1、1专题 02 分段函数及其应用第一季1已知函数 ，则方程 的实根个数不可能为（ ）A8 B7 C6 D5【答案】D【解析】画出函数图象，如图所示：当 时， ，当 时， ，观察图像，当 时， ，m 有两个解，一个满足 ，一个满足 ，此时对应的 x 有四个解，即方程有四个根，当 时， ，m 有三个解， 或 或 ，对应的 x 有 6 个解，即方程有 6 个根，同理可得当 ， ， ， ， 分析，结合方程 的根的情况，可知方程的根不可能为 5，故选 D.2已知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大依次为则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像，2可
2、知要使函数 有四个不同的零点，则有 ，并且有 ，且 ，从而可以确定 ，令 ，则有 ，从而有 ，所以有 ，所以 ，故选 A.3已知函数 ，则函数 的零点的个数为（ ）A B C D【答案】C【解析】画出函数的图像，如图所示，令 ，因为 则由图像可知， 有四个解，分别为 3由图像可知，当 时， 有两个根，即 有 2 个零点；由图像可知，当 时， 有一个根，即 有 1 个零点；由图像可知，当 时， 有三个根，即即 有 3 个零点；由图像可知，当 时， 有两个根，即即 有 2个零点；综上所述， 有 8 个零点所以选 C4已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 a的取值范围是（ ）A B C D 【答案
3、】B【解析】，即 ，结合函数解析式，可以求 得方程 1fx的根为 2x或0x，从而得到 和 一共有三个根，即 共有三个根，当 时， ， ，从而可以确定函数 fx在 ,1上是减函数，在 1,上是增函数，在 1,上是减函数，且 ，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于 或20 1ae或 20 1a或 或 ，解得1ae或 23a或 ，所以所求 a 的范围是 ，故选 B.5已知函数 ，若函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围是( )4A B C D【答案】C【解析】函数 y f（ f（ x） ）+1 的零点，即方程 ff（ x）1 的解个数，（1）当 a0 时， f（ x） ，当 x1 时， x
4、， f（ f（ x） ）1 成立，方程 ff（ x）1 有 1 解当 0 x1，log 2x0，方程 ff（ x）1 无解，当 x0 时， f（ x）1， f（ f（ x） ）0，方程 ff（ x）1 无解， f（ f（ x） ）1 有 1 解，故 a0 不符合题意，（2）当 a0 时，5当 x1 时， x ， f（ f（ x） ）1 成立，当 0 x1，log 2x0，方程 ff（ x）1 有 1 解，当 x0 时，0 f（ x）1， f（ f（ x） ）1 有 1 解，当 x 时， f（ x）0， f（ f（ x） ）1 有 1 解，故， f（ f（ x） ）1 有 4 解，（3）当 a0
5、 时，6已知函数 ，则函数 的零点个 数为6A B C D【答案】C【解析】函数 的零点个数就是方程 的根的个数，设 ,则 ，函数 的大致图象如下：由 或 ，可得 有三个解， ，的图象有一个交点；的图象与三个交点；的图象有一个交点，即 分别由 1，3，1 个解，方程 的根的个数为 5，函数 的零点个数为 5，故选 C.7定义域为 的函数 ，若关于 的方程 ,恰有 5 个不同的实数解，则 等于（ ）A B C D7【答案】C【解析】一元二次方程最多两个解，当 时，方程 至多四个解，不满足题意，当 是方程的一个解时，才有可能 5 个解，结合 图象性质，可知 ，即 .故答案为 C.8已知函数 f（
6、x）= ，若 a， b， c 互不相等，且 f（ a）= f（ b）= f（ c） ，则 abc 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】根据已知画出函数 f（ x）的图象（如下图）：不妨设 a b c， f（ a）= f（ b）= f（ c） ，-lo g2a=log2b=-c2+4c-3，8log 2（ ab）=0，解得 ab=1，2 c3，2 abc3故选：B9已知函数 ，若关于 的方程 有唯一实数根，则实数 的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【解析】先绘制出 的图像要使得关于 x 的方程 存在唯一实数根，则介于图中 1 号和 3 号直线之间，以及 2 号直线；1 号直线
7、的斜率为 ，3 号直线的斜率为 ，故a 的范围为当直线 与 相切时，切点坐标为建立方程 ，解得综上所述，a 的范围为 ，故选 A。910已知函数 .若 恰有 4 个零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】恰有 4 个零点等价于方程 有四个不同的根，等价于 的图象有四个不同的交点，作出 的图象，由图可知 时，两图象有三个交点，由 ,由 ，此时 过 上的点 ， ,所以 ，即 与 相切，可得 时，两图象有两个交点，由图可知，当 时， 的图象有四个不同的交点，即 恰有 4 个零点，所以，若 恰有 4 个零点，则实数 的取值范围是 ，故选 A.11已知函数 ，则方程| f（ x）
8、+ g（ x）|=1 实根个数为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】由|f（x）+g（x）|=1 可得 g（x）=-f（x）1令 h（x）=-f（x）+1，g（x）与 h（x）=-f（x）+1 的图象如下图所示，两个函数图象有 3 个交点10令 （x）=-f（x）-1，则 g（x）与 （x）=-f（x）-1 的图象如下图所示，两个函数图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数为 5所以选 C12已知函数 数列 满足： ，且 是单调递增函数，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C1113对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 是曲线 的“优美点”.已知，则曲
9、线 的“优美点”个数为A1 B2C4 D6【答案】B【解析】曲线 的“优美点”个数，就是 的函数 关于原点对称的函数图象，与 的图象的交点个数，由 可得 ，关于原点对称的函数 ， ，联立 和 ，解得 或 ，则存在点 和 为“优美点” ，曲线 的“优美点”个数为 2，故选 B14已知函数 是定义域为 R 的偶函数 当 时， ，若关于 x 的方程，a， 有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 12A B C D【答案】B【解析】根据题意，当 时， ，在 上递增，在 上递减，当 时，函数 取得极大值 ，当 时，函数 取得最小值 0，又由函数为偶函数，则 在 上递增，在 上递减，当 时，
10、函数 取得极大值 ，当 时，函数 取得最小值 0，要使关于 的方程 ，有且只有 6 个不同实数根，设 ，则 必有两个根 、 ，且必有 ， 的图象与 的图象有两个交点， 有两个根；， 的图象与 的图象有四个交点， 由四个根，关于 的方程 ，有且只有 6 个不同实数根，可得又由 ，则有 ，即 a 的取值范围是 ，故选 B15已知函数 ，若 互不相同，且满足 ，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C13【解析】先画出 的图象如图，互不相同，不妨设 ，且 ，即 由二次函数的对称性可得 ，故 ，由图象可知， ，由二次函数的知识可知 ，即 ，的范围为 ，故选 C.16已知 ，若函数 在（3，2）上为
11、减函数，且函数 = 在上有最大值，则 的取值范围为（ ）A BC D【答案】A1417已知 ，若 f (a)f (b)c，f (b)0，则Acba Bbac Ccab Dabc【答案】B【解析】，15因为 ，画出 函数 的图象，因为由图可知 ， ，故选 B.18定义在 R 上的函数 满足 ，且当 时， 若对任意的，不等式 恒成立，则实数 的最大值是A B C D【答案】C【解析】，可得 为偶函数，当 时， ，可得 时， 递减， ；当 时， 递减，且 ，在 上连续，且为减函数，对任意的 ，不等式恒成立，可得 ，即为 ，即有对任意的 ，恒成立，由一次函数的单 调性，可得：，16即有 ，则 的最大值为 ，故选 C.19已知函数 f（x） 则函数 g（x）2f（x） 23f（x）2 的零点个数为A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】因为 所以，当 时， ，故当 时， ，当 时， ，且 ， ，作出函数 的大致图象；令 ，解得 或 ，由图可知 有一个零点，有两个零点，所以函数 共有 3 个零点，故选 B.20已知函数 ，则对任意 ，若 ，下列不等式成立的是（ ）A BC D【答案】D17【解析】由题意及解析式画分段函数图形：有图可以知道该函数图形关于 轴对称是偶函数，且在 为单调递增函数，又 对任意 ，若必有 ，由于为偶函数， 等价于与 ，即 ，故选 D.
