1、1专题 03 利用导数研究函数的性质第四季1函数 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】故 x= 是函数 f（x）的极大值点， 0 是函数 f（x）的极小值点函数 f（x）=ax 3+3x2-1 存在唯一的零点 x0，且 x00，则 即 a24 得 a2（舍）或 a-2当 a0 时 0，当 x 或 x0 时，f（x）0 ，此时函数 f（x）单调递增；当 x0 时，f（x） 0，此时函数 f（x）单调递减x= 是函数 f（x）的极大值点， 0 是函数 f（x）的极小值点f（0）=-10，函数 f（x）在（0，+）上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数 a 的取值范围
2、是（-，-2） 故答案为：（-，-2） 2函数 ，若 与 有相同值域，则实数 的取值范围是_。【答案】【解析】由题知， ，( )，令 ，( )，2则 ，( )，当 时， ，而 ，即 ，当 时， ，而 ，即 ，当 时， ，故 在 上单调递增，即 在 上单调递增。因为 0，当 时， ；当 时， .所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 时取得最小值为 ，故 的值域 为 。因为 与 有相同值域，则要求 的范围包含 ，且为正，所以 ，即 .故答案为 .3已知函数 f1（x）=ax 2，f 2（x）=x 3+x2，f（x）=f 1（x）+f 2（x） ，设 f（x）的导函数为 f（x） ，若不等
3、式 f1（x）f（x）f 2（x）在区间（1，+）上恒成立，则 a 的取值范围为_【答案】 【解析】f（x）=ax 2+x3+x2=x3+（1a）x 2，f（x）=3x 2+2（1a）x，f1（x）f（x）f 2（x）在区间（1，+）上恒成立，即ax 23x 2+2（1a）xx 3+x2恒成立，ax 23x 2+2（1a）x，可化为（a+3）x+2（1a）0，解得3a5；3x2+2（1a）xx 3+x2可化为 2ax 2+2x+2，而x 2+2x+2=（x1） 2+33，2a3，即 ，由可得 ，3实数 a 的取值范围是 ，故答案为 4若 ，不等式 恒成立，则正 实数 的取值范围是_.【答案】【
4、解析】实数 0，若对任意的 x（0，+） ，不等式 e x 0 恒成立，即为（ e x ） min0，设 f（ x） e x ， x0， f（ x） e x ，令 f（ x）0，可得 e x ，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得 y e x和 y 有且只有一个交点，设为（ m， n） ，当 x m 时， f（ x）0， f（ x）递增；当 0 x m 时， f（ x）0， f（ x）递减即有 f（ x）在 x m 处取得极小值，且为最小值即有 e m ，令 e m 0，可得 m e， 则当 时，不等式 e x 0 恒成立故答案为 .5已知函数 的定义域为 ， ，对 ， ，则 的解集为
5、_【答案】【解析】设 ，则 ，则 等价于 ，又对任意 ，即 在 上单调递增，则 的解集为 ，4即 的解集为 ，故答案为 .6已知函数 关于 的不等式 只有一个整数解，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，的递增区间为 ，递减区间为 ，故 的最大值是 ，时， 时， 且 ，故在 时， ，在 时， ，函数 的图象如图， 时，由不等式 得 或 ，而 时 无整数解， 的解集为 ，整数解有无数多个，不合题意； 时，由不等式 得 解集为 ，整数解有无数多个，不合题意； 时，由不等式 ，得 或 ，的解集为 无整数解，只需 的解集整数解只有一个， 且 在 上递增，在 递减，而
6、，这一正整数只能为 3， ，5综上所述， 的取值范围是 ，故答案为 .7在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 t 2y21（t2，3）的右焦点为 F，过 F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为 H，则OFH 面积的取值范围为_【答案】【解析】在双曲线 中 ，右焦点为 ，渐近线方程为 ， ，面积 ，令 ，解得当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，故 面积的取值范围为 ，故答案为 .8已知函数 f（x）k（xlnx）+ （kR） ，如果函数 f（x）在定义域内只有一个极值点，则实数 k 的取值范围是_6【答案】【解析】函数 ，令 ，解得 或 ，令 ，可得 ，可得 时，函数 取得极
7、小值， ，可得 时，令 ， 没有根，此时函数 只有一个极值点 1；时, 有根，但不是极值点，此时函数 也只有一个极值点 1 ,满足题意；时， 有解，函数 有两个或三个极值点，不满足条件，舍去，综上所述，实数 的取值范围是 ，故答案为 .9 是定义在 上的函数,其导函数为 若 ，则不等式 (其中为自然对数的底数 )的解集为_【答案】7不等式 的解集为 ，故答案为 .10设函数 ,若函数 有 6 个不同的零点,则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】已知函数 对其求导得,令 求得当 时, ,即函数 在 上单调递增,且 恒成立当 时, 函数 在 上单调递减当 时, 函数 在 上单调递增,故,又因为在
8、 上,存在 x 使得 ，所以当直线与 有三个交点时，由题意知， 有 6 个不等的实数根，设则关于 t 的方程 有两个不等的实数根 ，且即 在 内有 2 个不等的实数根由于 当 时，等式成立当 时， ，故 a 的范围为11函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】，则 ，因为函数 在 上单调增，可得 在 上恒成立，即 ，令 ，则 ， ，8所以 ，因为 在 上是增函数，所以其最大值为 ，所以实数 的取值范围是 .12对于三次函数 ，有如下定义： 设 是函数 的导函数，是函数 的导函数，若方程 =0 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点” 。若点是函数 的“拐点”也是函数 图像
9、上的点，则当 时，函数的函数值为_【答案】2【解析】函数，因为 是函数 的“拐点”，且是函数 图象上的点，所以 ，即解得 ， ，所以 ，当 时，函数 的函数值为，故答案为 2.13已知偶函数 满足：当 时， ，若 恰有三个零点，则 的取值范围是_【答案】【解析】因为当 时， ，所以 ，又因为 为偶函数，所以 恰有三个零点等价于 在 恰有一个零点，9令 ，得 ，所以 与函数 的图象恰有一个交点，因为函数 与函数 的图象 关于 对称，解法二：如图，由于 ，函数 的图象与直线 有一个公共点为 ，当函数 的图象与直线 切于原点时， ， ，由图可知， 的取值范围为 .14设实数 x， y 满足 ，则 z
10、= 的取值范围是_【答案】-1，1【解析】 0，由 ，得 ，由 y ，得 y 0 在（，+）上恒成立，10可得 y 在（，+）上为增函数，则 x y 而 z 由约束条件画出可行域如图：的几何意义为可行域内的动点与定点 P（2，0）连 线的斜率，联立 ，解得 ，则 B（1，1） ， z 的取值范围为1，1，故答案为：1，115函数 ，对于 ，都有 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由题意，函数 是定义在 上的奇函数，在 为单调递增，且 ， ，即 ，即作出 与 的图象，直线 作为曲线 切线可求得 ，当 时， ；作出 与 的图象， 时， ，故 ，综上可得 .1116函数 f（x） ，g（x）的
11、定义域都是 D，直线 x=x0（x 0D） ，与 y=f（x） ，y=g（x）的图象分别交于A，B 两点，若|A B|的值是不等于 0 的常数，则称曲线 y=f（x） ，y=g（x）为“平行曲线” ，设 f（x）=e x-alnx+c（a0，c0） ，且 y=f（x） ，y=g（x）为区间（0，+ ）的“平行曲线” ，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则 a 的取值范围是_.【答案】 （ ， ） 【解析】因为 与 是在（0，+ ）上的平行曲线，且|AB|0，所以可将 的图像上下平移得到 的图像。因为 ，设 ，因为 ，代入可得 所以令 ，分离参数 ，得 。令因为 在（2,3）上
12、存在唯一零点，即 与 在（2,3）有且仅有一个交点。因为在 时，所以 在 上单调递增。若满足即 与 在（2,3）有且仅有一个交点所以 ，代入即 的取值范围为17函数 在 上的零点有_个.12【答案】5【解析】由 得， .令 则 . 在 上单减，在 上单增. 令 ，其中 ,则 ，在 上单减，且 ，所以存在唯一的 ，使得,因此函数 在 上单增，在 上单减,又因为 ,所以 在上有两个零点,而 在 上的图象与函数 的图象有 3 个交点. 函数在 上的零点有 5 个，故正确答案是 518已知函数 ,若函数 有唯一零点,则以下四个命题中正确的是_（填写正确序号）. .函数 在 处的切线与直线 平行.函数
13、在 上的最大值为.函数 在 上单调递减【答案】【解析】令 ，化简得 ，化为两个函数 ， ，由于两个函数只有一个交点，故在交点处有相同的交点坐标以及相同的斜率.即 ， （1）式两边乘以 ，然后减去（2）式，得 ，注意到当 时，等式成立，故 ，代入（1）求得 .所以正确.由 ，当 时， ，而直线 斜率为 ，故正确.对于，13，其导数 ，函数单调递增，故当 时有最大值为 ，故错误.对于， ，其导数 ，故函数在 上递减，所以也在 上递减，故正确.综上所述，正确的有.19已知 ， 为曲线 ： 上在 轴两侧的点，过 ， 分别作曲线 的切线，则两条切线与 轴围成的三角形面积的最小值为_【答案】【解析】因为 P，Q 为曲线 ： 上在 轴两侧的点，设 ， ，且 ，又因为曲线 ：在点 的切线斜率为 ，所以曲线在 P，Q 两点处的切线分别为 和，与 x 轴交点分别为 ， ，直线 和 的交点为 ，所求图形 面积 ，即 ，令，假设 时， 才能取最小值，令 ，则 ，当 ，即 时， ，同理，当时， ，所以当 且时， 最小， 解得 ， ，20已知实数 ， ， 满足 ，其中 是自然对数的底数，那么 的最小值为_【答案】14因为 ，求曲线 上与直线 平行的切线即 ，解得 ，所以切点为 ，该切点到直线 的距离，就是所求两曲线间的最小距离，所以 的最小值为 。
