对于 D，当 x2，3)时，x20，1)，所以 故 D不正确故选 C14已知定义域为 R的偶函数 满足对任意的 ，有 ，且当 时，.若函数 在 上恰有三个零点，则实数 的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】由于函数为偶函数，当 时， ，即 ，故 ，所以函数是周期为 的周期函数，且为偶函数.令 ，得到 ，也即函数 图像与函数的图像有三个交点，画出两个函数图像如下图所示.由图可知，要使两个函数图像有三个交点，11
10、则需直线的斜率 在两条切线的斜率之间.当 时， ，将 代入并化简得，其判别式 ，解得 .同理，当 时，将 代入化简后，同样令判别式为零，求得 .所以实数 的范围是 .故选 B.15已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则函数在区间 上所有零点之和为（ ）A B C D【答案】D【解析】根据奇函数 满足 ，可知其周期为 ，一条对称轴为 , 可由 向右平移 个单位得到，在同一坐标系作出 与 的图象如图： 12由图象可知 与 都关于 成中心对称，所以四个零点也关于 成中心对称，设从小到大四个零点为 ，则 ，所以四个零点之和为 ，故选 D.16已知函数 ，若对任意 ，任意 xR，不等式 恒成立，
11、则 k的最大值为A B1 C D【答案】D【解析】因为 ，所以 ，则不等式 恒成立等价于 ，设 ，则 ，解得 .答案选 D.17定义在0，+）上的函数 满足： 其中 表示 的导函数，若对任意正数 都有 ，则实数 的取值范围是（ ）A （0，4 B2，4C （，0）4，+） D4，+）【答案】C【解析】 ， ，当且仅当 且 ，即13时两等号同时成立，“对任意正数 都有 ”等价于 “ ”由 可得 ，令 ，则 ， 令 ，则 ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减 ， ，函数 在区间 上单调递减，故由 可得 ，整理得 ，解得 或 实数 的取值范围是 故选 C18已知函数 y=f（x） ，若给定非零实
12、数 a，对于任意实 数 xM，总存在非零常数 T，使得 af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数 y=f（x）是 M上的 a级 T类周期函数，若函数 y=f（x）是0，+）上的 2级 2类周期函数，且当 x0，2）时，f（x）= ，又函数 g（x）=2lnx+ x2+x+m若x16 ，8， x2（0，+ ） ，使 g（x 2）f（x 1）0 成立，则实数 m的取值范围是（ ）A （， B （， C ） D ）【答案】B【解析】14根据题意，对于函数 f（x） ，当 x0，2）时， ，可得：当 0x1 时，f（x）=1-x 2，有最大值 f（0）=1，最小值 f（1）=0，当 1x2 时，f（x
13、）=f（2-x） ，函数 f（x）的图象关于直线 x=1对称，则此时有 0f（x）1，又由函数 y=f（x）是定义在区间0，+）内的 2级类周期函数，且 T=2； 则在 x6，8）上，f（x）=2 3f（x-6） ，则有 0f （x）4，则 f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数 f（x）在区间6，8上的最大值为 8，最小值为 0；对于函数 ，有 ，得在（0，1）上，g（x）0，函数 g（x）为减函数，在（1，+）上，g（x）0，函数 g（x）为增函数，则函数 g（x）在（0，+）上，由最小值 若x 16 ，8 ， x2（0， +） ，使 g（x 2）-f（x 1）0 成立，必有 g（x） minf（x） max，即 解可得 ，即 m的取值范围为 故选：B19已知函数 是偶函数，且函数 的图象关于点 成中心对称，当 时，则 A B C0 D2【答案】D1520已知函数 ，则关于 x的不等式 的解集为 A B C D【答案】A【解析】设则 ，可得 + ，由解析式易知 在 R上单调递增；由 得， ；，即为 ，得 ，解得 ，原不等式的解集为 故选 A16
