1、1课时作业 39 空间几何体的表面积和体积基础达标一、选择题1若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120，半径为 l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是( )A3 ：2 B2 ：1C4 ：3 D5 ：3解析：底面半径 r l l，故圆锥中 S 侧 l2， S 表 l2 2 l2，232 13 13 13 (13l) 49所以表面积与侧面积的比为 4 ：3.答案：C22019东北三省四市联考某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A122 B822 2C44 D842 2解析：本题考查三视图及几何体的表面积由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为 2，高为
2、2，故该四棱锥的表面积为S222 222 22 84 ，故选 D.12 12 2 2答案：D32019益阳市，湘潭市高三调研如图，网格纸上小正方体的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是( )A. B.23 43C. D4832解析：由三视图可得三棱锥为图中所示的三棱锥 A PBC(放到棱长为 2 的正方体中)，VA PBC S PBCAB 222 .故选 B.13 13 12 43答案：B42019开封市高三考试某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A. B.29 3C. D.163 169解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为 12
3、0，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，所以该几何体的体积V 2 24 ，故选 D.13 13 169答案：D52019山东潍坊模拟某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A42 B443 2C62 D643 2解析：由三视图还原几何体和直观图如图所示，易知 BC平面 PAC，又 PC平面PAC，所以 BC PC，又 AP AC BC2，所以 PC 2 ，又 AB2 ，所以 S22 22 2 23PBC S PAB 22 2 ， S ABC S PAC 222，所以该几何体的表面积为 4412 2 2 12.2答案：B62019福州模
4、拟已知圆锥的高为 3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆3周都在同一球面上，则这个球的体积等于( )A. B. 83 323C16 D32解析：设该圆锥的外接球的半径为 R，依题意得， R2(3 R)2( )2，解得 R2，所3以所求球的体积 V R3 2 3 ，故选 B.43 43 323答案：B72019福州模拟如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A14 B104 2C. 4 D. 4212 2 21 32 2解析：解法一 由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示所以该多面体的表面积 S2 (2
5、21 2)(221211) 12 2222 ( )2 4 ，故选 D.12 2 12 32 2 21 32 2解法二 由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示所以该多面体的表面积 S S 三棱柱表 S 三棱锥侧 S 三棱锥底 3 ( ) 2 2 22 2 21222 (1211) 12 32 22 4 ，故选 D.21 32 2答案：D82019山西八校联考已知一个球的表面上有 A， B， C 三个点，且 AB AC BC2，若球心到平面 ABC 的距离为 1，则该球的表面积为( )3A20 B15C10 D2解析：设球心为 O， ABC 的中心为 O，因为
6、 AB AC BC2 ，所以34AO 32，因为球心到平面 ABC 的距离为 1，所以 OO1，所以23AO ，故该球的表面积 S4( OA)220.故选 A.22 12 5答案：A92019石家庄摸底考试如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B.16 13 8 2 13C8(21) D16(1)解析：由三视图得该几何体为圆锥与正四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为 2，高为 4，正四棱锥的底面边长为 2，高为 2，所以该几何体的体积为222 2 24 ，故选 B.13 13 16 83答案：B102019南昌调研已知三棱锥 P
7、ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 满足AB2 ， ACB90， PA 为球 O 的直径且 PA4，则点 P 的底面 ABC 的距离为( )2A. B22 2C. D23 3解析：取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图，在 ABC 中， AB2 ， ACB90，所以2 ABC 所在小圆 O1是以 AB 为直径的圆，所以 O1A ，且 OO1 AO1，又球 O 的直径2PA4，所以 OA2，所以 OO1 ，且 OO1底面 ABC，所以点 P 到平面 ABCOA2 O1A2 2的距离为 2OO12 .2答案：B二、填空题112019南昌模拟如图，直角梯形 ABCD 中，AD DC
8、， AD BC， BC2 CD2 AD2，若将直角梯形绕 BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为_解析：本题考查几何体的表面积所得几何体的表面积是底面圆半径为 1、高为 1 的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为 1、高为 1 的圆锥的侧面积之和，即为 25 (3 ).2 2答案：(3 )2122019山东潍坊模拟已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_解析：设正四棱柱的底面边长为 a，高为 h，球的半径为 r，由题意知 4 r212，所以 r23，又 2a2 h2(2 r)212，所以 a26 ，所以正四棱柱的体积 V a2hh22h，
9、则 V6 h2，由 V0，得 02，所以当 h2 时，正(6h22) 32四棱柱的体积最大， Vmax8.答案：2132019福州四校联考已知三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上， AB 为球 O 的直径，若该三棱柱的体积为 ， BC3， BD ， CBD90，则球 O 的体积为3 3_解析：设 A 到平面 BCD 的距离为 h，三棱锥的体积为 ，3BC3， BD ， CBD90 ， 3 h ， h2，球心 O 到平面 BCD 的313 12 3 3距离为 1.设 CD 的中点为 E，连接 OE，则由球的截面性质可得 OE平面 CBD， BCD 外接圆的直径 CD2 ，球 O 的
10、半径 OD2，球 O 的体积为 .3323答案：323142018江苏卷，10如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_解析：本题考查组合体体积的计算多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为 ，高为21，其体积为 ( )21 ，多面体的体积为 .13 2 23 43答案：43能力挑战152019广东广州调研如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )6A44 2 B1442 3 2C104 2 D42 3解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S ABCD.连接
11、AC，因为AC 2 ， SC 2 ， SD SB 2 ， CD 222 42 5 25 2 22 6 22 22 2 22 22， SB2 BC2(2 )24 224 SC2，故 SCD 为等腰三角形， SCB 为直角三角形过 D2 2作 DK SC 于点 K，则 DK ， SCD 的面积为 22 2 6 2 2 2 2 ， SBC 的面积为 2 44 .所求几何体的表面积为 (24)12 2 6 3 12 2 2 1222 224 2 104 2 ，选 C.12 2 3 2 3答案：C162019河北联盟考试某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A13 B14C15 D16解析
12、：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中 ABCD A B C D所求，长方体的长、宽、高分别为 4,2,3，两个三棱柱的高为 2，底面是两直角边长分别为 3 和 1.5 的直角三角形，故该几何体的体积V4232 3 215，故选 C.12 32答案：C172019广州调研如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为_7解析：依题意可得该几何体的直观图为图中所示的三棱锥 B CDE，且长方体的长、宽、高分别为 2,1,1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0,1)， C(0,1,0)， D(1,2,0)，E(0,2,0)，设球心为 P(x， y， z)，依题意可得| PB| PC| PD| PE|.由| PD| PE|得(x1) 2( y2) 2 z2 x2( y2) 2 z2，解得 x .由| PC| PE|得 x2( y1)122 z2 x2( y2) 2 z2，解得 y .由| PB| PE|得 x2 y2( z1) 2 x2( y2) 2 z2，32解得 z .故 P ，故三棱锥外接球的半径 R| PB| ，故该三棱锥32 (12， 32， 32) 14 94 14 112的外接球的表面积 S4 11.114答案：11
