1、1专题 02 分段函数及其应用第二季1已知函数 ， 若函数 在定义域内有且只有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】函数 在定义域内有且只有三个零点，等价于 有且有三个根，当时， ，不是方程的根，当 时，令 ，当 时， 在 单调递增，当 时，在 单调递增，在 单调递减，图象如图所示 ：其中 可得 时 与 图象有三个交点，方程 有且有三个根，函数 在定义域内有且只有三个零点，所以实数 的取值范围是 ，故选 A2设 f(x) 若存在 x1，x 2R，x 1x 2，使得 f(x1)f(x 2)成立，则实数 a 的取值范围是A(0， ) B( ， ) C(0， ) D(
2、， )2【答案】B3已知定义域为 R 的奇函数 ，当 时，满足 ，则A B C D0【答案】B【解析】定义域为 的奇函数 ，可得 ，当 时，满足 ，可得 时， ，则 ，3， 故选 B.4已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）A B C D【答 案】B【解析】由 可得： 或 ，当 时， ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，函数在 处有极小值 ，绘制函数 的图象如图所示，观察可得，函数 的零点个数为 3.本题选择 B 选项.5已知 ，若 恰有两个根 ， ，则 的取值范围是（ ）4A B C D【答案】C【解析】作出 f（x）的函数图象如图所示：由f（x） 2=a 可得 f（x）= ，
3、 1，即 a1不妨设 x1x 2，则 x12=e = ，令 =t（t1） ，则 x1= ，x 2=lnt，x 1+x2=lnt ，令 g（t）=lnt ，则 g（t）= = ， 当 1t4 时，g（t）0，当 t4 时，g（t） 0，当 t=4 时，g（t）取得最大值 g（4）=ln42=2ln22x 1+x22ln22故选：C6对实数 a 和 b，定义运算“”： ab 设函数 f(x)( x22)( x x2)， xR.若函数y f(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )A(，2B(，2C D 【答案】B5表示为区间形式即 .本题选择 B 选项.7已知函数
4、，若方程 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为当 时，有 ，所以 在 的图像与 上的图像一致，故 的图像如下图所示： 因为直线 与 有两个不同的交点，故 ，选 A8已知函数 f(x)x 22(a2)xa 2，g(x)x 22(a2)xa 28.设 H1(x)6max ，H 2(x)min (max 表示 p，q 中的较大值，min 表示p，q 中的较小值)记 H1(x)的最小值为 A，H 2(x)的最大值为 B，则 AB( ) A16 B16Ca 22a16 Da 22a16【答案】B【解析】令 h（x）=f（x）g（x）=x 22（a
5、+2）x+a 2x 2+2（a2）xa 2+8=2x24ax+2a 28=2（xa）28由 2（xa） 28=0，解得 x=a2，此时 f（x）=g（x） ；由 h（x）0，解得 xa+2，或 xa2，此时 f（ x）g（x） ；由 h（x）0，解得 a2xa+2，此时 f（x）g（x） 综上可知：（1）当 xa2 时，则 H1（x）=maxf（x） ，g（x）=f（x）=x（a+2） 24a4，H2（x）=minf（x） ，g（x）=g（x）=x（a2） 24a+12，（2）当 a2xa+2 时，H 1（x）=maxf（x） ，g（x）=g（x） ，H 2（x）=minf（x ） ，g（x）
6、=f（x） ；（3）当 xa+2 时，则 H1（x）=maxf（x） ，g（x）=f（x） ，H 2（x）=minf（x） ，g（x）=g（x） ，故 A=g（a+2）=（a+2）（a2） 24a+12=4a4，B=g（a2）=4a+12，AB=4a4（4a+12）=16故选：B9若函数 满足 且 时， ，函数 ，则函数 在区间 内的零点的个数为 （ ）7A7 B8 C9 D10【答案】B【解析】因为 ，所以函数 是周期为 2 的函数，作出 时， 的图象，并根据周期扩展到 上，再作出函数 的图象，如图所示：从图中易看出有 8 个交点，故选 B.10已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数设 ，
7、定义函数： ， ， ， ，则下列说法正确的有（ ）个 的定义域为 ；设 ， ，则 ； ；若集合 ，则 中至少含有 个元素A 个 B 个 C 个 D 个【答案】C【解析】 ，当 时， ，所以 ；当 时，成立，所以 ；当 时， 成立，所以 ；因此定义域为； ； ；，因此 ；8因为 ，即 ，因此由上可知 为 中元素，又 ，所以 中至少含有 个元素综上共有 3 个正确说法，选 C11已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】当 时 ， 即 ；当 时 0 ，即 ；当 时 ，由图可知 ；综上 的取值范围是 ，选 D12设函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，则 的取值范围
8、是（ ）A B C D【答案】C【解析】9不妨设 ，则 ，得 ，结合图象可知 ，则 ，故选 C13已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则方程在区间 上的所有实根之和为（ ）A B C D【答案】C【解析】1014已知函数 ，若 的图像与 轴有 个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由于函数 的图像与 轴有 个不同的交点，则方程 有三个根，故函数 与 的图象有三个交点由于函数 ， 则其图象如图所示，从图象可知，当直线 位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点 能取到，则 4 个选项中区间的右端点能取到，排除 BC，只能从 中选，故只要看看选项 区间的右端点是
9、选 还是选 ，11设图中切点 的坐标为 ，则斜率 ，又 满足： ，解得 ，斜率 ，故选 B15已知定义域为 R 的奇函数 ，当 时，满足 ，则A B C D0【答案】B【解析】定义域为 的奇函数 ，可得 ，当 时，满足 ，可得 时， ，则 ，12， 故选 B.16定义函数 ，若存在实数 使得 方程无实数根，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】存在实数 使得 方程无实数根，等价于 值域不为 ，当 时， 时， ， 时， ， 值域为 ，不合题意， 排除 ；当 时， 时， ， 时， ， 值域为 ，不合题意，排除 ；当 时， 时， ， 时， ， 值域不为 ，合题意，排除 ，故选 C
10、.17已知函数 ，函数 有四个不同的零点 ，且满足：， 则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】作出 的解析式如图所示：根据二次函数的对称性知 ，且 ，13因为 所以当 时，函数等号成立，又因为 在 递减，在 递增，所以 ，所以 的取值范围是 ，故选 D.18著名的狄利克雷函数 ，其中 为实数集， 为有理数集.现有如下四个命题： ； 函数 为奇函数； ，恒有 ； ，恒有 .其中真命题的个数是（ ）A B C D【答案】A【解析】对于， 时， ， ，故错误；对于， 时， ，时， ，不是奇函数，故错误；对， 时， ，时， ，故正确.对， 时， ，错误，故真命题个数为 ，故选 A.19设 是定义在 R 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 m 的最大值是（ ）14A B C D【答案】B20设 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得，则实数 的取值范围为（ ）A BC D【答案】D【解析】函数 在 上单调递增，所以 的值域为 ，当 时， 为增函数， 在 上的值域为 ，由题意可得当 时， 为减函数， 在 上的值域为 ，由题意可得当 时， 为常数函数，值域为 ，不符合题意；15综上，实数 的取值范围为 .故选 D.
